【中1数学】反比例のグラフの書き方 練習問題と誰でもわかる解答

反比例のグラフとは?

反比例のグラフは、反比例の式\(y=\frac{a}{x}\)(\(a\)は比例定数)をグラフに書いたものです。

比例のグラフと違い、反比例のグラフは1つの式につき、2つの曲線からなるので、「双曲線(そうきょくせん)」と呼ばれます。

例えば、\(y=\frac{8}{x}\)をグラフに表すと、下記のようになります。

 

y=8/xのグラフ
y=8/xのグラフ

 

比例のグラフは直線なので、座標の点を2つとればグラフを書く事ができますが、反比例のグラフは曲線なので、座標を何点も取らなければいけません。

\(y=\frac{8}{x}\)の場合だと、少なくとも(1、8)、(2、4)、(4、2)、(8、1)、(-1、-8)、(-2、-4)、(-4、-2)、(-8、-1)の8点の座標を取らなければグラフをキレイに書く事はできません。

また、反比例のグラフは、どんなにグラフを伸ばしても\(x\)軸や\(y\)軸につく事はなく、

\(y=\frac{a}{x}\)のグラフは\(x\)軸と\(y\)軸で区切られた部分の右上と左下、

\(y=-\frac{a}{x}\)のグラフは\(x\)軸と\(y\)軸で区切られた左上と右下にそれぞれ曲線がくるようになります。

 

ここでは、反比例のグラフの基本的な勉強をしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

反比例のグラフの練習問題1

次の(ア)~(エ)の式で表される\(x\)と\(y\)の関係のうち、グラフが双曲線であるものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)\(y=\frac{x}{3}\)

 

(イ)\(y=\frac{3}{x}\)

 

(ウ)\(y=3x+1\)

 

(エ)\(y=-\frac{5}{x}\)

 

反比例のグラフの練習問題1の解答

グラフが双曲線になるのは、\(y=\frac{a}{x}\)の反比例の関係にあるものです。

反比例は\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、どれがこのような関係になるのかを1つずつ調べていきます。

(ア)\(y=\frac{x}{3}\)の場合

\(x\)に1、2、3をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=\frac{1}{3}\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{2}{3}\)

\(x=3\)の時、\(y=1\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も2倍、3倍となるので(ア)は双曲線ではないという事になります。

 

(イ)\(y=\frac{3}{x}\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=3\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{3}{2}\)

\(x=3\)の時、\(y=1\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、(イ)のグラフは双曲線である事が分かります。

 

(ウ)\(y=3x+1\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=4\)

\(x=2\)の時、\(y=7\)

\(x=3\)の時、\(y=10\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(3\)ずつ増えるので、(ウ)は双曲線ではないという事になります。

 

(エ)\(y=-\frac{5}{x}\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=-5\)

\(x=2\)の時、\(y=-\frac{5}{2}\)

\(x=3\)の時、\(y=-\frac{5}{3}\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、(エ)のグラフは双曲線である事が分かります。

 

ゆえに、グラフが双曲線になるのは(イ)、(エ)となります。

 

反比例のグラフの練習問題2

次の(1)、(2)のグラフを図1に書きなさい。

(1)\(y=\frac{6}{x}\)

 

(2)\(y=-\frac{8}{x}\)

 

反比例のグラフの練習問題2の図1
図1

 

反比例のグラフの練習問題2の解答

反比例のグラフの練習問題2の解答の図1
図1

 

(1)\(y=\frac{6}{x}\)

座標の\(x\)、\(y\)が全て整数になるようにしたいので、\(x\)に1、2、3、6、-1、-2、-3、-6をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=6\)

\(x=2\)の時、\(y=3\)

\(x=3\)の時、\(y=2\)

\(x=6\)の時、\(y=1\)

\(x=-1\)の時、\(y=-6\)

\(x=-2\)の時、\(y=-3\)

\(x=-3\)の時、\(y=-2\)

\(x=-6\)の時、\(y=-1\)

となるので、それぞれの座標の点をグラフに取ればグラフを書く事ができます。

 

(2)\(y=-\frac{8}{x}\)

\(x\)に1、2、4、8、-1、-2、-4、-8をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=-8\)

\(x=2\)の時、\(y=-4\)

\(x=4\)の時、\(y=-2\)

\(x=8\)の時、\(y=-1\)

\(x=-1\)の時、\(y=8\)

\(x=-2\)の時、\(y=4\)

\(x=-4\)の時、\(y=2\)

\(x=-8\)の時、\(y=1\)

となるので、それぞれの座標の点をグラフに取ればグラフを書く事ができます。

 

反比例のグラフの練習問題3

図2の①、②は反比例のグラフである。それぞれ\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

反比例のグラフの練習問題3の図2
図2

 

反比例のグラフの練習問題3の解答

①、②は反比例のグラフなので、\(y=\frac{a}{x}\)の式を使用します。

・①の場合

グラフを見ると座標(2、4)を通っている事が分かるので、

\(y=\frac{a}{x}\)に\(x=2\)、\(y=4\)を代入すると、

\(4=\frac{a}{2}\)

\(a=8\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=8\)を代入すると、

\(y=\frac{8}{x}\)

となります。

今回は座標(2、4)を使用しましたが、座標(4、2)もグラフが通っているので、座標(4、2)を使用しても構いません。

どちらを使用しても答えは同じになります。

 

・②の場合

グラフを見ると座標(-1、4)を通っている事が分かるので、

\(y=\frac{a}{x}\)に\(x=-1\)、\(y=4\)を代入すると、

\(4=-a\)

\(a=-4\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=-4\)を代入すると、

\(y=-\frac{4}{x}\)

となります。

 

【中1数学】比例のグラフの書き方 練習問題と誰でもわかる解答

比例のグラフとは?

比例のグラフは、比例の式\(y=ax\)(\(a\)は比例定数)をグラフに書いたものです。

グラフは横軸が\(x\)、縦軸が\(y\)になります。

例えば、\(y=2x\)をグラフに表すと、下記のようになりますが、グラフを書くには、まず座標を求める必要があります。

y=2x

 

座標とは、グラフの線が通る点の事で、(\(x\)、\(y\))という書き方をします。

 

・\(y=2x\)の座標

\(y=2x\)の\(x\)に0、1、2、3をそれぞれ代入してみると、

\(x=0\)の時、\(y=0\)なので、座標は(0、0)となります。

\(x=1\)の時、\(y=2\)なので、座標は(1、2)となります。

\(x=2\)の時、\(y=4\)なので、座標は(2、4)となります。

\(x=3\)の時、\(y=6\)なので、座標は(3、6)となります。

\(x\)に-1、-2、-3を代入してもグラフは同じになります。

今回は4つの座標を求めてみましたが、\(y=ax\)の比例のグラフの場合は、必ず直線のグラフになるので、直線のグラフの場合は2つの座標を求めれば十分です。

ただし、座標が(0.5、1)のように小数になる場合は、2つの座標だけではグラフがキレイに書けない可能性があるので注意が必要です。

 

また、下図の座標(1、2)のように、\(x\)も\(y\)も整数になる点を探し、赤色の矢印のように、点までの\(x\)と\(y\)の値を数えるのも1つの方法です。

実は、これが\(y=ax\)の比例定数\(a\)(傾きとも言う)になるんです。

y=2xのグラフの拡大図

 

どういう事かというと、\(x\)軸、\(y\)軸の順に数えると、1、2となりますが、

1分の2というように数えます。

そうすると、\(\frac{2}{1}=2\)となり、このグラフの傾きは2だという事になります。

ゆえに、このグラフの式は

\(y=2x\)

という事になります。

 

比例のグラフは、\(y=ax\)の場合は右上がりのグラフになり、

\(y=-ax\)の場合は左上がりのグラフになる事を覚えておきましょう。

 

ここでは、比例のグラフの基本的な勉強をしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例のグラフの練習問題1

図1

 

次の問いに答えなさい。

(1)図1で、点A、B、C、Dの座標を求めなさい。

 

(2)図1に点E(2、-4)、点F(4、0)を示しなさい。

 

比例のグラフの練習問題1の解答

(1)図1で、点A、B、C、Dの座標を求めなさい。

点Aは、\(x\)が+3、\(y\)が+4なので、座標は(3、4)となります。

点Bは、\(x\)が-3、\(y\)が+2なので、座標は(-3、2)となります。

点Cは、\(x\)が-4、\(y\)が-3なので、座標は(-4、-3)となります。

点Dは、\(x\)が0、\(y\)が-2なので、座標は(0、-2)となります。

 

(2)図1に点E(2、-4)、点F(4、0)を示しなさい。

点E(2、-4)は、\(x\)が+2、\(y\)が-4なので、0から\(x\)軸の+方向に2、\(y\)軸の-方向に4進んだところが座標になります。

点F(4、0)は、\(x\)が+4、\(y\)が0なので、0から\(x\)軸の+方向に4進んだところが座標になります。

図1

 

比例のグラフの練習問題2

図2

 

次の(1)~(3)のグラフを図2に書きなさい。

(1)\(y=3x\)

 

(2)\(y=-x\)

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\)

 

比例のグラフの練習問題2の解答

 

図2

 

(1)\(y=3x\) ---図2の緑色のグラフ

\(y=3x\)の式の\(x\)に\(1\)を代入すると、\(y=3\)となり、グラフが座標(1、3)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=3x\)のグラフになります。

\(x\)に代入するのは\(2\)でも\(3\)でも構いませんが、できるだけ小さい整数の方が座標がグラフからはみ出す心配もないし、0から近いところの方が点も書きやすいと思います。

 

(2)\(y=-x\) ---図2の青色のグラフ

\(y=-x\)の\(x\)に\(1\)を代入すると、\(y=-1\)になるので、グラフが座標(1、-1)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=-x\)のグラフになります。

傾き(比例定数)が-の場合は、左上がりのグラフになります。

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\) ---図2の赤色のグラフ

\(y=-\frac{x}{2}\)の\(x\)に\(2\)を代入すると、\(y=-1\)となるので、グラフが座標(2、-1)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=-\frac{x}{2}\)のグラフになります。

\(x\)に\(2\)を代入した理由は、\(x\)も\(y\)も整数にしたかったからです。

\(1\)を代入すると座標が(1、\(-\frac{1}{2}\))になり、グラフが少し書きにくくなります。

書けない事はないですが、\(x\)も\(y\)も整数の方が書きやすいと思います。

 

比例のグラフの練習問題3

図3

 

図3の①、②は比例のグラフである。次の問いに答えなさい。

(1)①、②のそれぞれについて、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の値が\(1\)増加すると、\(y\)の値はそれぞれどのように変化するか答えなさい。

 

比例のグラフの練習問題3の解答

(1)①、②のそれぞれについて、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

①、②は比例のグラフとあるので、\(y=ax\)の比例の式を使用します。

 

①のグラフは座標(1、2)を通る事が分かるので、

\(y=ax\)に\(x=1\)、\(y=2\)を代入すると、

\(2=a×1\)

となるので、

\(a=2\)となります。

次に\(a=2\)を\(y=ax\)に代入すると、

\(y=2x\)

となります。

 

②のグラフは座標(3、-2)を通る事が分かるので、

\(y=ax\)に\(x=3\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(-2=3a\)

\(a=-\frac{2}{3}\)

となります。

次に\(a=-\frac{2}{3}\)を\(y=ax\)に代入すると、

\(y=-\frac{2}{3}x\)

となります。

 

(2)\(x\)の値が\(1\)増加すると、\(y\)の値はそれぞれどのように変化するか答えなさい。

①の\(y=2x\)の式に\(x=1\)を代入すると、

\(y=2\)

となります。

次に、\(x=2\)を代入すると、

\(y=4\)

となるので、①の式は\(x\)が\(1\)増加すると\(y\)は\(2\)増加する事が分かります。

 

②の\(y=-\frac{2}{3}x\)の式に\(x=1\)を代入すると、

\(y=-\frac{2}{3}\)

となります。

次に、\(x=2\)を代入すると、

\(y=-\frac{4}{3}\)

となるので、②の式は\(x\)が\(1\)増加すると\(y\)は\(\frac{2}{3}\)減少する事が分かります。

\(-\frac{2}{3}\)増加するという事は、\(\frac{2}{3}\)減少する事になります。

 

【中1数学】反比例とは?反比例の式の練習問題と誰でもわかる解答

反比例とは?

反比例(はんぴれい)とは、比例とは逆に一方の数が2倍、3倍となると、もう一方の数が\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるような関係にあるものを言います。

例えば、\(4m\)の長さのテープを\(x\)等分した時のテープ1本の長さを\(ym\)とした時の\(x\)と\(y\)の関係を表に表すと

\(x\)等分 1 2 3 4 5 6
\(ym\) 4 2 4/3 1 4/5 2/3

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えていくと\(y\)は逆に\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍になっている事が分かります。

このような関係にある時、「\(y\)は\(x\)に反比例する」と言います。

\(4m\)のテープを\(x\)等分した時のテープ1本の長さが\(ym\)の時、\(4m\)のテープを\(x\)で割ったものが\(y\)となるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{4}{x}\) ---①

となります。

この時、4を比例定数(ひれいていすう)と言います。

反比例の場合も比例定数と言うので、間違えないように注意して下さい。

ちなみに、先ほどの表を見ると、\(x=1\)の時は\(y=4\)となり、\(x=2\)の時は\(y=2\)となっていますが、それぞれの\(x\)と\(y\)を掛けると全て\(4\)になるので、

\(xy=4\)

という関係が成り立ちます。

この式の両辺を\(x\)で割って\(y=\)の形にすると

\(y=\frac{4}{x}\)

となり、①の式と同じになります。

つまり、違う式であっても式の作り方が間違っていなければ、式を変換すると同じ式になるという事です。

 

比例の場合は、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=ax\) ---比例の式(\(a\)は比例定数)

となりますが、

反比例の場合は、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=\frac{a}{x}\) ーーー反比例の式(\(a\)は比例定数)

となります。

 

ここでは、反比例の式の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

反比例の式の練習問題1

長さ\(24cm\)の針金を\(x\)等分する時、1本の長さを\(ycm\)とする。次の問いに答えなさい。

(1)\(x\)と\(y\)の関係を表した次の表を完成させなさい。

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(y\) 24

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)\(y\)は\(x\)に反比例すると言えるか答えなさい。

 

反比例の式の練習問題1の解答

(1)\(x\)と\(y\)の関係を表した次の表を完成させなさい。

長さ\(24cm\)の針金を2、3、4、5、6でそれぞれ割ると

\(\frac{24}{2}=12\)

\(\frac{24}{3}=8\)

\(\frac{24}{4}=6\)

\(\frac{24}{5}=4.8\)

\(\frac{24}{6}=4\)

となるので、

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(y\) 24 12 8 6 4.8 4

となります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

表を見ると、\(x\)が2倍、3倍となると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となっているので、

\(y=\frac{a}{x}\)より、

\(y=\frac{24}{x}\)

となります。

 

(3)\(y\)は\(x\)に反比例すると言えるか答えなさい。

(1)、(2)より、\(y\)は\(x\)に反比例すると言えます。

 

反比例の式の練習問題2

次の(1)、(2)について\(y\)を\(x\)の式で表し、\(y\)が\(x\)に反比例する事を示しなさい。

また、その比例定数も答えなさい。

(1)\(18km\)の道のりを、時速\(xkm\)の速さで進む時にかかる時間は\(y\)時間である。

 

(2)底辺が\(xcm\)、高さが\(ycm\)の三角形の面積が\(14cm^2\)である。

 

反比例の式の練習問題2の解答

(1)\(18km\)の道のりを、時速\(xkm\)の速さで進む時にかかる時間は\(y\)時間である。

時間が\(y\)なので、「\(時間=\frac{距離}{時速}\)」の式を使用します。

「\(時間=\frac{距離}{時速}\)」の式に距離\(18km\)、時速\(xkm\)、時間\(y\)をそれぞれ代入すると、

\(y=\frac{18}{x}\)

となります。

ゆえに、比例定数は\(18\)となり、\(x\)を2倍、3倍とすると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、\(y\)は\(x\)に反比例します。

 

(2)底辺が\(xcm\)、高さが\(ycm\)の三角形の面積が\(14cm^2\)である。

三角形の面積を求める式は、「\(面積=\frac{底辺×高さ}{2}\)」なので、

この式に底辺\(xcm\)、高さ\(ycm\)、面積\(14cm^2\)をそれぞれ代入すると、

\(14=\frac{xy}{2}\)

となります。

この式を\(y=\)に変換します。

まず、両辺を入れ替えると

\(\frac{xy}{2}=14\)

となり、\(y=\)にするために両辺に\(\frac{2}{x}\)を掛けると

\(\frac{xy}{2}×\frac{2}{x}=14×\frac{2}{x}\)

\(y=\frac{28}{x}\)

となります。

\(x\)を2倍、3倍とすると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、\(y\)は\(x\)に反比例する事が言えます。

また、比例定数は\(28\)となります。

 

反比例の式の練習問題3

\(y\)は\(x\)に反比例し、\(x=4\)の時、\(y=-9\)である。次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x=12\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

反比例の式の練習問題3の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(x\)に反比例するので、\(y=\frac{a}{x}\)の式をそのまま使用します。

\(x=4\)、\(y=-9\)を代入すると、

\(-9=\frac{a}{4}\)

\(\frac{a}{4}=-9\)

両辺に\(4\)を掛けるので

\(a=-36\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=-36\)を代入すると、答えは

\(y=-\frac{36}{x}\)

となります。

 

(2)\(x=12\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

\(y=-\frac{36}{x}\)に\(x=12\)を代入すると、

\(y=-\frac{36}{12}\)

\(y=-3\)

となるので、\(x=12\)の時の\(y\)の値は\(-3\)となります。

 

【中1数学】比例とは?比例の式の練習問題と誰でもわかる解答

比例とは?

比例とは、一方の数を2倍、3倍とした時に、もう一方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるものを言います。

例えば、1個50円のみかんを1個、2個、3個と買った時の代金と個数の関係を表に表すと

個数(個) 1 2 3 4 5 6
代金(円) 50 100 150 200 250 300

となりますが、みかんの個数が2倍、3倍と増えると、代金も同じように2倍、3倍と増えているのが分かると思います。

このような関係にある時、個数と代金は「比例関係にある」と言い、「代金は個数に比例する」とも言います。

代金を\(y\)、個数を\(x\)とした場合、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=50x\)

となります。

この時、50を比例定数(ひれいていすう)と言います。

比例定数とは、比例する2つの量の間の関係式における定数の事です。

今回の場合は、みかん1個の値段が50円なので、比例定数は50となります。

 

おさらいすると、比例とは、一方の数を2倍、3倍とした時に、もう一方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるものを言い、

\(y\)が\(x\)に比例する時、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=ax\) (\(a\)は比例定数)

となります。

これが比例の式になるので、覚えておきましょう。

 

ここでは、比例の式の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例の式の練習問題1

次の(1)、(2)について、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(y\)が\(x\)に比例する事を示しなさい。

また、その比例定数も答えなさい。

 

(1)\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(x\)本買った時、代金は\(y\)円である。

 

(2)底辺が\(10cm\)、高さが\(xcm\)の三角形の面積を\(ycm^2\)とする。

 

比例の式の練習問題1の解答

(1)\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(x\)本買った時、代金は\(y\)円である。

\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(1\)本、\(2\)本、\(3\)本と買うと、代金も同じように\(60\)円、\(120\)円、\(180\)円と増えていくので、代金が個数に比例する事が分かります。

代金が\(y\)、鉛筆の本数が\(x\)なので、

\(y=ax\)より

\(y=60x\)

となり、比例定数は\(60\)となります。

 

(2)底辺が\(10cm\)、高さが\(xcm\)の三角形の面積を\(ycm^2\)とする。

三角形の面積を求める式は、\(\frac{底辺×高さ}{2}\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{10×x}{2}\)

\(y=5x\)

となり、\(y\)が\(x\)に比例する事が分かります。

また、比例定数は\(5\)となります。

 

比例の式の練習問題2

次の(ア)~(エ)の式で表される\(x\)と\(y\)の関係で、\(y\)が\(x\)に比例するものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)\(y=x+5\)

(イ)\(y=x\)

(ウ)\(y=\frac{x}{5}\)

(エ)\(y=\frac{5}{x}\)

 

比例の式の練習問題2の解答

\(y\)が\(x\)に比例するかどうか、1つずつ調べていきます。

(ア)\(y=x+5\)

\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=6\)

\(x=2\)の時、\(y=7\)

\(x=3\)の時、\(y=8\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えても\(y\)は同じように2倍、3倍とならないので、(ア)の式は\(y\)が\(x\)に比例しないという事になります。

 

(イ)\(y=x\)

(ア)と同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=1\)

\(x=2\)の時、\(y=2\)

\(x=3\)の時、\(y=3\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も同じように2倍、3倍となるので、(イ)の式は\(y\)が\(x\)に比例するという事になります。

 

(ウ)\(y=\frac{x}{5}\)

同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=\frac{1}{5}\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{2}{5}\)

\(x=3\)の時、\(y=\frac{3}{5}\)

となります。

分数なので分かりにくいかもしれませんが、

\(\frac{1}{5}=0.2\)、\(\frac{2}{5}=0.4\)、\(\frac{3}{5}=0.6\)となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も同じように2倍、3倍と増えているので、(ウ)の式は\(y\)が\(x\)に比例するという事になります。

 

(エ)\(y=\frac{5}{x}\)

同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=5\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{5}{2}=2.5\)

\(x=3\)の時、\(y=\frac{5}{3}=1.67\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は逆に\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍と減っていくので、(エ)の式は\(y\)が\(x\)に比例しないという事になります。

 

ゆえに、\(y\)が\(x\)に比例する式は(イ)と(ウ)になります。

 

比例の式の練習問題3

\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=3\)の時、\(y=-9\)である。次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x=-6\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

比例の式の練習問題3の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(x\)に比例するので、\(y=ax\)の式に\(x=3\)、\(y=-9\)を代入すると、

\(-9=3a\)

\(a=-3\)

となり、比例定数が求まります。

この比例定数を\(y=ax\)の式に代入すると、答えは

\(y=-3x\)

となります。

 

(2)\(x=-6\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

(1)で求めた\(y=-3x\)の式に\(x=-6\)を代入すると、

\(y=-3×(-6)\)

\(y=18\)

となるので、\(x=-6\)の時の\(y\)の値は\(18\)となります。

 

比例の式の練習問題4

\(A\)町から\(48km\)離れた\(B\)町まで自転車で行く。自転車の速さを時速\(12km\)、\(A\)町を出発してからの時間を\(x\)時間、\(A\)町からの進んだ距離を\(ykm\)とする時、次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の変域を、不等号を使って表しなさい。

 

比例の式の練習問題4の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

距離を求める式は、「\(距離=時速×時間\)」なので、この式に時速\(12km\)と\(x\)時間を代入すると、求める式は

\(y=12x\)

となります。

 

(2)\(x\)の変域を、不等号を使って表しなさい。

\(48km\)離れた\(B\)町に行くのにかかる時間を求めます。

\(y=12x\)の式に\(y=48\)を代入すると、

\(48=12x\)

\(x=4\)

となるので、\(B\)町に行くのにかかる時間は\(4\)時間となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、\(0\)時間から\(4\)時間となるので、不等号を使って表すと

\(0≦x≦4\)

となります。

 

【中1数学】比例式の解き方・作り方 練習問題と誰でもわかる解答

比例式とは?

・比の値と比の性質

\(x:y\) のように表された比を \(\frac{x}{y}\) のように分数で表したものを「比の値」と言います。

比には「等しい比では比の値は等しく、逆に比の値が等しい比は等しい」という性質があります。

どういう事かと言うと、例えば \(8:6\) と \(4:3\) という比の場合、どちらも比の値が \(\frac{4}{3}\) なので、等しい比であるという事が言えます。

つまり、値が違っていても比が等しければ比の値は等しくなり、比の値が等しければ比も等しいという事が言えるという事です。

そして、比をできるだけ小さな整数の比にする事を「比を簡単にする」と言います。

例えば、\(8:6\) をできるだけ小さな整数の比にすると、\(4:3\) になります。

 

・比例式

\(x:y=a:b\) のように、比が等しい事を表す式の事を「比例式」と言います。

先ほど説明した比の性質から「等しい比では比の値は等しい」ので、

\(x:y=a:b\) ならば、\(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\) となります。

また、両辺に \(by\) を掛けると、

\(bx=ay\) となります。

両辺に \(by\) を掛けるのは、両辺の分母を消すためです。

つまり、比例式には

\(x:y=a:b\) ならば、\(bx=ay\) が成り立つという性質があり、

\(x:y=a:b\) の内と内(\(y\)と\(a\))を掛けたもの、外と外(\(x\)と\(b\))を掛けたものを\(=\)で結べば良いという事が分かります。

 

ここでは、比例式の解き方と比例式の作り方について勉強したいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例式の解き方の練習問題1

次の比例式で、\(x\)の値を求めなさい。

(1)\(x:9=2:3\)

 

(2)\(20:5=x:3\)

 

(3)\(6:10=12:x\)

 

(4)\(21:x=28:24\)

 

(5)\(\frac{3}{4}:\frac{5}{8}=x:25\)

 

(6)\(3:8=15:(x+15)\)

 

比例式の解き方の練習問題1の解答

(1)\(x:9=2:3\)

解き方のコツは、最終的に\(x=\)の形にするので、初めから\(x\)を左辺に持ってきた方がスムーズに計算できると思います。

内と内、外と外を掛けるので、

\(3×x=9×2\)

となります。後は方程式を解くのと同じなので、

\(3x=18\)

\(x=6\)

となります。

 

(2)\(20:5=x:3\)

この問題も同様に計算すると、

\(5x=20×3\)

\(5x=60\)

\(x=12\)

となります。

 

(3)\(6:10=12:x\)

この問題も同様に計算すると、

\(6x=10×12\)

\(6x=120\)

\(x=20\)

となります。

 

(4)\(21:x=28:24\)

この問題も同様に計算すると、

\(28x=21×24\)

\(28x=504\)

\(x=18\)

となります。

 

(5)\(\frac{3}{4}:\frac{5}{8}=x:25\)

この問題も同様に計算すると、

\(\frac{5}{8}x=25×\frac{3}{4}\)

\(\frac{5}{8}x=\frac{75}{4}\)

この場合は\(x=\)にするために、両辺に\(\frac{8}{5}\)を掛けます。

\(\frac{8}{5}×\frac{5}{8}x=\frac{8}{5}×\frac{75}{4}\)

\(x=\frac{8}{5}×\frac{75}{4}\)

\(\frac{8}{5}\)と\(\frac{75}{4}\)を掛ける前に約分するのを忘れないようにしましょう。

約分すると

\(x=\frac{2}{1}×\frac{15}{1}\)

となるので、

\(x=30\)

となります。

 

(6)\(3:8=15:(x+15)\)

この問題も同様に計算すると、

\(3(x+15)=8×15\)

となります。

左辺は分配法則を利用して計算します。

\(3×x+3×15=120\)

\(3x+45=120\)

\(3x=120-45\)

\(3x=75\)

\(x=25\)

となります。

 

比例式の作り方の練習問題1

あるお菓子は、小麦粉\(150g\)にバター\(60g\)の割合で混ぜて作る。小麦粉を\(400g\)とすると、バターは何\(g\)混ぜればいいか求めなさい。

 

比例式の作り方の練習問題1の解答

まず、小麦粉\(150g\)とバター\(60g\)を比で表すと、

\(150:60\)

になります。

次に、小麦粉\(400g\)の時のバターの量を\(xg\)とし、比で表すと

\(400:x\)

となります。

これを比例式にすると

\(150:60=400:x\) ---①

となります。

並べる順番を間違えると、答えが変わってしまうので、注意して下さい。

下記の比例式のように小麦粉を最初に持ってきた場合は、\(=\)の後も小麦粉を最初に持ってくるようにして下さい。

(小麦粉1):(バター1)=(小麦粉2):(バター2)

 

①の比例式を解くと、

\(150x=60×400\)

\(150x=24000\)

\(x=160\)

となります。

ゆえに、小麦粉\(400g\)の時のバターの量は\(160g\)

となります。

 

比例式の作り方の練習問題2

\(4m\)のリボンを姉と妹で分けるのに、姉と妹の長さの比が\(3:2\)になるようにしたいと思う。姉のリボンは何\(cm\)にすればいいか求めなさい。

 

比例式の作り方の練習問題2の解答

まず、何\(cm\)かと聞かれているので、\(4m\)を\(cm\)に直すと\(400cm\)となります。

次に、姉のリボンの長さを\(xcm\)とし、\(400cm\)と\(xcm\)を比で表すと

\(400:x\) ---①

となります。

\(400\)に対する比は、姉と妹を足した\(3+2=5\)となり、\(x\)に対する比は姉の分の\(3\)になるので、

\(5:3\) ---②

となります。

①と②を比例式にすると

\(400:x=5:3\) ---③

となります。

この問題も練習問題1と同様に並び順に注意して下さい。

(全部のテープの長さ1):(姉のテープの長さ1)=(全部のテープの長さ2):(姉のテープの長さ2)

 

③の比例式を解くと、

\(5x=400×3\)

\(5x=1200\)

\(x=240\)

となります。

ゆえに、姉のリボンの長さは\(240cm\)となります。

 

【中1数学】一次方程式の文章題 解き方を詳しく解説

一次方程式の利用

ここでは、一次方程式を利用して、文章題を解いてみたいと思います。

何を\(x\)や\(y\)に置けばいいのかが、初めから分かっている問題の場合は良いですが、そうでない場合は何を\(x\)や\(y\)に置くかを自分で決めなければいけません。

最初は少し難しいかもしれませんが、問題をたくさん解いているうちに、だんだん慣れてくると思うので、とにかく色々な問題をたくさん解くようにしましょう。

あと、文章の読解力がないと文章題は解けないという人もいますが、個人的にはあまり関係ないと思います。

なぜなら、国語があまり得意でない私でも解けるからです。

大切なのは、とにかく問題をたくさん解く事です。

そうすると自然に力がついてきます。

問題集などの解答を見ても、あまり詳しく解説されていないので、解き方が分かりにくい場合もあると思いますが、ここでは誰にでもわかるように極力詳しく解説しているので、参考にしてみて下さい。

では早速、問題を解いてみましょう。

 

一次方程式の文章題1

1個\(60\)円のみかんと1個\(150\)円のりんごを合わせて\(10\)個買ったら、代金の合計が\(960\)円になった。

この時、次の問いに答えなさい。

(1)買ったみかんの個数を\(x\)個とした時、買ったりんごの個数を表す式を答えなさい。

 

(2)(1)を利用して、等しい関係にある数量をみつけて、方程式を作りなさい。

 

(3)買ったみかんとりんごの個数を、それぞれ求めなさい。

 

一次方程式の文章題1の解答

(1)買ったみかんの個数を\(x\)個とした時、買ったりんごの個数を表す式を答えなさい。

みかんとりんごの個数の合計は\(10\)個なので、\(10\)から\(x\)を引いた残りがりんごの個数になるので、りんごの個数は

\(10-x\)

となります。

 

(2)(1)を利用して、等しい関係にある数量をみつけて、方程式を作りなさい。

みかんの個数が\(x\)、りんごの個数が\(10-x\)

みかん1個の値段が\(60\)円、りんご1個の値段が\(150\)円なので、

みかんを\(x\)個、りんごを\(10-x\)個買ったときの値段は

\(60x+150(10-x)\) ---①

となります。

①が\(960\)円に等しいので、方程式は

\(60x+150(10-x)=960\) ---②

となります。

 

(3)買ったみかんとりんごの個数を、それぞれ求めなさい。

②の方程式を解けば、それぞれの個数が分かるので、

\(60x+150(10-x)=960\)

\(60x+150×10+150×(-x)=960\)

\(60x+1500-150x=960\)

\(60x-150x=960-1500\)

\(-90x=-540\)

両辺を\(-90\)で割るので

\(x=6\)

となり、みかんの個数は\(6\)個という事が分かりました。

りんごの個数は\(10-x\)の\(x\)に\(6\)を代入すればいいので、

\(10-6=4\)

となります。

ゆえに、

みかんの個数は\(6\)個

りんごの個数は\(4\)個となります。

 

念のため、答えが合っているかどうかを確認すると、

\(60×6+150(10-6)=960\)

\(360+600=960\)

\(960=960\)

となるので、答えが合っている事が分かります。

 

一次方程式の文章題2

長さ\(190cm\)のテープを姉と妹で分けたところ、姉の方が妹より\(40cm\)長くなった。

姉と妹のテープの長さは、それぞれ何\(cm\)か求めなさい。

 

一次方程式の文章題2の解答

妹のテープの長さを\(xcm\)とすると、

姉のテープの長さは

\(x+40\)

となります。

姉と妹のテープを足すと\(190cm\)になるので、

\(x+(x+40)=190\)

という方程式が作れます。

これを解くと、

\(x+x+40=190\)

\(2x=190-40\)

\(2x=150\)

ゆえに

\(x=75\)

となり、妹のテープの長さは\(75cm\)という事が分かりました。

姉のテープの長さは、\(190\)から\(75\)を引いた長さになるので、

\(190-75=115\)

となります。

ゆえに、

姉のテープの長さ\(=115cm\)

妹のテープの長さ\(=75cm\)

となります。

 

ちなみに、姉のテープの長さから妹のテープの長さを引くと

\(115-75=40\)となり、姉のテープの長さの方が妹より\(40cm\)長い事が分かります。

 

一次方程式の文章題3

現在、父の年齢は\(40\)歳、子の年齢は\(12\)歳である。父の年齢が子の年齢の\(5\)倍であったのは、現在から何年前か求めなさい。

 

一次方程式の文章題3の解答

父の年齢が子の年齢の\(5\)倍であったのが\(x\)年前だとすると、\(x\)年前の子の年齢は

\(12-x\)

となり、\(x\)年前の父の年齢は

\(40-x\)

となります。

\(12-x\)の\(5\)倍が\(40-x\)に等しいので、方程式は

\(5(12-x)=40-x\)

となります。

これを解くと、

\(5×12+5×(-x)=40-x\)

\(60-5x=40-x\)

\(-5x+x=40-60\)

\(-4x=-20\)

ゆえに

\(x=5\)

となり、父の年齢が子の年齢の\(5\)倍であったのは、現在から\(5\)年前となります。

 

念のため、答えが合っているかどうかを確認してみると、

\(12-5=7\) ---\(5\)年前の子の年齢

\(40-5=35\) ---\(5\)年前の父の年齢

\(35÷7=5\)倍

となるので、答えが合っている事が分かります。

 

一次方程式の文章題4

弟が家を出発してから\(12\)分後に、兄は家を出発し、自転車で同じ道を追いかけた。

弟の歩く速さを分速\(80m\)、兄の自転車の速さを分速\(240m\)とすると、兄は家を出発してから何分後に弟に追いつくか求めなさい。

 

一次方程式の文章題4の解答

分かっている事は、弟が家を出発してから\(12\)分後に兄が家を出発した事、弟の歩く速さが分速\(80m\)、兄の自転車の速さが分速\(240m\)という事だけです。

という事は距離が分からないので、\(時間=\frac{距離}{速さ}\)、\(速さ=\frac{距離}{時間}\)の式が使えません。

そこで、ここでは「\(距離=速さ×時間\)」の式を使用します。

兄が家を出発してから\(x\)分後に弟に追いつくとすると、弟は兄より\(12\)分多く歩いた事になるので、弟が進んだ距離は

\(80(x+12)\)

となり、兄が進んだ距離は

\(240x\)

となります。

弟が進んだ距離と兄が進んだ距離は等しいので、

\(80(x+12)=240x\)

という方程式を作る事ができます。

これを解くと、

\(80×x+80×12=240x\)

\(80x+960=240x\)

\(80x-240x=-960\)

\(-160x=-960\)

ゆえに

\(x=6\)

となり、兄は家を出発してから\(6\)分後に弟に追いついた事になります。

 

念のため、答えが合っているかどうか確認してみると、弟が進んだ距離は

\(80(6+12)=1440\)

兄が進んだ距離は

\(240×6=1440\)

となり、2人とも同じ距離を進んだ事が確認できます。

 

一次方程式の文章題5

ある数\(x\)を\(8\)倍して\(9\)を足すと、\(x\)を\(5\)倍した数と等しくなる。この時、ある数はいくつか求めなさい。

 

一次方程式の文章題5の解答

\(x\)を\(8\)倍して\(9\)を足すと、

\(8x+9\)

となり、これが\(x\)を\(5\)倍した数と等しくなるので、

\(8x+9=5x\)

となります。

これを解くと、

\(8x-5x=-9\)

\(3x=-9\)

\(x=-3\)

となるので、ある数\(x\)は\(-3\)となります。

 

答えが合っているか確認すると、

\(8×(-3)+9=5×(-3)\)

\(-24+9=-15\)

\(-15=-15\)

となるので、\(-3\)で合っている事が分かります。

 

【中1数学】一次方程式の解き方 練習問題と誰でもわかる解答

一次方程式の解き方

一次方程式の解き方については、「方程式とその解」のところで少し勉強しましたが、ここでは色々な方程式の解き方を勉強したいと思います。

計算のやり方が分かっていれば、どの問題も似たようなものですが、方程式を解くという事は\(x\)や\(y\)などの文字の値(解)を求める事なので、最終的に

\(x=\)

\(y=\)

の形にしなければならないという事を覚えておきましょう。

 

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

一次方程式の練習問題1

次の方程式を解きなさい。

(1)\(x+7=3\)

 

(2)\(x-8=-2\)

 

(3)\(-5x=-40\)

 

(4)\(-\frac{x}{2}=8\)

 

一次方程式の練習問題1の解答

(1)\(x+7=3\)

7を右辺に移項すると、

\(x=3-7\)

となるので、ゆえに

\(x=-4\)

となります。

 

(2)\(x-8=-2\)

この問題も(1)と同様に計算すると、

\(x=-2+8\)

\(x=6\)

となります。

 

(3)\(-5x=-40\)

この問題の場合は符号に注意が必要です。

\(x=\)の形にするためには、両辺を-5で割ってやる必要があるので、両辺を-5で割ると、

\(\frac{-5x}{-5}=\frac{-40}{-5}\)

となるので、ゆえに

\(x=8\)

となります。

 

(4)\(-\frac{x}{2}=8\)

この問題の場合は\(x=\)の形にするために、両辺に-2を掛けます。

\(-2×(-\frac{x}{2})=-2×8\)

\(x=-16\)

となります。

 

一次方程式の練習問題2

次の方程式を解きなさい。

(1)\(3x-45=-2x\)

 

(2)\(2x+8=6x\)

 

(3)\(-6x-10=2x\)

 

(4)\(5+4x=3x\)

 

一次方程式の練習問題2の解答

(1)\(3x-45=-2x\)

\(-2x\)を左辺に、-45を右辺に移項すると、

\(3x+2x=45\)

\(5x=45\)

\(x=9\)

となります。

 

(2)\(2x+8=6x\)

この問題も同様に計算すると、

\(2x-6x=-8\)

\(-4x=-8\)

両辺を-4で割ると

\(x=2\)

となります。

 

(3)\(-6x-10=2x\)

この問題も同様に計算すると、

\(-6x-2x=10\)

\(-8x=10\)

両辺を-8で割ると

\(x=-\frac{10}{8}\)

ゆえに

\(x=-\frac{5}{4}\)

となります。

 

(4)\(5+4x=3x\)

この問題も同様に計算すると、

\(4x-3x=-5\)

\(x=-5\)

となります。

 

一次方程式の練習問題3

次の方程式を解きなさい。

(1)\(5x-2=3x+8\)

 

(2)\(9x-3=5x-11\)

 

(3)\(6x-6=15-x\)

 

(4)\(3x+7=8x-13\)

 

一次方程式の練習問題3の解答

(1)\(5x-2=3x+8\)

\(3x\)を左辺に、-2を右辺に移項すると

\(5x-3x=8+2\)

\(2x=10\)

両辺を2で割るので

\(x=5\)

となります。

 

(2)\(9x-3=5x-11\)

この問題も同様に計算すると、

\(9x-5x=-11+3\)

\(4x=-8\)

両辺を4で割るので

\(x=-2\)

となります。

 

(3)\(6x-6=15-x\)

この問題も同様に計算すると、

\(6x+x=15+6\)

\(7x=21\)

両辺を7で割るので

\(x=3\)

となります。

 

(4)\(3x+7=8x-13\)

この問題も同様に計算すると、

\(3x-8x=-13-7\)

\(-5x=-20\)

両辺を-5で割るので

\(x=4\)

となります。

 

一次方程式の練習問題4

次の方程式を解きなさい。

(1)\(5(2x-3)=3(x+2)\)

 

(2)\(2x-5(x+2)=4(5-2x)\)

 

(3)\(\frac{x}{3}+2=\frac{3x-2}{4}\)

 

(4)\(\frac{3x+2}{2}=\frac{6x-4}{5}\)

 

一次方程式の練習問題4の解答

(1)\(5(2x-3)=3(x+2)\)

この問題は分配法則を利用します。

\(5×2x+5×(-3)=3×x+3×2\)

\(10x-15=3x+6\)

\(10x-3x=6+15\)

\(7x=21\)

両辺を7で割るので

\(x=3\)

となります。

 

(2)\(2x-5(x+2)=4(5-2x)\)

この問題も分配法則を利用します。

\(2x-5×x-5×2=4×5+4×(-2x)\)

\(2x-5x-10=20-8x\)

\(2x-5x+8x=20+10\)

\(5x=30\)

両辺を5で割るので

\(x=6\)

となります。

 

(3)\(\frac{x}{3}+2=\frac{3x-2}{4}\)

この問題を解くためには、3と4の分母が邪魔なので、3と4の最小公倍数12を両辺に掛けると、

\(12×(\frac{x}{3}+2)=12×(\frac{3x-2}{4})\)

\(12(\frac{x}{3}+2)=3(3x-2)\)

となります。分配法則を利用すると、

\(12×\frac{x}{3}+12×2=3×3x+3×(-2)\)

\(4x+24=9x-6\)

\(4x-9x=-6-24\)

\(-5x=-30\)

両辺を-5で割るので

\(x=6\)

となります。

 

(4)\(\frac{3x+2}{2}=\frac{6x-4}{5}\)

両辺の分母を消すために、2と5の最小公倍数10を両辺に掛けると、

\(10×(\frac{3x+2}{2})=10×(\frac{6x-4}{5})\)

となり、約分できるので

\(5(3x+2)=2(6x-4)\)

となります。

分配法則を利用すると、

\(5×3x+5×2=2×6x+2×(-4)\)

\(15x+10=12x-8\)

\(15x-12x=-8-10\)

\(3x=-18\)

両辺を3で割るので

\(x=-6\)

となります。

 

【中1数学】方程式とその解 練習問題と誰でもわかる解答

方程式とその解

方程式(ほうていしき)とは、\(9+x=2\)の式のように、値のわからない\(x\)のような文字を含む等式の事を言います。

そして、方程式に当てはまる文字の値を解(かい)と言い、この解を求める事を方程式を解くと言います。

\(9+x=2\)の方程式を解いてみると、

\(x=2-9\)

\(x=-7\)

となります。

方程式では、左辺の項を右辺に、右辺の項を左辺に移動させる事を移項(いこう)と言いますが、項を移項すると-は+に、+は-に符号が変わります。

先ほど解いた方程式でも

\(9+x=2\) → \(x=2-9\)

のように、9を左辺から右辺に移項した際に、9が-9になっています。

なぜ符号が変わるかというと、

\(9+x=2\)

の状態から9を右辺に移項すると、左辺に残ったのは\(x\)だけになります。

左辺から9がなくなったという事は、左辺は-9になったという事になりますね。

でも、このままの状態では左辺=右辺が成り立たないので、左辺が-9になったのであれば、右辺からも同様に9を引かなければいけません。

ですので、左辺から右辺に9を移項すると、

\(9+x=2\) → \(x=2-9\)

となる訳です。

これは数字だけに限らず、\(x\)や\(y\)などの文字の場合も同様です。

\(x\)を左辺から右辺に移項すれば\(-x\)になるし、\(y\)を右辺から左辺に移項すれば\(-y\)になります。

 

・等式の性質

等式には次の4つの性質があります(ただし、\(C≠0\))。

① \(A=B\)ならば、\(A+C=B+C\)

② \(A=B\)ならば、\(A-C=B-C\)

③ \(A=B\)ならば、\(A×C=B×C\)

④ \(A=B\)ならば、\(A÷C=B÷C\)

確かに等式には、このような4つの性質がありますが、これを覚える必要はありません。

例えば、①の場合だと、\(C≠0\)の時、\(A=B\)ならば、

\(A+C=B+C\)

が成り立ちますが、\(A=B\)なので

\(A+C=A+C\)

とも書けます。

つまり、当たり前の関係を表しているに過ぎません。

これは、②、③、④にも同じ事が言えます。

ですので、関係を理解していれば、覚える必要はありません。

 

ここでは、一次方程式の解の求め方を勉強しましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

方程式の解を求める練習問題1

1、2、3のうち、次の方程式の解となるものをそれぞれ答えなさい。

(1)\(3x-2=4\)

 

(2)\(5x-4=x+8\)

 

方程式の解を求める練習問題1の解答

(1)\(3x-2=4\)

1、2、3のうち、どれが方程式の解になるかを答える問題です。

すなわち、\(x\)に1、2、3を代入した時に、左辺=右辺が成り立つかどうかを調べれば良いので、\(x\)に1、2、3をそれぞれ代入します。

・\(x=1\)の時

\(3×1-2=4\)

\(3-2=4\)

\(1≠4\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、1は解ではないという事になります。

 

・\(x=2\)の時

\(3×2-2=4\)

\(6-2=4\)

\(4=4\)

となり、左辺=右辺が成り立つので、2はこの方程式の解になります。

 

・\(x=3\)の時

\(3×3-2=4\)

\(9-2=4\)

\(7≠4\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、3は解ではないという事になります。

ゆえに、この方程式の解は2となります。

 

(2)\(5x-4=x+8\)

この問題も(1)と同様に調べます。

・\(x=1\)の時

\(5-4=1+8\)

\(1≠9\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、1は解ではないという事になります。

 

・\(x=2\)の時

\(5×2-4=2+8\)

\(10-4=2+8\)

\(6≠10\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、2は解ではないという事になります。

 

・\(x=3\)の時

\(5×3-4=3+8\)

\(15-4=3+8\)

\(11=11\)

となり、左辺=右辺が成り立つので、この方程式の解は3となります。

 

方程式の解を求める練習問題2

次の方程式のうち、4が解であるものを選び、記号で答えなさい。

(ア)\(2x+3=9\)

 

(イ)\(-2x+4=12\)

 

(ウ)\(x+2=3x-6\)

 

方程式の解を求める練習問題2の解答

(ア)から順に解を求めていきます。

\(2x+3=9\) ---(ア)

解き方のコツは、\(2x\)を左辺に残したまま計算する事です。

それはなぜかと言うと、最終的に\(x=\)の形にするからです。

ですので、左辺に\(2x\)を残したまま計算した方がスムーズに解けると思います。

まず、3を右辺に移項すると、

\(2x=9-3\)

となり、

\(2x=6\)

となります。

次に、\(2x\)を\(x\)にするためには両辺を2で割ればいいので、

\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)

となるので、ゆえに

\(x=3\)

となります。

これにより(ア)の解が4でないという事が分かりました。

 

続いて(イ)の解を求めます。

\(-2x+4=12\) ---(イ)

これも(ア)と同様に解くと、

\(-2x=12-4\)

\(-2x=8\)

となります。

ここで注意しなければならないのが、符号です。

最終的に\(x=\)の形にしなければなりませんが、両辺を2で割ったのでは

\(-x=4\)

となってしまうので、

\(x=\)にするためには両辺を-2で割らなければいけません。

ゆえに、

\(\frac{-2x}{-2}=\frac{8}{-2}\)

となるので、

\(x=-4\)

となります。

これにより(イ)の解が4でないという事が分かりました。

 

続いて(ウ)の解を求めます。

\(x+2=3x-6\) ---(ウ)

この問題も同様に解くと、

\(x-3x=-6-2\)

\(-2x=-8\)

となり、\(x=\)にするためには両辺を-2で割るので、

\(\frac{-2x}{-2}=\frac{-8}{-2}\)

\(x=4\)

となります。

これにより(ウ)の解が4である事が分かりました。

ゆえに、答えは(ウ)となります。

 

【中1数学・文字と式】関係を表す式 練習問題と詳しい解答

関係を表す式

・等式(とうしき)

等号=を使い、2つの数量が等しい関係を表した式の事を等式と言います。

例えば、\(a\)と\(b\)の和が\(c\)と\(d\)の和に等しい事を等式で表すと

\(a+b=c+d\)

となります。

また、等号の左側を左辺(さへん)、右側を右辺(うへん)と言い、左辺と右辺を合わせて両辺(りょうへん)と言います。

 

・不等式(ふとうしき)

不等号を使い、2つの数量の大小関係を表した式の事を不等式と言います。

不等号には \(> < ≧ ≦\) があり、「~より小さい(~未満)、~より大きい」を表す場合は例1のように\(>\)または\(<\)を使います。

例1:\(a\)は\(b\)より大きい ⇨ \(a>b\) または \(b<a\)

また、「~以上、~以下」を表す場合は例2のように\(≧\)または\(≦\)を使います。

例2:\(a\)は\(b\)以上である ⇨ \(a≧b\) または \(b≦a\)

 

ここでは、等式と不等式の勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

等式の練習問題1

次の数量の間の関係を等式で表しなさい。

(1)ある数\(x\)を3倍して4を引くと、\(x\)に12を加えた数と等しい。

 

(2)1個\(a\)円のりんごを5個買って1000円出したら、おつりが\(b\)円だった。

 

(3)75枚の色紙を\(a\)人の生徒に1人6枚ずつ配ったら、\(b\)枚余った。

 

等式の練習問題1の解答

(1)ある数\(x\)を3倍して4を引くと、\(x\)に12を加えた数と等しい。

まずは、1つずつ式を作っていきましょう。

「ある数\(x\)を3倍して4を引く」を式で表すと、

\(3x-4\) ---①

となります。

次に、「\(x\)に12を加えた数」を式で表すと、

\(x+12\) ---②

となります。

①、②の式が等しいという事なので、答えは

\(3x-4=x+12\)

となります。

 

(2)1個\(a\)円のりんごを5個買って1000円出したら、おつりが\(b\)円だった。

1個\(a\)円のりんご5個の値段は、

\(5a\)

となり、1000円から\(5a\)を引いた残りがおつり\(b\)と等しくなるので、答えは

\(1000-5a=b\)

となります。

 

(3)75枚の色紙を\(a\)人の生徒に1人6枚ずつ配ったら、\(b\)枚余った。

色紙を\(a\)人に6枚ずつ配った時の枚数は、

\(6a\)

となります。

75枚から\(6a\)を引いた残りが\(b\)と等しくなるので、答えは

\(75-6a=b\)

となります。

 

不等式の練習問題1

次の数量の間の関係を不等式で表しなさい。

(1)50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚買って1000円出したら、おつりがきた。

 

(2)定価\(a\)円の品物を定価の3割引きで買ったら、\(b\)円以上だった。

 

(3)\(xm\)の道のりを分速120\(m\)の速さで走ったら、かかった時間は\(y\)分未満だった。

 

不等式の練習問題1の解答

(1)50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚買って1000円出したら、おつりがきた。

50円切手\(x\)枚の値段は、

\(50x\)

となり、

80円切手\(y\)枚の値段は、

\(80y\)

となります。

50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚買って1000円出したら、おつりがきたという事は、

\(50x+80y\)よりも1000円の方が大きいという事になるので、答えは

\(50x+80y<1000\)

となります。

 

(2)定価\(a\)円の品物を定価の3割引きで買ったら、\(b\)円以上だった。

定価\(a\)円の品物を3割引きで買うという事は、定価の7割で買うという事なので、定価\(a\)円の品物を3割引きで買った時の値段は、

\(\frac{7}{10}a\)

となります。

\(\frac{7}{10}a\)が\(b\)円以上という事なので、答えは

\(\frac{7}{10}a≧b\)

となります。

以上と以下は、それも含むという事を覚えておきましょう。

例えば、2以上の場合は、2も含みます。

 

(3)\(xm\)の道のりを分速120\(m\)の速さで走ったら、かかった時間は\(y\)分未満だった。

時間を求める式は

\(時間=\frac{距離}{速さ}\)

なので

\(xm\)の道のりを分速120\(m\)の速さで走った時の時間は

\(時間=\frac{x}{120}\)

となります。

\(\frac{x}{120}\)が\(y\)分に満たなかったという事は\(y\)の方が大きいという事なので、答えは

\(\frac{x}{120}<y\)

となります。

 

【中1数学・文字と式】一次式の加減と乗除の計算問題と詳しい解答

一次式とは?

一次式とは、式の中にある文字の次数が1の場合の式の事を言います。

次数とは、\(x\)や\(y\)などの同じ文字が何回掛けられているかを表す数です。

下記のように

\(x=x → 次数1\)

\(x^2=x×x → 次数2\)

\(x^3=x×x×x → 次数3\)

となります。

 

では、下記の式は何次式でしょうか?

\(5x+3\)

この式は、\(x\)の次数が1なので一次式になります。

 

では、下記の式は何次式になるでしょうか?

\(x^2+2x+1\)

この式には、次数1と次数2の両方がありますが、式の中の最も多い次数で一次式なのか二次式なのかが決まるので、この式の場合は二次式となります。

何次式になるかは、その式の中にある最も多い次数で決まるという事を覚えておきましょう。

ここでは、一次式の加減と乗除の計算方法を勉強しましょう。

では早速、問題を解いてみましょう。

 

一次式の加減の計算問題1

(1)\(4a+(3a-2)\)

 

(2)\(6x+3+(-5x-8)\)

 

(3)\((2x-4)+(6x-2)\)

 

(4)\((-x+4)+(6x-4)\)

 

(5)\((\frac{3}{5}x-\frac{1}{3})-(\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x)\)

 

一次式の加減の計算問題1の解答

(1)\(4a+(3a-2)\)

()を外すと

\(4a+3a-2\)

となり、同じ文字は足し引きできるので、答えは、

\(7a-2\)

となります。

 

(2)\(6x+3+(-5x-8)\)

この問題も同様に計算すると、

\(6x+3-5x-8=x-5\)

となります。

 

(3)\((2x-4)+(6x-2)\)

この問題も同様に計算すると、

\(2x-4+6x-2=8x-6\)

となります。

 

(4)\((-x+4)+(6x-4)\)

この問題も同様に計算すると、

\(-x+4+6x-4=5x\)

となります。

 

(5)\((\frac{3}{5}x-\frac{1}{3})-(\frac{1}{5}+\frac{3}{10}x)\)

この問題の場合は、まずは通分します(先に()を外しても構いません)。

3と5と10の分母に共通する最小の数字は30なので、全ての分母を30にして一気に通分しても構いませんが、文字付の項と数字だけの項を分けて通分した方が数字を小さくできるので、分けて通分すると、

\((\frac{6}{10}x-\frac{5}{15})-(\frac{3}{15}+\frac{3}{10}x)\)

となります。

次に()を外すと、

\(\frac{6}{10}x-\frac{5}{15}-\frac{3}{15}-\frac{3}{10}x\)

となるので、ゆえに

\(\frac{3}{10}x-\frac{8}{15}\)

となります。

 

一次式の乗除の計算問題1

(1)\(2(3a+6)\)

 

(2)\(4(2y-5)\)

 

(3)\(-6(x+7)\)

 

(4)\(-8(3b-9)\)

 

(5)\((9x+12)÷3\)

 

(6)\((-12y-24)÷(-6)\)

 

一次式の乗除の計算問題1の解答

(1)\(2(3a+6)\)

この問題は分配法則を利用して計算するので、

\(2×3a+2×6\)

となるので、

\(6a+12\)

となります。

 

(2)\(4(2y-5)\)

この問題も同様に計算すると、

\(4×2y+4×(-5)\)

\(=8y-20\)

となります。

 

(3)\(-6(x+7)\)

この問題も同様に計算すると、

\(-6×x-6×7\)

\(=-6x-42\)

となります。

 

(4)\(-8(3b-9)\)

この問題も同様に計算すると、

\(-8×3b-8×(-9)\)

\(=-24b+72\)

となります。

 

(5)\((9x+12)÷3\)

この問題の場合は、除法を乗法に直してから計算するので、除法を乗法に直すと、

\((9x+12)×\frac{1}{3}\)

となります。

後は、分配法則を利用して計算するだけなので、

\(9x×\frac{1}{3}+12×\frac{1}{3}\)

\(=3x+4\)

となります。

 

(6)\((-12y-24)÷(-6)\)

この問題も(5)と同様に計算すると、

\((-12y-24)×(-\frac{1}{6})\)

\(=-12y×(-\frac{1}{6})-24×(-\frac{1}{6})\)

\(=2y+4\)

となります。