中2数学

特別な平行四辺形

「正方形、長方形、ひし形、平行四辺形の定義」

正方形、長方形、ひし形、平行四辺形の4つの四角形には、それぞれ次のような定義があります。

・正方形：4つの角が全て直角で等しく、4つの辺の長さも全て等しい四角形。

 

・長方形：4つの角が全て直角で等しい四角形。

 

・ひし形：4つの辺の長さが全て等しい四角形。

大切なポイント：ひし形は平行四辺形の特別な場合なので、平行四辺形の「2組の向かい合う辺がそれぞれ平行」という性質も持っています。

 

・平行四辺形：2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形。

 

平行四辺形に「4つの角が全て等しい」という特徴を加えると長方形になり、「4つの辺の長さが全て等しい」という特徴を加えると、ひし形になります。

また、「4つの角が全て等しい」という特徴と「4つの辺の長さが全て等しい」という両方の特徴を加えると正方形になります。

 

「長方形とひし形の対角線の特徴」

・長方形：対角線の長さが等しい。

下図のように、長方形は2つの対角線の長さが等しくなります。

 

・ひし形：対角線が垂直に交わる。

下図のように、ひし形は2つの対角線が垂直に交わります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

特別な平行四辺形の練習問題１

下図の四角形\(ABCD\)は正方形である。\(∠AEG＝52°\)、\(∠EGC＝80°\)である時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

 

特別な平行四辺形の練習問題１の解答

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、錯角は等しいので、

\(∠CDG＝52°\)

になります。

\(52°＋∠x＝80°\)なので、

\(∠x＝80°－52°＝28°\)

になります。

\(∠EGF＝100°\)なので、\(∠y\)は

\(∠y＝360°－52°－90°－100°＝118°\)

になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題２

下図の四角形\(ABCD\)はひし形で、\(AD＝AE\)である。\(∠DAE＝32°\)の時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

 

特別な平行四辺形の練習問題２の解答

\(AD＝AE\)より、\(△AED\)は二等辺三角形なので、

\(∠AED＝（180°－32°）÷2＝74°\)

になります。

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、錯角は等しいので、

\(∠x＝74°\)

になります。

\(AB＝AD＝AE\)より、\(△ABE\)は二等辺三角形なので、\(∠y\)は

\(∠y＝（180°－74°）÷2＝53°\)

になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題３

下図は、長方形\(ABCD\)を対角線\(AC\)で折り、点\(B\)が移った点を\(B´\)としたものである。\(B´C\)と\(AD\)の交点を\(E\)とする時、\(△EAC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

 

特別な平行四辺形の練習問題３の解答

折り返した角なので、

\(∠ECA＝∠BCA\)　－－－①

になります。

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠EAC＝∠BCA\)　－－－②

①、②より、\(∠ECA＝∠EAC\)になり、2つの角が等しいので、

\(△EAC\)は二等辺三角形になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題４

下図で、四角形\(ABCD\)はひし形、\(△DEF\)は正三角形で、\(AD\;\)//\(\;EF\)である。\(A\)と\(E\)、\(C\)と\(F\)を結んだ時、\(AE＝CF\)となる事を証明しなさい。

 

特別な平行四辺形の練習問題４の解答

\(△DAE\)と\(△DCF\)が合同である事を証明すれば、\(AE＝CF\)となる事を証明できます。

\(△DAE\)と\(△DCF\)において、\(△DEF\)は正三角形なので、

\(DE＝DF\)　－－－①

になります。

四角形\(ABCD\)はひし形なので、

\(DA＝DC\)　－－－②

になります。

\(AD\;\)//\(\;EF\)より、錯角は等しいので、

\(∠ADE＝∠DEF\)

正三角形は全ての角が\(60°\)で等しいので、

\(∠DEF＝∠CDF\)となり、

\(∠ADE＝∠CDF\)　－－－③

になります。

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△DAE≡△DCF\)

になります。

ゆえに、

\(AE＝CF\)

になります。

 

平行四辺形になる条件

平行四辺形になる条件には次の5つがあり、どれかが成り立てば、その四角形は平行四辺形になります。

・条件1：2組の向かい合う辺が、それぞれ平行である。

 

・条件2：2組の向かい合う辺の長さが、それぞれ等しい。

 

・条件3：2組の向かい合う角が、それぞれ等しい。

 

・条件4：対角線がそれぞれの中点で交わる。

 

・条件5：1組の向かい合う辺の長さが等しく、平行である。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

平行四辺形になる条件の練習問題１

四角形\(ABCD\)の対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。この四角形について、次のような条件がある時、常に平行四辺形になるものには〇を、そうとは限らないものには✕を書きなさい。

（1）\(AD\;\)//\(\;BC\)、\(AB＝DC\)

（2）\(OA＝OC\)、\(OB＝OD\)

（3）\(OA＝OC\)、\(AC\;\)⊥\(\;BD\)

（4）\(∠ADB＝∠CBD\)、\(∠ABD＝∠CDB\)

 

平行四辺形になる条件の練習問題１の解答

（1）✕

\(AD\;\)//\(\;BC\)ですが、\(AD＝BC\)ではないので、平行四辺形になるとは限りません。

 

（2）〇

対角線がそれぞれの中点で交わるので、平行四辺形になります。

 

（3）✕

\(OA＝OC\)ですが、\(OB＝OD\)ではないので、平行四辺形になるとは限りません。

 

（4）〇

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行になるので、平行四辺形になります。

 

平行四辺形になる条件の練習問題２

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)で、辺\(AD\)、\(BC\)上に\(DE＝BF\)となるような点\(E\)、\(F\)をとる。点\(A\)と\(F\)、点\(C\)と\(E\)をそれぞれ結ぶ時、四角形\(AFCE\)は平行四辺形になる事を証明しなさい。

 

平行四辺形になる条件の練習問題２の解答

\(AD\;\)//\(\;BC\)なので、

\(AE\;\)//\(\;FC\)　－－－①

になります。

\(AD＝BC\)、\(DE＝BF\)なので、

\(AE＝FC\)　－－－②

になります。

①、②より、1組の向かい合う辺の長さが等しく平行なので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

平行四辺形になる条件の練習問題３

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)で、対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。\(O\)を通る直線を引き、辺\(AD\)、\(BC\)との交点をそれぞれ\(E\)、\(F\)とする。この時、四角形\(AFCE\)は平行四辺形である事を証明しなさい。

 

平行四辺形になる条件の練習問題３の解答

\(△AOE\)と\(△COF\)が合同である事を証明すれば、四角形\(AFCE\)が平行四辺形である事を証明できます。

\(△AOE\)と\(△COF\)において、

\(AO＝CO\)　－－－①

対頂角は等しいので、

\(∠AOE＝∠COF\)　－－－②

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠OAE＝∠OCF\)　－－－③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AOE≡△COF\)

になります。

ゆえに、

\(OE＝OF\)　－－－④

①、④より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

「もう1つの解答」

\(△AOE≡△COF\)を証明後、

\(AE\;\)//\(\;CF\)、\(AE＝CF\)より、

1組の向かい合う辺の長さが等しく平行なので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

平行四辺形の性質

下の図1のように、2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形の事を平行四辺形と言います。

 

平行四辺形には、次のような3つの性質があります。

・平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい。

 

・平行四辺形の向かい合う角は等しい。

 

・平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

 

平行四辺形のこれらの性質を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

平行四辺形の性質の練習問題１

次の平行四辺形\(ABCD\)で、\(x\)、\(y\)の値をそれぞれ求めなさい。

（1）

 

 

（2）

 

平行四辺形の性質の練習問題１の解答

（1）

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、

\(∠x＝50°\)

\(∠y＝130°\)

になります。

 

（2）

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、

\(x＝6cm\)

になります。

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(y＝\frac{8}{2}＝4cm\)

になります。

 

平行四辺形の性質の練習問題２

下図の平行四辺形\(ABCD\)で、辺\(BC\)の延長上に\(AE＝BE\)となる点\(E\)をとり、\(AE\)と辺\(DC\)との交点を\(F\)とする。\(∠D＝70°\)である時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

 

平行四辺形の性質の練習問題２の解答

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、

\(∠B＝70°\)

\(AE＝BE\)より、\(△ABE\)は二等辺三角形なので、

\(∠x＝70°\)

になります。

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、\(∠y\)は\(∠x\)の外角になるので、

\(∠y＝180°－70°＝110°\)

になります。

 

平行四辺形の性質の練習問題３

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)の対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。\(BD\)上に点\(E\)をとり、\(A\)と\(E\)を結ぶ。点\(C\)を通り、\(AE\)に平行な直線と\(BD\)との交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。

（1）\(△AEO≡△CFO\)である事を証明しなさい。

 

（2）（1）を利用して、\(△ABE≡△CDF\)である事を証明しなさい。

 

平行四辺形の性質の練習問題３の解答

（1）\(△AEO≡△CFO\)である事を証明しなさい。

\(△AEO\)と\(△CFO\)において、

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(AO＝CO\)　－－－①

対頂角は等しいので、

\(∠AOE＝∠COF\)　－－－②

\(AE\;\)//\(\;CF\)より、錯角は等しいので、

\(∠EAO＝∠FCO\)　－－－③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AEO≡△CFO\)

になります。

 

（2）（1）を利用して、\(△ABE≡△CDF\)である事を証明しなさい。

\(△ABE\)と\(△CDF\)において、

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(OE＝OF\)

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(BO＝DO\)と\(OE＝OF\)から、

\(BE＝DF\)　－－－①

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(AE＝CF\)　－－－②

\(AE\;\)//\(\;CF\)より、錯角は等しいので、

\(∠AEO＝∠CFO\)となり、

\(∠AEB＝∠CFD\)　－－－③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△CDF\)

になります。

 

「もう1つの解答」

\(△ABE\)と\(△CDF\)において、

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(OE＝OF\)

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(BO＝DO\)と\(OE＝OF\)から、

\(BE＝DF\)　－－－①

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、

\(AB＝CD\)　－－－②

\(AB\;\)//\(\;CD\)より、錯角は等しいので、

\(∠ABE＝∠CDF\)　－－－③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△CDF\)

になります。

 

直角三角形の合同

直角三角形とは、1つの角が直角（\(90°\)）である三角形の事を言い、直角三角形の合同条件には次の2つがあります。

・条件1：直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

鋭角（えいかく）とは、直角より小さい角度の事です。

下図のように、斜辺と鋭角のどちらかがそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

 

 

・条件2：直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

下図のように、斜辺ともう一つの辺がそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

 

この2つの条件のどちらかが成り立てば、2つの直角三角形は合同になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

直角三角形の合同の練習問題１

下の図で、合同な三角形の組を2組選び、記号で答えなさい。また、その時に使った合同条件を答えなさい。

 

直角三角形の合同の練習問題１の解答

・1組目：㋐と㋔

合同条件：直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

 

・2組目：㋑と㋕

㋕の一番小さい内角は\(180°－90°－60°＝30°\)になります。

合同条件：直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

 

直角三角形の合同の練習問題２

下の図で、四角形\(ABCD\)は正方形、\(△AEF\)は\(AE＝AF\)の二等辺三角形である。この時、\(BE＝DF\)である事を証明しなさい。

 

直角三角形の合同の練習問題２の解答

\(△ABE\)と\(△ADF\)が合同である事を証明すれば、\(BE＝DF\)である事を証明できます。

\(△ABE\)と\(△ADF\)において、

\(AE＝AF\)　－－－①

四角形\(ABCD\)は正方形なので、

\(AB＝AD\)　－－－②

\(∠ABE＝∠ADF＝90°\)　－－－③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△ADF\)

になります。

ゆえに、

\(BE＝DF\)

となります。

 

直角三角形の合同の練習問題３

\(AB＝AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の頂点\(B\)、\(C\)からそれぞれの対辺\(AC\)、\(AB\)に垂線を引き、\(AC\)、\(AB\)との交点を\(D\)、\(E\)とする。\(BD\)と\(CE\)との交点を\(P\)とする時、\(△PBC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

 

直角三角形の合同の練習問題３の解答

\(△EBC\)と\(△DCB\)が合同である事を証明すれば、\(△PBC\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△EBC\)と\(△DCB\)において、

\(△ABC\)は二等辺三角形なので、

\(∠EBC＝∠DCB\)　－－－①

\(∠BEC＝∠CDB＝90°\)　－－－②

\(BC\)は共通　－－－③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、

\(△EBC≡△DCB\)

になります。

ゆえに、\(∠ECB＝∠DBC\)となり、

\(∠PCB＝∠PBC\)となるので、

\(△PBC\)は二等辺三角形になります。

 

二等辺三角形になる条件

二等辺三角形が成立する条件には、次の4つがあります。

・条件1：2つの角度が等しい三角形は、二等辺三角形である。

 

・条件2：頂角の二等分線が底辺の中点を通る三角形は、二等辺三角形である。

 

・条件3：頂角の二等分線が底辺と垂直に交わる三角形は、二等辺三角形である。

 

・条件4：底辺の垂直二等分線が別の頂点を通る三角形は、二等辺三角形である。

 

これらが二等辺三角形になる条件ですが、この4つのうちの1つでも成り立てば二等辺三角形になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題１

下図のように、\(AB＝AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の辺\(AC\)上に点\(D\)をとる。点\(D\)を通り、辺\(AB\)に平行な直線と辺\(BC\)との交点を\(E\)とする。辺\(BC\)の延長上に\(BE＝CF\)となる点\(F\)をとり、\(D\)と\(F\)を結ぶ時、次の問いに答えなさい。

（1）\(△DEC\)が二等辺三角形になる事を証明する。▢に当てはまる記号や数を書きなさい。

【証明】\(AB＝AC\)だから、\(∠ABC＝∠\)▢　－－－①

\(AB\;\)//\(\;DE\)で、同位角は等しいから、\(∠ABC＝∠\)▢　－－－②

①、②から、\(∠DEC＝∠\)▢

従って、▢つの角が等しいので、\(△DEC\)は二等辺三角形である。

 

（2）\(△DBF\)が二等辺三角形になる事を証明しなさい。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題１の解答

（1）\(△DEC\)が二等辺三角形になる事を証明する。▢に当てはまる記号や数を書きなさい。

▢の中に入るのは、順に

\(ACB\)、\(DEC\)、\(ACB\)、\(2\)

になります。

 

（2）\(△DBF\)が二等辺三角形になる事を証明しなさい。

\(△DBE\)と\(△DFC\)が合同である事を証明すれば、\(△DBF\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△DBE\)と\(△DFC\)において、

\(BE＝CF\)　－－－①

\(△DEC\)は二等辺三角形なので、

\(DE＝DC\)　－－－②

になります。

\(∠DEC＝∠DCE\)より、

\(∠DEB＝∠DCF\)　－－－③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△DBE≡△DFC\)

になります。

ゆえに、\(∠DBE＝∠DFC\)となるので、\(△DBF\)は二等辺三角形になります。

（「\(DB＝DF\)なので、\(△DBF\)は二等辺三角形になる。」でも構いません。）

 

二等辺三角形になる条件の練習問題２

次の事柄の逆を答えなさい。また、それが正しいか、正しくないかを答えなさい。

（1）\(a\)が偶数、\(b\)が偶数ならば、\(ab\)は偶数である。

 

（2）2直線に1つの直線が交わる時、2直線が平行ならば、錯角は等しい。

 

（3）\(△ABC≡△DEF\)ならば、\(∠A＝∠D\)、\(∠B＝∠E\)、\(∠C＝∠F\)である。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題２の解答

（1）\(a\)が偶数、\(b\)が偶数ならば、\(ab\)は偶数である。

これの逆を言うと、「\(ab\)が偶数ならば、\(a\)は偶数、\(b\)は偶数である。」

になりますが、\(a\)が偶数、\(b\)が奇数でも\(ab\)は偶数になるので、これは正しくありません。

 

（2）2直線に1つの直線が交わる時、2直線が平行ならば、錯角は等しい。

これの逆を言うと、「2直線に1つの直線が交わる時、錯角が等しければ、2直線は平行である。」

になり、錯角が等しければ、2直線は平行になるので、これは正しいです。

 

（3）\(△ABC≡△DEF\)ならば、\(∠A＝∠D\)、\(∠B＝∠E\)、\(∠C＝∠F\)である。

これの逆を言うと、「\(∠A＝∠D\)、\(∠B＝∠E\)、\(∠C＝∠F\)ならば、\(△ABC≡△DEF\)である。」

になりますが、それぞれの内角が等しくても、それぞれの辺の長さが等しいとは限らないので、これは正しくありません。

 

二等辺三角形の性質

2辺の長さが等しい三角形の事を二等辺三角形と言います。

下の図1は二等辺三角形を表した図で、\(AB＝AC\)になります。

また、二等辺三角形は2つの底角（図中の\(∠a\)）が等しくなり、二等辺三角形の頂角（図中の\(∠A\)が頂角）の二等分線は底辺を垂直に二等分します。

 

これが二等辺三角形の性質です。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

二等辺三角形の性質の練習問題１

次の図で、同じ印をつけた辺は等しいとして、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

（1）

 

（2）

 

二等辺三角形の性質の練習問題１の解答

（1）

二等辺三角形は2つの底角が等しいので、

\(∠x＝50°\)

になり、\(∠y\)は

\(∠y＝180°－50°－50°＝80°\)

になります。

 

（2）

二等辺三角形なので、

\(34°＋∠x＋∠x＝180°\)

\(2∠x＝180°－34°\)

\(2∠x＝146°\)

\(∠x＝73°\)

になります。

\(∠y\)は\(34°＋73°\)になるので。

\(∠y＝107°\)

になります。

 

二等辺三角形の性質の練習問題２

下の図で、\(AB＝AC\)、\(BC＝BD\)の時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

 

二等辺三角形の性質の練習問題２の解答

\(AB＝AC\)より、\(△ABC\)は二等辺三角形なので、\(∠ACB\)は

\(∠ACB＝（180°－40°）÷2＝70°\)になります。

\(BC＝BD\)より、\(△BCD\)は二等辺三角形なので、

\(∠x＝70°\)

になります。

\(∠CBD\)は

\(∠CBD＝180°－70°－70°＝40°\)

になるので、

\(∠y＝70°－40°＝30°\)

になります。

 

二等辺三角形の性質の練習問題３

\(AB＝AC\)である二等辺三角形\(ABC\)で、\(∠BAC\)の二等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とする。この時、\(BD＝CD\)、\(AD⊥BC\)である事を証明する。▢には当てはまる記号や数を、（  ）には三角形の合同条件を書きなさい。

【証明】\(△ABD\)と\(△ACD\)において、仮定から、

\(AB＝\)▢　－－－①

\(∠\)▢＝\(∠CAD\)　－－－②

▢は共通　－－－③

①、②、③より、（  ）がそれぞれ等しいから、

\(△ABD≡△ACD\)

従って、\(BD＝CD\)

\(∠ADB＋∠ADC＝180°\)だから、

\(∠ADB＝∠ADC＝\)▢\(°\)で、

\(AD⊥BC\)

 

二等辺三角形の性質の練習問題３の解答

▢の中に入るのは、順に

\(AC\)、\(BAD\)、\(AD\)、\(90\)

になります。

（  ）の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明

・三角形の合同条件

三角形の合同条件には下記の3つがあり、3つのうちの1つが成り立てば、2つの三角形は合同になります。

条件1：3組の辺がそれぞれ等しい。

条件2：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

条件3：1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

この合同条件を覚えていないと合同を証明できないので、必ず覚えるようにしましょう。

 

・証明

証明問題を解くコツは、等しい線分や等しい角度には、図中に印を書き込んでいく事です。

そして、最初に「△〇〇〇と△▢▢▢において」と書きます。

次に、～なので、「✕✕＝◎◎」というように、等しい線分や等しい角度を1つずつ文章で書いていきます。

合同条件がそろったら「～がそれぞれ等しいから」と合同条件を書き、

最後に「△〇〇〇≡△▢▢▢」と書けば、三角形の合同の証明は終わりです。

 

応用問題になると、図の中に直線を追加したりしないと解けない問題もあります。

そういう問題が解けるかどうかは、そのポイントに気付けるかどうかで決まると思います。

ポイントに気付けるようになるためには、色々な問題をたくさん解く事が大切なので、頑張って問題をたくさん解くようにしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題１

下図のように、線分\(AB\)と\(CD\)が点\(O\)で交わっている。

\(OA＝OB\)、\(OC＝OD\)ならば、\(AC\;\)//\(\;DB\)である事を証明する。

▢には当てはまる記号を、（  ）には三角形の合同条件を書きなさい。

 

【証明】\(△OAC\)と\(△OBD\)において、

仮定から、\(OA＝OB\)　－－－①

\(OC＝\)▢　－－－②

対頂角は等しいから、\(∠AOC＝∠\)▢　－－－③

①、②、③より（  ）がそれぞれ等しいから、

\(△\)▢\(≡△OBD\)

合同な図形の対応する角の大きさは等しいから、

\(∠OAC＝∠\)▢

従って、錯角が等しいから、\(AC\;\)//\(\;DB\)

 

三角形の合同条件と証明の練習問題１の解答

▢の中に入るのは、順に

\(OD\)、\(BOD\)、\(OAC\)、\(OBD\)

になります。

（  ）の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題２

下図のように、円\(A\)と円\(B\)が2点\(C\)、\(D\)で交わっている。点\(A\)と\(B\)、\(C\)、\(D\)をそれぞれ結ぶ時、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線である事を証明しなさい。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題２の解答

二等分線というのは、角を二等分する直線の事です。

上図のように、点\(B\)と\(C\)を結ぶ線分\(BC\)と、点\(B\)と\(D\)を結ぶ線分\(BD\)を引くと、\(△ABC\)と\(△ABD\)ができます。

\(△ABC\)と\(△ABD\)において、

線分\(AC\)と線分\(AD\)は、どちらも円\(A\)の半径なので、

\(AC＝AD\)　－－－①

になります。

線分\(BC\)と線分\(BD\)は、どちらも円\(B\)の半径なので、

\(BC＝BD\)　－－－②

になります。

線分\(AB\)は、どちらの三角形にも共通の線分　－－－③

①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABC≡△ABD\)

になります。

\(∠BAC＝∠BAD\)なので、

ゆえに、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題３

下図で、四角形\(ABCD\)、四角形\(ECFG\)はどちらも正方形である。点\(B\)と\(E\)、点\(D\)と\(F\)をそれぞれ結ぶ時、\(△EBC≡△FDC\)である事を証明する。▢には当てはまる記号や数を、（  ）には三角形の合同条件を書きなさい。

 

【証明】\(△EBC\)と\(△FDC\)において、

正方形の4つの辺の長さは等しいから、

\(BC＝\)▢　－－－①

▢\(＝FC\)　－－－②

\(∠ECB＝\)▢°\(－∠ECD\)　－－－③

\(∠FCD＝90°－∠\)▢　－－－④

③、④から、\(∠ECB＝∠FCD\)　－－－⑤

①、②、⑤より、（  ）がそれぞれ等しいから、

\(△EBC≡△FDC\)

 

三角形の合同条件と証明の練習問題３の解答

▢の中に入るのは、順に

\(DC\)、\(EC\)、\(90\)、\(ECD\)

になります。

（  ）の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題４

下図で、四角形\(ABCD\)は\(AD\;\)//\(\;BC\)の台形である。辺\(DC\)の中点を\(M\)とし、直線\(AM\)と辺\(BC\)の延長との交点を\(E\)とする。この時、\(AD＝EC\)である事を証明しなさい。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題４の解答

まず、\(△AMD\)と\(△EMC\)が合同である事を証明します。

\(△AMD\)と\(△EMC\)において、

\(M\)は辺\(DC\)の中点なので、

\(DM＝CM\)　－－－①

になります。

対頂角は等しいので、

\(∠AMD＝∠EMC\)　－－－②

になります。

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠ADM＝∠ECM\)　－－－③

になります。

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AMD≡△EMC\)

となります。

ゆえに、

\(AD＝EC\)

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題５

下図のように、線分\(AB\)上に点\(C\)をとり、線分\(AC\)を1辺とする正三角形\(DAC\)と、線分\(CB\)を1辺とする正三角形\(ECB\)をつくる。\(AE\)、\(DB\)の交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。

 

（1）\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。

 

（2）\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題５の解答

（1）\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。

\(△ACE\)と\(△DCB\)において、

\(△DAC\)と\(△ECB\)はどちらも正三角形なので、

\(AC＝DC\)　－－－①

\(CE＝CB\)　－－－②

になります。

正三角形の1つの内角は\(60°\)なので、

\(∠ACE＝180°－60°＝120°\)

\(∠DCB＝180°－60°＝120°\)

となるので、

\(∠ACE＝∠DCB\)　－－－③

になります。

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ACE≡△DCB\)

になります。

 

（2）\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。

\(∠DFA\)は\(∠AFB\)の外角になるので、

\(∠DFA＝∠FAB＋∠FBA\)

になります。

\(∠FAB＝∠BDC＝∠FBE\)なので、

\(∠DFA＝∠FBA＋∠FBE＝60°\)

になります。

 

証明とその仕組み

・仮定と結論

「〇〇〇ならば、△△△である。」という事柄について、〇〇〇の部分を仮定と言い、

△△△の部分を結論と言います。

 

（例題）\(a＝b\)、\(b＝c\)ならば、\(a＝c\)である。仮定と結論を答えなさい。

（解答）\(a＝b\)、\(b＝c\)だとすると、\(a＝c\)が成り立つという意味です。

すなわち、\(a＝b\)、\(b＝c\)だと仮定すると、\(a＝c\)という結論になるという事なので、答えは

仮定：\(a＝b\)、\(b＝c\)

結論：\(a＝c\)

となります。

 

仮定と結論を答える問題は、難しく考えず、そのまま書くだけでOKです。

この事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

証明とその仕組みの練習問題１

次の事柄について、仮定と結論を答えなさい。

（1）\(A＝B\)ならば、\(AC＝BC\)である。

 

（2）\(x\)が6の約数ならば、\(x\)は12の約数である。

 

（3）\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)ならば、\(m\;\)⊥\(\;n\)である。

 

（4）△\(ABC\)で、\(∠A＋∠B＝80°\)ならば、△\(ABC\)は鈍角三角形である。

 

証明とその仕組みの練習問題１の解答

（1）\(A＝B\)ならば、\(AC＝BC\)である。

仮定：\(A＝B\)

結論：\(AC＝BC\)

になります。

 

（2）\(x\)が6の約数ならば、\(x\)は12の約数である。

仮定：\(x\)が6の約数

結論：\(x\)は12の約数

になります。

 

（3）\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)ならば、\(m\;\)⊥\(\;n\)である。

仮定：\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)

結論：\(m\;\)⊥\(\;n\)

になります。

 

（4）△\(ABC\)で、\(∠A＋∠B＝80°\)ならば、△\(ABC\)は鈍角三角形である。

仮定：\(∠A＋∠B＝80°\)

結論：△\(ABC\)は鈍角三角形

 

証明とその仕組みの練習問題２

下の図で、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE＝DE\)ならば、\(AB＝CD\)である。次の問いに答えなさい。

 

（1）仮定と結論を答えなさい。

 

（2）この事を証明するために、どの三角形とどの三角形が合同である事を証明すればいいか答えなさい。

 

（3）（2）を証明するために利用する図形の基本性質を、下の㋐～㋓から全て選び、記号で答えなさい。

㋐対頂角は等しい。　　　　　　㋑合同な図形の対応する角は等しい。

㋒平行線の同位角は等しい。　　㋓平行線の錯角は等しい。

 

証明とその仕組みの練習問題２の解答

（1）仮定と結論を答えなさい。

仮定：\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE＝DE\)

結論：\(AB＝CD\)

になります。

 

（2）この事を証明するために、どの三角形とどの三角形が合同である事を証明すればいいか答えなさい。

これは、見たまんまで、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE＝DE\)ならば、\(AB＝CD\)である事を証明するためには、\(△AEB\)と\(△DEC\)が合同である事を証明します。

 

（3）（2）を証明するために利用する図形の基本性質を、下の㋐～㋓から全て選び、記号で答えなさい。

与えられている条件は、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE＝DE\)です。

この与えられた条件を利用して\(△AEB\)と\(△DEC\)が合同である事を証明するには、

\(AE＝DE\)を利用して「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」事を証明すればいいので、下図の\(∠a\)同士と\(∠b\)同士が等しい事が言えればOKです。

\(∠a\)は対頂角なので等しくなり、\(l\;\)//\(\;m\)なので、錯角\(∠b\)は等しくなります。

ゆえに、答えは㋐、㋓になります。

与えられた条件を利用して、どうすれば合同を証明できるかを考えるようにしましょう。

頭の中だけで考えず、図の中に等しい角などを記入していくと、当てはまる合同条件が見えてくると思います。

また、この問題を解くには、三角形の合同条件が必要なので、三角形と直角三角形の合同条件は必ず覚えておきましょう。

 

合同な図形と三角形の合同条件

・合同な図形

合同な図形とは、全ての辺の長さと全ての角度が同じ図形の事を言います。

下の図1の\(△ABC\)と\(△DEF\)は、3つの辺の長さと3つの内角が全て同じ合同な図形です。

 

このような合同な図形を表す場合、合同記号\(≡\)を使って

\(△ABC≡△DEF\)

と表します。

 

・三角形の合同条件

三角形の合同条件とは、2つの三角形が合同になるための条件で、次の3つの条件のいずれかが成り立てば、2つの三角形は合同になります。

条件1：3組の辺がそれぞれ等しい。

条件2：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

条件3：1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

 

・直角三角形の合同条件

直角三角形の合同条件には次の2つがあります。

条件1：斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

条件2：斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

 

三角形と直角三角形の合同条件は、証明で必要になるので、必ず覚えるようにしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題１

下の図で、四角形\(ABCD≡\)四角形\(EFGH\)である。次の問いに答えなさい。

（1）辺\(AD\)に対応する辺を答えなさい。

 

（2）辺\(GH\)の長さを求めなさい。

 

（3）\(∠B\)に対応する角を答えなさい。

 

（4）\(∠H\)の大きさを求めなさい。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題１の解答

（1）辺\(AD\)に対応する辺を答えなさい。

\(∠C＝∠G＝70°\)より、辺\(AD＝\)辺\(EH\)、辺\(AB＝\)辺\(EF\)、辺\(CD＝\)辺\(GH\)、辺\(BC＝\)辺\(FG\)だという事が分かるので、辺\(AD\)に対応する辺は辺\(EH\)になります。

 

（2）辺\(GH\)の長さを求めなさい。

（1）より、辺\(CD＝\)辺\(GH\)なので

辺\(GH＝5cm\)になります。

 

（3）\(∠B\)に対応する角を答えなさい。

（1）より、辺\(BC＝\)辺\(FG\)なので

\(∠B\)に対応する角は、\(∠F\)になります。

 

（4）\(∠H\)の大きさを求めなさい。

（1）の辺\(AD＝\)辺\(EH\)より、\(∠A＝∠E＝110°\)になるので、\(∠H\)は

\(∠H＝360°－110°－80°－70°＝100°\)

になります。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題２

次の図で、合同な三角形の組を3組選び、記号\(≡\)を使って表しなさい。また、その時に使った合同条件を答えなさい。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題２の解答

・1組目

\(△ABC≡\)\(△ONM\)

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

 

・2組目

\(△DEF≡\)\(△PRQ\)

3組の辺がそれぞれ等しい。

 

・3組目

\(∠J\)は、\(180°－40°－85°＝55°\)になります。

ゆえに、\(△GHI≡\)\(△LJK\)

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

 

多角形の内角と外角

・多角形の内角の和

多角形の内角の和を求める場合は、「三角形の内角の和が180°になる」という事が分かっていれば求める事ができます。

下の図1は四角形と五角形を表したものですが、図のように内側に直線を引くと

四角形は三角形が2つ、五角形は三角形が3つできます。

つまり、四角形の内角の和は、\(180°×2＝360°\)となり

五角形の内角の和は、\(180°×3＝540°\)になります。

このように、多角形の内角の和は、角が1つ増えるごとに180°ずつ増えていきます。

 

多角形の内角の和を求める場合は、次の式を使うと便利です。

\(180°×（n－2）\)　－－－多角形の内角の和を求める式

三角形の場合は、この式の\(n\)に3を代入し、四角形の場合は4を代入すると内角の和を簡単に求める事ができます。

なぜ\(（n－2）\)なのかと言うと、一角形と二角形はないので、三角形の3を代入した場合は1に、四角形の4を代入した場合には2になるようにしたいからです。

この式に実際に三角形の3と四角形の4を代入してみると

\(180°×（3－2）＝180°×1＝180°\)　－－－三角形の場合

\(180°×（4－2）＝180°×2＝360°\)　－－－四角形の場合

となります。

 

・正多角形の1つの内角

 

 

 

 

 

 

 

 

正多角形の1つの内角の大きさを求める場合は、

先ほどの\(180°×（n－2）\)の式を\(n\)で割れば求める事ができます。

\(\frac{180°×（n－2）}{n}\)　－－－正多角形の1つの内角を求める式

図2は正五角形ですが、この正五角形の1つの内角を求める場合、

上の式の\(n\)に5を代入すると求める事ができます。

実際に正五角形の5を\(n\)に代入してみると、

\(\frac{180°×（5－2）}{5}\)

\(＝\frac{180°×3}{5}\)

\(＝\frac{540°}{5}\)

\(＝108°\)

となります。

 

・多角形の外角の和

多角形の外角の和は、何角形に関係なく、必ず360°になります。

 

・正多角形の1つの外角

多角形の外角の和は必ず360°になるので、

正方形の場合は

\(\frac{360°}{4}＝90°\)

となり、

正六角形の場合は

\(\frac{360°}{6}＝60°\)

になります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

多角形の内角と外角の練習問題１

次の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

（1）

 

（2）

 

多角形の内角と外角の練習問題１の解答

（1）

五角形なので、\(180°×（n－2）\)の式の\(n\)に5を代入すると内角の和は、

\(180°×（5－2）\)

\(＝180°×3\)

\(＝540°\)

になります。

ゆえに、\(∠x\)は

\(∠x＝540°－105°－110°－95°－100°＝130°\)

になります。

 

（2）

多角形の外角の和は360°になるので、\(∠x\)は

\(∠x＝360°－55°－120°－105°＝80°\)

になります。

 

多角形の内角と外角の練習問題２

次の問いに答えなさい。

（1）六角形の内角の和を求めなさい。

 

（2）正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

 

（3）正十二角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

 

（4）内角の和が1260°の多角形は何角形か答えなさい。

 

多角形の内角と外角の練習問題２の解答

（1）六角形の内角の和を求めなさい。

\(180°×（n－2）\)の式の\(n\)に6を代入すると、

\(180°×（6－2）\)

\(＝180°×4\)

\(＝720°\)

になります。

 

（2）正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

\(\frac{180°×（n－2）}{n}\)の式の\(n\)に8を代入すると、

\(\frac{180°×（8－2）}{8}\)

\(＝\frac{180°×6}{8}\)

\(＝\frac{1080°}{8}\)

\(＝135°\)

になります。

 

（3）正十二角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

多角形の外角の和は360°なので、360°を12で割ると

\(\frac{360°}{12}＝30°\)

になります。

 

（4）内角の和が1260°の多角形は何角形か答えなさい。

\(180°×（n－2）＝1260°\)となるので、\(n\)の値を求めると

\(180°n－360°＝1260°\)

\(180°n＝1260°＋360°\)

\(180°n＝1620°\)

\(n＝9\)

となるので、内角の和が1260°の多角形は九角形になります。

 

多角形の内角と外角の練習問題３

下の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

 

多角形の内角と外角の練習問題３の解答

上図のように直線を引くと、

\(∠x＝（35°＋a）＋（25°＋b）\)

になります。

\(a＋b＝50°\)

なので、ゆえに\(∠x\)は

\(∠x＝50°＋35°＋25°＝110°\)

になります。