【中2数学】連立方程式の難しい文章題 解き方を詳しく解説

連立方程式の難しい文章題

ここでは、少し難しい連立方程式の文章題を勉強しましょう。

パーセントや何割増し、時速や距離などが出てくると、少しややこしくなりますが、考え方が分かれば似たような問題には対応できるようになると思います。

できるだけ詳しく解説するので、頑張って解き方を身に付けましょう。

では早速、問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の文章題1

ある中学校の昨年度の入学者数は200人であった。今年度の入学者数は昨年度と比べて、男子が4%減り、女子が12%増えて、全体では2%増えた。次の問いに答えなさい。

(1)昨年度の男子の入学者数を\(x\)人、女子の入学者数を\(y\)人として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)今年度の男子と女子の入学者数は、それぞれ何人か求めなさい。

 

連立方程式の文章題1の解答

(1)昨年度の男子の入学者数を\(x\)人、女子の入学者数を\(y\)人として、連立方程式をつくりなさい。

昨年度の入学者数は合計で200人なので、\(x\)と\(y\)を足したものが200に等しくなるので、

\(x+y=200\) ---①

という式が作れます。

次に、今年度の男子の入学者数は昨年度より4%減ったので、今年度の男子の入学者数は

\(x-\frac{4}{100}x=\frac{100}{100}x-\frac{4}{100}x\)

\(=\frac{96}{100}x\) ---②

と表せます。

次に、今年度の女子の入学者数は昨年度より12%増えたので、今年度の女子の入学者数は

\(y+\frac{12}{100}y=\frac{100}{100}y+\frac{12}{100}y\)

\(=\frac{112}{100}y\) ---③

と表せます。

今年度の入学者数は昨年度より全体で2%増えたので、今年度の入学者数は

\(200×\frac{102}{100}=204\) ---④

となります。

②+③が④と等しいので、

\(\frac{96}{100}x+\frac{112}{100}y=204\) ---⑤

という式が作れます。

ゆえに、①、⑤より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=200\\\frac{96}{100}x+\frac{112}{100}y=204\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)今年度の男子と女子の入学者数は、それぞれ何人か求めなさい。

(1)の連立方程式を解き、\(x\)と\(y\)を求め、\(\frac{96}{100}x\)と\(\frac{112}{100}y\)に求めた\(x\)と\(y\)を代入すれば、今年度の男子と女子の入学者数が分かります。

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=200 ---①\\\frac{96}{100}x+\frac{112}{100}y=204 ---②\end{array}\right.\)

代入法で解くので、①の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=-x+200\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(\frac{96}{100}x+\frac{112(-x+200)}{100}=204\)

両辺に100を掛けると

\(100(\frac{96}{100}x+\frac{112(-x+200)}{100})=20400\)

\(96x+112(-x+200)=20400\)

\(96x-112x+22400=20400\)

\(-16x=20400-22400\)

\(-16x=-2000\)

\(x=125\)

となります。

③の式に\(x=125\)を代入すると、

\(y=-125+200\)

\(y=75\)

となります。

ゆえに、今年度の男子と女子の入学者数は、

\(男子=\frac{96}{100}x=\frac{96}{100}×125=120\)

\(女子=\frac{112}{100}y=\frac{112}{100}×75=84\)

となります。

 

連立方程式の文章題2

ある商店では、2種類の商品\(A\)、\(B\)を、\(A\)は1個につき500円、\(B\)は1個につき400円で仕入れ、仕入れ値の合計は52000円であった。そして、\(A\)は仕入れ値の2割増し、\(B\)は仕入れ値の3割増しの定価をつけて売った。その結果、\(A\)は全て売れたが、\(B\)は5個売れ残り、利益は11000円であった。商品\(A\)、\(B\)を仕入れた個数は、それぞれ何個か求めなさい。

 

連立方程式の文章題2の解答

\(A\)を仕入れた個数を\(x\)、\(B\)を仕入れた個数を\(y\)とします。

\(A\)を1個500円で\(x\)個仕入れた値段と、\(B\)を1個400円で\(y\)個仕入れた値段の合計は52000円になるので、

\(500x+400y=52000\) ---①

という式が作れます。

次に、\(A\)を仕入れ値の2割増しで全て売った金額は

\(500×\frac{120}{100}×x=600x\) ---②

となり、\(B\)を仕入れ値の3割増しで売って5個売れ残った時の金額は

\(400×\frac{130}{100}×(y-5)=520(y-5)\) ---③

となります。

仕入れ値と利益の合計は

\(52000+11000=63000\) ---④

となり、②と③を足したものが④と等しくなるので、

\(600x+520(y-5)=63000\) ---⑤

という式が作れます。

ゆえに、①、⑤より、連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}500x+400y=52000 ---①\\600x+520(y-5)=63000 ---⑤\end{array}\right.\)

となります。

加減法で解くので、①の式を6倍、⑤の式を5倍すると

\(3000x+2400y=312000\) ---⑥

 

\(3000x+2600(y-5)=315000\)

\(3000x+2600y-13000=315000\)

\(3000x+2600y=315000+13000\)

\(3000x+2600y=328000\) ---⑦

となります。

⑥-⑦の計算をするので、

\((3000x+2400y=312000)-(3000x+2600y=328000)\)となり、

\((3000x+2600y=328000)\)の部分は

\(-3000x-2600y=-328000\) ---⑧

となります。

後は、⑥+⑧の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3000x+2400y=\;\;312000\)

\(+)\underline{-3000x-2600y=-328000}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-200y=-16000\)

 

となるので、

\(y=80\)

となります。

①の式に\(y=80\)を代入すると、

\(500x+32000=52000\)

\(500x=52000-32000\)

\(500x=20000\)

\(x=40\)

となります。

ゆえに、\(A\)を仕入れた個数は40個、\(B\)を仕入れた個数は80個になります。

 

連立方程式の文章題3

\(16km\)離れた\(A\)町と\(B\)町の間をバスが往復している。\(M\)さんは、自転車で午前9時に\(A\)町を出発して\(B\)町に向かった。途中、午前9時20分に、午前9時\(B\)町発\(A\)町行きのバスと出会い、午前9時45分に、午前9時30分\(A\)町発\(B\)町行きのバスに追い越された。次の問いに答えなさい。ただし、バスの速さも自転車の速さも一定であるものとする。

(1)自転車の速さを時速\(xkm\)、バスの速さを時速\(ykm\)として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)自転車の速さとバスの速さは、それぞれ時速何\(km\)になるか求めなさい。

 

連立方程式の文章題3の解答

(1)自転車の速さを時速\(xkm\)、バスの速さを時速\(ykm\)として、連立方程式をつくりなさい。

\(M\)さんは、午前9時20分に午前9時\(B\)町発\(A\)町行きのバスと出会っているので、\(M\)さんが20分間に進んだ距離は、

\(距離=時間×時速=\frac{20}{60}x\) ---①

となり、午前9時\(B\)町発\(A\)町行きのバスが20分間に進んだ距離は、

\(距離=時間×時速=\frac{20}{60}y\) ---②

となります。

①+②が\(16km\)と等しくなるので、

\(\frac{20}{60}x+\frac{20}{60}y=16\) ---③

という式が作れます。

次に、\(M\)さんは午前9時45分に、午前9時30分\(A\)町発\(B\)町行きのバスに追い越されたので、\(M\)さんが45分間に進んだ距離と午前9時30分\(A\)町発\(B\)町行きのバスが15分間に進んだ距離は等しくなるので、

\(\frac{45}{60}x=\frac{15}{60}y\) ---④

という式が作れます。

ゆえに、③、④より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{20}{60}x+\frac{20}{60}y=16\\\frac{45}{60}x=\frac{15}{60}y\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)自転車の速さとバスの速さは、それぞれ時速何\(km\)になるか求めなさい。

(1)の連立方程式を解けば、それぞれの時速が分かります。

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{20}{60}x+\frac{20}{60}y=16 ---①\\\frac{45}{60}x=\frac{15}{60}y ---②\end{array}\right.\)

代入法で解くので、②の式を\(y=\)に変換すると、

\(45x=15y\)

\(3x=y\)

\(y=3x\) ---③

となります。

③の式を①の式に代入すると、

\(\frac{20}{60}x+\frac{60}{60}x=16\)

\(\frac{80}{60}x=16\)

\(\frac{4}{3}x=16\)

\(x=16×\frac{3}{4}\)

\(x=12\)

となります。

③の式に\(x=12\)を代入すると、

\(y=3×12\)

\(y=36\)

となります。

ゆえに、自転車の速さは時速\(12km\)、バスの速さは時速\(36km\)になります。

 

【中2数学】連立方程式の文章題 解き方がわかる詳しい解説

連立方程式の文章題

ここでは、連立方程式の文章題の勉強をしましょう。

これまでの方程式の文章題は、文字が1種類しかなかったので、式を1つ作れば解ける問題でしたが、連立方程式の文章題は2種類の文字を使って式を2つ作らなければならないので、その分、難易度は高くなります。

でも、問題をたくさん解けば、だんだん式を作る力がついてくると思うので、頑張って問題をたくさん解きましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の文章題1

50円切手と80円切手を合わせて20枚買ったら、代金の合計は1180円であった。次の問いに答えなさい。

(1)50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)50円切手と80円切手をそれぞれ何枚買いましたか。

 

連立方程式の文章題1の解答

(1)50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚として、連立方程式をつくりなさい。

\(x\)と\(y\)を足したものが20に等しくなるので、

\(x+y=20\) ---①

という式が作れます。

次に、50円切手\(x\)枚の代金と80円切手\(y\)枚の代金を足したものが1180に等しくなるので、

\(50x+80y=1180\) ---②

という式が作れます。

ゆえに、①、②より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=20\\50x+80y=1180\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)50円切手と80円切手をそれぞれ何枚買いましたか。

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=20 ---①\\50x+80y=1180 ---②\end{array}\right.\)

(1)で作った連立方程式を解けば、それぞれの枚数が分かります。

代入法で解いた方が簡単なので、まず①の式を\(y=\)に変換(\(x=\)でも良い)すると、

\(y=-x+20\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(50x+80(-x+20)=1180\)

\(50x-80x+1600=1180\)

\(-30x=1180-1600\)

\(-30x=-420\)

\(x=14\)

となります。

③の式に\(x=14\)を代入すると、

\(y=-14+20\)

\(y=6\)

となります。

ゆえに、50円切手を14枚、80円切手を6枚買った事が分かります。

 

連立方程式の文章題2

2桁の自然数がある。この自然数の十の位の数は一の位の数の2倍より1大きく、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、もとの自然数より36小さくなる。

次の問いに答えなさい。

(1)もとの自然数の十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)もとの自然数を求めなさい。

 

連立方程式の文章題2の解答

(1)もとの自然数の十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)として、連立方程式をつくりなさい。

十の位の数は一の位の数の2倍より1大きいという事は、\(y\)の2倍に1を足したものが\(x\)と等しくなるので、

\(x=2y+1\) ---①

という式が作れます。

次に、もとの自然数を\(x\)と\(y\)を使って表すと、

\(10x+y\) ---②

となります。

次に、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、②の式の\(x\)と\(y\)を入れ替えたものなので、

\(10y+x\) ---③

となります。

③がもとの自然数より36小さいので、③に36を足せば②と等しくなるので、

\(10x+y=10y+x+36\) ---④

という式が作れます。

(別の考え方:もとの自然数の方が36大きいので、②から36を引いても構いません。36を右辺に移項すれば式は同じになります。)

ゆえに、①、④より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x=2y+1\\10x+y=10y+x+36\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)もとの自然数を求めなさい。

\(\left\{\begin{array}{l}x=2y+1 ---①\\10x+y=10y+x+36 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(10(2y+1)+y=10y+(2y+1)+36\)

\(20y+10+y=10y+2y+1+36\)

\(20y+y-10y-2y=37-10\)

\(9y=27\)

\(y=3\)

となります。

①の式に\(y=3\)を代入すると、

\(x=6+1\)

\(x=7\)

となります。

ゆえに、もとの自然数は

\(10x+y=70+3=73\)

となります。

 

連立方程式の文章題3

ある音楽会の入場料は、大人2人と中学生3人では6600円、大人3人と中学生8人では14100円になる。大人1人、中学生1人の入場料は、それぞれいくらになるか求めなさい。

 

連立方程式の文章題3の解答

大人1人の入場料を\(x\)円、中学生1人の入場料を\(y\)円とします。

大人2人と中学生3人で6600円という事は、\(2x\)と\(3y\)を足したものが6600に等しくなるので、

\(2x+3y=6600\) ---①

という式が作れます。

次に、大人3人と中学生8人では14100円なので、①の式と同様に考えると、

\(3x+8y=14100\) ---②

という式を作る事ができ、①、②より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}2x+3y=6600 ---①\\3x+8y=14100 ---②\end{array}\right.\)

となります。

加減法で計算するために、①の式を3倍、②の式を2倍すると

\(6x+9y=19800\) ---③

\(6x+16y=28200\) ---④

となります。

③-④の計算をするので、

\((6x+9y=19800)-(6x+16y=28200)\)となり、

\((6x+16y=28200)\)の部分は

\(-6x-16y=-28200\) ---⑤

となります。

後は③+⑤の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+9y=\;\;\;\;19800\)

\(+)\underline{-6x-16y=-28200}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-7y=-8400\)

 

となるので、

\(y=1200\)

となります。

①の式に\(y=1200\)を代入すると、

\(2x+3600=6600\)

\(2x=6600-3600\)

\(2x=3000\)

\(x=1500\)

となります。

ゆえに、大人1人の入場料は1500円、中学生1人の入場料は1200円になります。

 

連立方程式の文章題4

自動車で\(A\)町から\(150km\)離れた\(B\)町に行った。はじめに高速道路を時速\(80km\)で走り、途中から一般道路を時速\(40km\)で走り、全体で\(2\)時間\(30\)分かかった。

高速道路と一般道路を、それぞれ何\(km\)走ったか求めなさい。

 

連立方程式の文章題4の解答

高速道路を走った距離を\(xkm\)、一般道路を走った距離を\(ykm\)とすると、

\(x\)と\(y\)を足したものが\(150km\)に等しくなるので、

\(x+y=150\) ---①

という式が作れます。

次に、\(x\)と\(y\)を使って\(2\)時間\(30\)分と等しい式を作りたいので、

\(「時間=\frac{距離}{時速}」\)の式を使用すると、

高速道路を走った時間は

\(\frac{x}{80}\) ---②

となり、一般道路を走った時間は

\(\frac{y}{40}\) ---③

となります。

②と③を足した時間が\(2\)時間\(30\)分(\(\frac{150}{60}=2.5\))に等しくなるので、

\(\frac{x}{80}+\frac{y}{40}=2.5\) ---④

という式を作る事ができ、連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=150 ---①\\\frac{x}{80}+\frac{y}{40}=2.5 ---④\end{array}\right.\)

となります。

①の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=-x+150\) ---⑤

となります。

⑤の式を④の式に代入すると、

\(\frac{x}{80}-\frac{(x-150)}{40}=2.5\)

両辺に80を掛けると

\(80(\frac{x}{80}-\frac{(x-150)}{40})=200\)

\(x-2(x-150)=200\)

\(x-2x+300=200\)

\(-x=200-300\)

\(-x=-100\)

\(x=100\)

となります。

⑤の式に\(x=100\)を代入すると、

\(y=-100+150\)

\(y=50\)

となります。

ゆえに、高速道路を走った距離は\(100km\)、一般道路を走った距離は\(50km\)となります。

 

【中2数学】連立方程式の代入法 誰でもわかる詳しい解説

連立方程式の代入法

ここでは、代入法による連立方程式の解き方を勉強しましょう。

代入法とは、連立方程式の片方の方程式を、もう一方の方程式に代入し、解を求める方法です。

例1

\(\left\{\begin{array}{l}y=x+1 ---①\\2x+y=10 ---②\end{array}\right.\)

例1の①の式は\(y=\)の形になっているので、このまま②の式に代入できます。

どのように代入するかというと、②の式の中の\(y\)を①の式の右辺の\(x+1\)に置き換えます。

そうすると、\(y\)が消えるので\(x\)の値を求める事ができます。

置き換えると、

\(2x+(x+1)=10\)

\(2x+x+1=10\)

\(3x=10-1\)

\(3x=9\)

\(x=3\)

となります。

次に、①の式に\(x=3\)を代入すると、

\(y=3+1\)

\(y=4\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=3\)、\(y=4\)になります。

 

これが代入法による連立方程式の解き方です。

代入法は、どちらかの方程式が\(x=\)、\(y=\)の形になっている場合や、簡単に\(x=\)、\(y=\)の形に変換できる場合に有効な方法です。

では早速、代入法で練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の代入法の練習問題1

次の連立方程式を代入法で解きなさい。

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x=y-6\\3x+2y=2\end{array}\right.\)

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}x+4y=-9\\y=3x+1\end{array}\right.\)

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-9y=29\\x=4-y\end{array}\right.\)

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}2y=x-4\\7x-2y=40\end{array}\right.\)

 

(5)

\(\left\{\begin{array}{l}y=3x+6\\y=2-9x\end{array}\right.\)

 

連立方程式の代入法の練習問題1の解答

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x=y-6 ---①\\3x+2y=2 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(3(y-6)+2y=2\)

\(3y-18+2y=2\)

\(5y=2+18\)

\(5y=20\)

\(y=4\)

となります。

\(y=4\)を①の式に代入すると、

\(x=4-6\)

\(x=-2\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=4\)になります。

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}x+4y=-9 ---①\\y=3x+1 ---②\end{array}\right.\)

②の式を①の式に代入すると、

\(x+4(3x+1)=-9\)

\(x+12x+4=-9\)

\(13x=-9-4\)

\(13x=-13\)

\(x=-1\)

となります。

②の式に\(x=-1\)を代入すると、

\(y=-3+1\)

\(y=-2\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-1\)、\(y=-2\)になります。

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-9y=29 ---①\\x=4-y ---②\end{array}\right.\)

②の式を①の式に代入すると、

\(4(4-y)-9y=29\)

\(16-4y-9y=29\)

\(-13y=29-16\)

\(-13y=13\)

\(y=-1\)

となります。

②の式に\(y=-1\)を代入すると、

\(x=4+1\)

\(x=5\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=5\)、\(y=-1\)になります。

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}2y=x-4 ---①\\7x-2y=40 ---②\end{array}\right.\)

①の式を\(x=\)に変換すると、

\(x-4=2y\)

\(x=2y+4\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(7(2y+4)-2y=40\)

\(14y+28-2y=40\)

\(12y=40-28\)

\(12y=12\)

\(y=1\)

となります。

③の式に\(y=1\)を代入すると、

\(x=2+4\)

\(x=6\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=6\)、\(y=1\)になります。

 

(5)

\(\left\{\begin{array}{l}y=3x+6 ---①\\y=2-9x ---②\end{array}\right.\)

この問題は、どちらの式も\(y=\)になっているので、①を②に代入しても、②を①に代入しても構いません。

①の式を②の式に代入すると、

\(3x+6=2-9x\)

\(3x+9x=2-6\)

\(12x=-4\)

\(x=-\frac{1}{3}\)

となります。

①の式に\(x=-\frac{1}{3}\)を代入すると、

\(y=3×(-\frac{1}{3})+6\)

\(y=-1+6\)

\(y=5\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-\frac{1}{3}\)、\(y=5\)になります。

 

【中2数学】連立方程式の加減法の誰でもわかる詳しい解説

連立方程式の加減法

「連立方程式とその解」のところでは、与えられた解を方程式に代入し、その連立方程式の解になるかどうかを調べるやり方をしましたが、ここでは、いきなり連立方程式の解を求められる「加減法」の勉強をしたいと思います。

加減法は、2つの方程式を足し引きする事で文字のどちらかを消去し、解を求める方法です。

\(\left\{\begin{array}{l}x+5y=3 ---①\\3x-y=-7 ---②\end{array}\right.\)

例えば、上の連立方程式の場合だと、①の式は\(x\)のところが\(x\)、②の式は\(3x\)となっているので、①の式の\(x\)が\(3x\)になるように①の式を3倍します。

すると、

\(3x+15y=9\) ---③

となります。

次に、\((③-②)\)の計算をすれば\(x\)を消せるので、

\((3x+15y=9)-(3x-y=-7)\)となり、\((3x-y=-7)\)の部分は

\(-3x+y=7\) ---④

というように符号が変わります。

後は\((③+④)\)の計算をすればいいだけです。

下のように筆算にして縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x+15y=9\)

\(+)\underline{-3x+\;\;\;\;y=7}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;16y=16\)

 

となり、\(y=1\)となります。

次に、\(y=1\)を①の式に代入すると、

\(x+5=3\)

\(x=3-5\)

\(x=-2\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=1\)になります。

試しに、②の式にも\(y=1\)を代入してみると、

\(3x-1=-7\)

\(3x=-7+1\)

\(3x=-6\)

\(x=-2\)

となり、①、②のどちらの方程式も解が\(x=-2\)、\(y=1\)になる事が分かります。

 

これが連立方程式の加減法での解き方です。

では早速、加減法で連立方程式を解いてみましょう。

 

連立方程式の加減法の練習問題1

次の連立方程式を加減法で解きなさい。

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=8\\3(x-y)=x+1\end{array}\right.\)

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}3x-2y=13\\4(x-5)=3y\end{array}\right.\)

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}2(3x+y)=4x+y\\7x+2y=-6\end{array}\right.\)

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}7x-4y=5(x-2y)\\3x+8y=2\end{array}\right.\)

 

連立方程式の加減法の練習問題1の解答

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=8 ---①\\3(x-y)=x+1 ---②\end{array}\right.\)

まず、②の式のカッコを外すと、

\(3x-3y=x+1\)

\(3x-x-3y=1\)

\(2x-3y=1\) ---③

となります。

次に、\(x\)を合わせるために①の式を2倍すると

\(2x+2y=16\) ---④

となります。

次に、③-④(④-③でも良い)の計算をするので、

\((2x-3y=1)-(2x+2y=16)\)となり、

\((2x+2y=16)\)の部分は、

\(-2x-2y=-16\) ---⑤

となります。

後は、③+⑤の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-3y=\;\;\;\;1\)

\(+)\underline{-2x-2y=-16}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-5y=-15\)

 

となるので、

\(y=3\)

となります。

①の式に\(y=3\)を代入すると、

\(x+3=8\)

\(x=8-3\)

\(x=5\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=5\)、\(y=3\)になります。

この問題は\(x\)に合わせましたが、\(y\)に合わせても構いません。

ただ、数字が小さい方が計算が楽なので、数字が小さくなる方を選んで合わせるようにしましょう。

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}3x-2y=13 ---①\\4(x-5)=3y ---②\end{array}\right.\)

まず、②の式のカッコを外すと、

\(4x-20=3y\)

\(4x-3y=20\) ---③

となります。

次に、\(y\)を合わせるために①の式を3倍、③の式を2倍すると、

\(9x-6y=39\) ---④

\(8x-6y=40\) ---⑤

となります。

次に、④-⑤の計算をするので、

\((9x-6y=39)-(8x-6y=40)\)となり、

\((8x-6y=40)\)の部分は、

\(-8x+6y=-40\) ---⑥

となります。

後は、④+⑥の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;9x-6y=\;\;\;39\)

\(+)\underline{-8x+6y=-40}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\;\;\;\;\;\;\;-1\)

 

となります。

①の式に\(x=-1\)を代入すると、

\(-3-2y=13\)

\(-2y=13+3\)

\(-2y=16\)

\(y=-8\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-1\)、\(y=-8\)になります。

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}2(3x+y)=4x+y ---①\\7x+2y=-6 ---②\end{array}\right.\)

まず、①の式のカッコを外すと、

\(6x+2y=4x+y\)

\(6x-4x+2y-y=0\)

\(2x+y=0\) ---③

となります。

次に、\(y\)を合わせるために③の式を2倍すると、

\(4x+2y=0\) ---④

となります。

次に、④-②の計算をするので、

\((4x+2y=0)-(7x+2y=-6)\)となり、

\((7x+2y=-6)\)の部分は、

\(-7x-2y=6\) ---⑤

となります。

後は、④+⑤の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x+2y=0\)

\(+)\underline{-7x-2y=6}\)

\(\;\;\;\;\;\;-3x\;\;\;\;\;\;=6\)

 

となるので、

\(x=-2\)

となります。

③の式が一番簡単なので、③の式に\(x=-2\)を代入すると、

\(-4+y=0\)

\(y=4\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=4\)になります。

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}7x-4y=5(x-2y) ---①\\3x+8y=2 ---②\end{array}\right.\)

まず、①の式のカッコを外すと、

\(7x-4y=5x-10y\)

\(7x-5x-4y+10y=0\)

\(2x+6y=0\) ---③

となります。

次に、\(x\)を合わせるために②の式を2倍、③の式を3倍すると、

\(6x+16y=4\) ---④

\(6x+18y=0\) ---⑤

となります。

次に、④-⑤の計算をするので、

\((6x+16y=4)-(6x+18y=0)\)となり、

\((6x+18y=0)\)の部分は

\(-6x-18y=0\) ---⑥

となります。

後は、④+⑥の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+16y=4\)

\(+)\underline{-6x-18y=0}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2y=4\)

 

となるので、

\(y=-2\)

となります。

③の式に\(y=-2\)を代入すると、

\(2x-12=0\)

\(2x=12\)

\(x=6\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=6\)、\(y=-2\)になります。

 

【中2数学】連立方程式とその解 練習問題と誰でもわかる解答

連立方程式とその解

連立方程式(れんりつほうていしき)とは、下記のように2つ(またはそれ以上)の方程式を組み合わせたものを言います。

\(\left\{\begin{array}{l}y=x+1 ---①\\2x+y=10 ---②\end{array}\right.\)

この連立方程式は、2元1次方程式を2つ組み合わせたものです。

・2元 → 2種類の文字が入っている

・1次 → 次数1

 

そして、連立方程式のどの方程式も成り立たせる文字の値の組を、その「連立方程式の解」と言い、その解を求める事を「連立方程式を解く」と言います。

どの方程式も成り立たせる文字の値の組というのは、上の連立方程式のどちらの方程式にも共通する\(x\)と\(y\)の値の事です。

上の連立方程式の解は、\(x=3\)、\(y=4\)ですが、この解の\(x=3\)を上の両方の方程式に代入してみると、

\(y=x+1\) ---①

\(y=3+1\)

\(y=4\)

\(2x+y=10\) ---②

\(6+y=10\)

\(y=10-6\)

\(y=4\)

となり、どちらの解も\(x=3\)、\(y=4\)になる事が分かります。

ゆえに、\(x=3\)、\(y=4\)は、どちらの方程式も成り立たせる文字の値の組なので、この連立方程式の解になります。

 

これらの事を踏まえて連立方程式の練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の練習問題1

次の問いに答えなさい。

\(x-y=7\)を成り立たせる\(x\)、\(y\)の値の組を求め、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5
\(y\)

 

連立方程式の練習問題1の解答

\(x-y=7\)を成り立たせる\(x\)、\(y\)の値の組を求め、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5
\(y\) -7 -6 -5 -4 -3 -2

\(x-y=7\)に\(x=0\)から\(x=5\)を順に代入すると、

\(0-y=7\)

\(y=-7\) ---\(x=0\)の時

 

\(1-y=7\)

\(y=-6\) ---\(x=1\)の時

 

\(2-y=7\)

\(y=-5\) ---\(x=2\)の時

 

\(3-y=7\)

\(y=-4\) ---\(x=3\)の時

 

\(4-y=7\)

\(y=-3\) ---\(x=4\)の時

 

\(5-y=7\)

\(y=-2\) ---\(x=5\)の時

 

連立方程式の練習問題2

次の\(x\)、\(y\)の値の組のうち、それぞれの連立方程式の解を選び、記号で答えなさい。

(ア)\(x=2\)、\(y=1\)     (イ)\(x=2\)、\(y=-1\)

(ウ)\(x=-2\)、\(y=1\)    (エ)\(x=-2\)、\(y=-1\)

 

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+5y=3\\3x-y=-7\end{array}\right.\)

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-y=9\\2x+3y=1\end{array}\right.\)

 

連立方程式の練習問題2の解答

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+5y=3\\3x-y=-7\end{array}\right.\)

(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)が成り立つかどうか1つずつ調べていきます。

(ア)\(x=2\)、\(y=1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=2\)を代入すると、

\(2+5y=3\)

\(5y=3-2\)

\(5y=1\)

\(y=\frac{1}{5}\)となり、\(x=2\)、\(y=1\)が成り立たないので(ア)は解ではないという事になります。

 

(イ)\(x=2\)、\(y=-1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=2\)を代入した場合、\(y=\frac{1}{5}\)になる事が(ア)で分かっているので、(イ)は解ではないという事になります。

 

(ウ)\(x=-2\)、\(y=1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=-2\)を代入すると、

\(-2+5y=3\)

\(5y=3+2\)

\(5y=5\)

\(y=1\)となり、\(x=-2\)、\(y=1\)が成り立ちます。

次に、\(3x-y=-7\)に\(x=-2\)を代入すると、

\(-6-y=-7\)

\(-y=-7+6\)

\(-y=-1\)

\(y=1\)となり、\(x=-2\)、\(y=1\)が成り立ちます。

ゆえに、(ウ)の\(x=-2\)、\(y=1\)は、どちらの方程式も成り立たせる値の組になります。

 

(エ)\(x=-2\)、\(y=-1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=-2\)を代入した場合、\(y=1\)になる事が(ウ)で分かっているので、(エ)は解ではないという事になります。

 

ゆえに、(1)の連立方程式の解は(ウ)になります。

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-y=9\\2x+3y=1\end{array}\right.\)

(1)と同様に(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)が成り立つかどうか1つずつ調べていきます。

(ア)\(x=2\)、\(y=1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=2\)を代入すると、

\(8-y=9\)

\(-y=9-8\)

\(-y=1\)

\(y=-1\)となり、\(x=2\)、\(y=1\)が成り立たないので(ア)は解ではないという事になります。

 

(イ)\(x=2\)、\(y=-1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=2\)を代入すると、\(y=-1\)になる事が(ア)で分かっているので、

\(x=2\)、\(y=-1\)が成り立つ事が分かります。

次に、\(2x+3y=1\)に\(x=2\)を代入すると、

\(4+3y=1\)

\(3y=1-4\)

\(3y=-3\)

\(y=-1\)となり、\(x=2\)、\(y=-1\)が成り立ちます。

ゆえに、(イ)の\(x=2\)、\(y=-1\)は、どちらの方程式も成り立たせる値の組になります。

 

(ウ)\(x=-2\)、\(y=1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=-2\)を代入すると、

\(-8-y=9\)

\(-y=9+8\)

\(-y=17\)

\(y=-17\)となり、\(x=-2\)、\(y=1\)が成り立たないので(ウ)は解ではないという事になります。

 

(エ)\(x=-2\)、\(y=-1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=-2\)を代入すると、\(y=-17\)になる事が(ウ)で分かっているので、

(エ)は解ではないという事になります。

 

ゆえに、(2)の連立方程式の解は(イ)になります。

 

連立方程式の練習問題3

次の連立方程式のうち、解が\(x=4\)、\(y=-2\)であるものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\-x+y=2\end{array}\right.\)

 

(イ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=6\\3x+2y=8\end{array}\right.\)

 

(ウ)

\(\left\{\begin{array}{l}2x-3y=14\\4x-y=6\end{array}\right.\)

 

(エ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-4y=12\\x+4y=-4\end{array}\right.\)

 

連立方程式の練習問題3の解答

(ア)から順番に調べていきます。

 

(ア)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\-x+y=2\end{array}\right.\)

\(x+y=2\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4+y=2\)

\(y=2-4\)

\(y=-2\)となります。

次に、\(-x+y=2\)に\(x=4\)を代入すると、

\(-4+y=2\)

\(y=2+4\)

\(y=6\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立たないので、(ア)の解は\(x=4\)、\(y=-2\)ではないという事になります。

 

(イ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=6\\3x+2y=8\end{array}\right.\)

\(x-y=6\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4-y=6\)

\(-y=6-4\)

\(-y=2\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

次に、\(3x+2y=8\)に\(x=4\)を代入すると、

\(12+2y=8\)

\(2y=8-12\)

\(2y=-4\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

ゆえに、(イ)の連立方程式の解は\(x=4\)、\(y=-2\)になります。

 

(ウ)

\(\left\{\begin{array}{l}2x-3y=14\\4x-y=6\end{array}\right.\)

\(2x-3y=14\)に\(x=4\)を代入すると、

\(8-3y=14\)

\(-3y=14-8\)

\(-3y=6\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

次に、\(4x-y=6\)に\(x=4\)を代入すると、

\(16-y=6\)

\(-y=6-16\)

\(-y=-10\)

\(y=10\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立たないので(ウ)の解は\(x=4\)、\(y=-2\)ではないという事になります。

 

(エ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-4y=12\\x+4y=-4\end{array}\right.\)

\(x-4y=12\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4-4y=12\)

\(-4y=12-4\)

\(-4y=8\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

次に、\(x+4y=-4\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4+4y=-4\)

\(4y=-4-4\)

\(4y=-8\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立つので、(エ)の連立方程式の解は\(x=4\)、\(y=-2\)になります。

 

ゆえに、解が\(x=4\)、\(y=-2\)になるのは(イ)、(エ)になります。

 

【中2数学】文字式の利用 練習問題と誰でもわかる解答

文字式の利用

ここでは、文字式を使って文章問題を解いてみたいと思いますが、その前に文字を使った数の表し方を勉強しましょう。

・3の倍数を\(n\)を使って表すと → \(3n\)

3の倍数は、3、6、9、12などになりますが、\(3=3×1\)、\(6=3×2\)、\(9=3×3\)となるので、3の倍数を\(n\)を使って表すと\(3n\)になります。

 

・7の倍数を\(n\)を使って表すと → \(7n\)

7の倍数も3の倍数と同じ考え方です。

 

・偶数を\(n\)を使って表すと → \(2n\)

偶数は2、4、6、8、10などになりますが、\(2=2×1\)、\(4=2×2\)、\(6=2×3\)

となるので、偶数を\(n\)を使って表すと\(2n\)となります。

 

・奇数を\(n\)を使って表すと → \(2n-1\)

偶数から1を引いたものが奇数になります。

偶数に1を足した\(2n+1\)も奇数になりますが、オーソドックスな表し方は\(2n-1\)になります。

 

・連続する3つの偶数を\(n\)を使って表すと → \(2n\)、\(2n+2\)、\(2n+4\)

偶数は、2、4、6、8のように2ずつ増えていくので、2を\(2n\)とすると、4は\(2n\)に2を足した\(2n+2\)になり、6は\(2n+2\)に更に2を足した\(2n+4\)になります。

 

・連続する3つの奇数を\(n\)を使って表すと → \(2n-1\)、\(2n+1\)、\(2n+3\)

奇数は、1、3、5、7のように2ずつ増えていくので、1を\(2n-1\)とすると、3は\(2n-1\)に2を足した\(2n+1\)になり、5は\(2n+1\)に更に2を足した\(2n+3\)になります。

 

・連続する3つの整数を\(n\)を使って表すと → \(n\)、\(n+1\)、\(n+2\)

連続する3つの整数は、1、2、3や11、12、13などになるので、例えば、1を\(n\)だとすると、2は\(n+1\)、3は\(n+2\)になります。

 

・3桁の自然数を文字を使って表すと → \(100x+10y+z\)

例えば、234という自然数の場合、\(234=(100×2)+(10×3)+(1×4)\)

と表せますが、2と3と4がいくらか分からない場合、百の位の2を\(x\)、十の位の3を\(y\)、一の位の4を\(z\)とすると、

\((100×x)+(10×y)+(1×z)=100x+10y+z\)

となります。

 

これらの事を踏まえて練習問題を解いてみましょう。

 

文字式の利用の練習問題1

2桁の自然数から、その数の十の位の数と一の位の数との和を引いた数は9の倍数になる。

その訳を文字を使って説明しなさい。

 

文字式の利用の練習問題1の解答

十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)とすると、2桁の自然数は

\(10x+y\) ---①

と表す事ができます。

①から\(x\)と\(y\)を足したものを引くと、

\(10x+y-(x+y)\)

となります。

これを計算すると、

\(10x+y-x-y=9x\)

となります。

\(x\)は整数なので、\(9x\)は\(9\)の倍数である事が分かります。

ゆえに、2桁の自然数から、その数の十の位の数と一の位の数との和を引いた数は9の倍数になります。

 

文字式の利用の練習問題2

下のカレンダーは、ある月のものである。このカレンダーで水色の部分の5つの数の和について、次の問いに答えなさい。

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30

 

(1)下図のように5つの数のうちの真ん中の数を\(n\)とする時、\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)にあたる数を\(n\)を使って表しなさい。

\(a\) \(b\)
\(n\)
\(c\) \(d\)

 

(2)5つの数の和は5の倍数になる。その訳を文字を使って説明しなさい。

 

文字式の利用の練習問題2の解答

(1)の解答

\(b\)は\(n\)の1週間前(7日前)になるので、

\(n-7\) ---\(b\)

\(a\)は\(b\)の1日前なので

\(n-8\) ---\(a\)

\(c\)は\(n\)の1週間後(7日後)になるので、

\(n+7\) ---\(c\)

\(d\)は\(c\)の1日後なので

\(n+8\) ---\(d\)

となります。

 

(2)の解答

5つの数を足してみると

\(n+(n-7)+(n-8)+(n+7)+(n+8)\)

\(=5n-7-8+7+8\)

\(=5n\)

となります。

\(n\)は整数なので、\(5n\)は5の倍数である事が分かります。

ゆえに、5つの数の和は5の倍数になります。

 

文字式の利用の練習問題3

底面が1辺\(acm\)の正方形で、高さが\(hcm\)の四角柱\(A\)と、四角柱\(A\)の底面の1辺の長さを2倍にし、高さを半分にした四角柱\(B\)がある。

四角柱\(B\)の体積は、四角柱\(A\)の体積の何倍になるか求めなさい。

 

文字式の利用の練習問題3の解答

まず、四角柱\(A\)の体積を求めてみると、

\(a×a×h=a^2h\;cm^3\) ---四角柱\(A\)の体積

となります。

四角柱\(B\)は、底面の1辺の長さが四角柱\(A\)の2倍、高さが四角柱\(A\)の半分なので、四角柱\(B\)の体積は

\(2a×2a×\frac{h}{2}=4a^2×\frac{h}{2}=2a^2h\;cm^3\) ---四角柱\(B\)の体積

となります。

ゆえに、四角柱\(B\)の体積は、四角柱\(A\)の体積の2倍である事が分かります。

 

文字式の利用の練習問題4

3桁の自然数がある。この自然数から、その数の百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を引いた差は99の倍数になる。その訳を文字を使って説明しなさい。

 

文字式の利用の練習問題4の解答

3桁の自然数の一の位を\(x\)、十の位を\(y\)、百の位を\(z\)とすると3桁の自然数は

\(100z+10y+x\) ---元の3桁の自然数

となります。

百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数は

\(100x+10y+z\) ---百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数

となります。

元の3桁の自然数から、百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を引くと

\(100z+10y+x-(100x+10y+z)\)

\(=100z+10y+x-100x-10y-z\)

\(=99z-99x\)

\(=99(z-x)\)

となります。

\(x\)と\(z\)は整数なので、\((z-x)\)も整数となり、\(99(z-x)\)は99の倍数である事が分かります。

ゆえに、3桁の自然数から、その数の百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を引いた差は99の倍数になります。

 

【中2数学】式の値と等式の変形 練習問題と誰でもわかる解答

式の値と等式の変形

・式の値

式の中の文字を数字に置き換える事を代入と言い、文字に数字を代入して計算した結果を「式の値」と言います。

例えば、\(x=2\)の時、\(2x+3\)の式の値を求めると、

\(2×2+3=7\)

となり、\(7\)が\(2x+3\)の式の値になります。

 

・等式の変形

等式を変形して\(x=\)の形にする事を「\(x\)について解く」、\(y=\)の形にする事を「\(y\)について解く」と言います。

例えば、\(x+y=7\)を\(x\)について解くと、

\(x=-y+7\)

となります。

 

ここでは、式の値の求め方、等式の変形について勉強したいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

式の値の練習問題1

\(x=4\)、\(y=-2\)の時、次の式の値を求めなさい。

(1)\(3x+7y\)

 

(2)\(-x-5y\)

 

(3)\(2x-3y^2\)

 

(4)\(x^2+9y\)

 

式の値の練習問題1の解答

(1)\(3x+7y\)

式の中の\(x\)と\(y\)に\(x=4\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(3×4+7×(-2)=12-14=-2\)

となります。

 

(2)\(-x-5y\)

(1)と同様に\(x=4\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(-4-5×(-2)=-4+10=6\)

となります。

 

(3)\(2x-3y^2\)

同様に\(x=4\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(2×4-3×(-2)×(-2)=8-12=-4\)

となります。

 

(4)\(x^2+9y\)

同様に\(x=4\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(4×4+9×(-2)=16-18=-2\)

となります。

 

式の値の練習問題2

\(a=-2\)、\(b=\frac{1}{3}\)の時、次の式の値を求めなさい。

(1)\(2(a+3b)+3(a-5b)\)

 

(2)\(5(a-4b)-2(3a-7b)\)

 

(3)\(24a^2b÷4a\)

 

(4)\(6ab^3÷(-\frac{2}{3}b)\)

 

式の値の練習問題2の解答

(1)\(2(a+3b)+3(a-5b)\)

式の中の\(a\)と\(b\)に\(a=-2\)、\(b=\frac{1}{3}\)を代入すると、

\(2(-2+3×\frac{1}{3})+3(-2-5×\frac{1}{3})\)

\(=2(-2+1)+3(-2-\frac{5}{3})\)

\(=2×(-1)+3(-\frac{6}{3}-\frac{5}{3})\)

\(=-2+3×(-\frac{11}{3})\)

\(=-2-11=-13\)

となります。

 

(2)\(5(a-4b)-2(3a-7b)\)

(1)と同様に\(a\)と\(b\)に\(a=-2\)、\(b=\frac{1}{3}\)を代入すると、

\(5(-2-4×\frac{1}{3})-2{3×(-2)-7×\frac{1}{3}}\)

\(=5(-2-\frac{4}{3})-2(-6-\frac{7}{3})\)

\(=5(-\frac{6}{3}-\frac{4}{3})-2(-\frac{18}{3}-\frac{7}{3})\)

\(=5×(-\frac{10}{3})-2×(-\frac{25}{3})\)

\(=-\frac{50}{3}+\frac{50}{3}=0\)

となります。

 

(3)\(24a^2b÷4a\)

同様に\(a\)と\(b\)に\(a=-2\)、\(b=\frac{1}{3}\)を代入すると、

\(24×(-2)×(-2)×\frac{1}{3}÷4×(-2)\)

\(=8×4÷(-8)\)

\(=32÷(-8)=-4\)

となります。

 

(4)\(6ab^3÷(-\frac{2}{3}b)\)

同様に\(a\)と\(b\)に\(a=-2\)、\(b=\frac{1}{3}\)を代入すると、

\(=6×(-2)×(\frac{1}{3})^3÷(-\frac{2}{3}×\frac{1}{3})\)

\(=-12×\frac{1}{27}÷(-\frac{2}{9})\)

除法を乗法にすると

\(=-\frac{12}{27}×(-\frac{9}{2})\)

\(=\frac{6}{3}=2\)

となります。

 

等式の変形の練習問題1

次の等式を[ ]の中の文字について解きなさい。

(1)\(x+4y=3\) [\(x\)]

 

(2)\(3a-9b=-15\) [\(a\)]

 

(3)\(a+\frac{1}{4}b=5\) [\(b\)]

 

(4)\(a=\frac{b\;-\;c}{2}\) [\(c\)]

 

等式の変形の練習問題1の解答

(1)\(x+4y=3\) [\(x\)]

[ ]の中の文字について解くという事は\(x=\)の形にすれば良いので、

\(x=-4y+3\)

となります。

 

(2)\(3a-9b=-15\) [\(a\)]

(1)と同様に計算すると、

\(3a=9b-15\)

右辺を3でくくると

\(3a=3(3b-5)\)

となるので、両辺を3で割ると

\(a=3b-5\)

となります。

右辺を3でくくらず、両辺をそのまま3で割っても構いません。

この問題の場合は、たまたま3でくくれたのでくくっただけです。

 

(3)\(a+\frac{1}{4}b=5\) [\(b\)]

同様に計算すると、

\(\frac{1}{4}b=-a+5\)

\(b=\)にするために両辺に4を掛けると

\(b=4(-a+5)\)

ゆえに

\(b=-4a+20\)

となります。

 

(4)\(a=\frac{b\;-\;c}{2}\) [\(c\)]

まず、\(c=\)にしやすくするために両辺を入れ替えます。

\(\frac{b\;-\;c}{2}=a\)

左辺の分母の2を消すために両辺に2を掛けると

\(b-c=2a\)

\(-c=2a-b\)

\(c=\)にするために両辺に\(-1\)を掛けると(\(-1\)で割っても良い)

\(c=-(2a-b)\)

ゆえに

\(c=-2a+b\)

となります。

 

【中2数学】単項式の乗法・除法 練習問題と誰でもわかる解答

単項式の乗法・除法

単項式の乗法

単項式の乗法(掛け算)とは、「\(文字×文字\)」の計算の事で、次の2つのルールを覚えれば簡単に解く事ができます。

・ルール1:\(a×b×c\)という式の場合は、\(abc\)とアルファベット順に書く。

 

・ルール2:\(a^2×a\)という式の場合は、\(a×a×a\)の事なので\(a^3\)と書く。

例1:\(2x×4y\) → \(8xy\)

例2:\(6a^2×4a\) → \(24a^3\)

 

単項式の除法

単項式の除法(割り算)とは、「\(文字÷文字\)」の計算の事で、乗法と同じようにルールに従って計算すれば簡単に解く事ができます。

・ルール1:「\(文字÷文字\)」を「\(文字×\frac{1}{文字}\)」に変換してから計算する。

例:\(2x÷2y\) → \(2x×\frac{1}{2y}\)

これは中1でも習ったと思いますが、除法から乗法に変換すると、逆数の掛け算になります。

なぜ逆数の掛け算になるかと言うと、例えば、\(2x÷\frac{3}{2}y\)という式の場合、分数で表すと、

\(\frac{2x}{\frac{3}{2}y}\)

となりますが、このままでは計算できません。

計算できるようにするためには、分母の\(\frac{3}{2}y\)を\(1\)にして消す必要があるので、分母と分子にそれぞれ\(\frac{3}{2}y\)の逆数の\(\frac{2}{3y}\)を掛けます。

そうすると、

\(\frac{2x×\frac{2}{3y}}{\frac{3}{2}y×\frac{2}{3y}}\)

となり、分母が消えるので

\(2x×\frac{2}{3y}\)

となる訳です。

ただし、\(2x÷x\)のように割る側が分数でない場合は、わざわざ逆数を掛けなくても

\(\frac{2x}{x}\)と書いて計算すれば良いと思います。

割る側が分数の場合は、必ず逆数を掛けて計算するようにしましょう。

 

・ルール2:同じ文字同士は割り算で消せる。

例1:\(xy÷xy=\frac{xy}{xy}=1\)

例2:\(xy^2÷x=\frac{xy^2}{x}=y^2\)

 

ここでは、これらの事を踏まえて、単項式の乗法・除法の勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

単項式の乗法・除法の練習問題1

次の計算をしなさい。

(1)\(2a×4b\)

 

(2)\(5x×(-3y)\)

 

(3)\((-4m)×(-6n)\)

 

(4)\((-7ab)×2c\)

 

(5)\((-\frac{1}{5}x)×(-20y)\)

 

単項式の乗法・除法の練習問題1の解答

(1)\(2a×4b\)

数字だけを掛け合わせると\(8\)となり、あとは\(a\)と\(b\)を掛けるので

\(2a×4b=8×a×b=8ab\)

となります。

このように、先に数字同士を掛け、その後に文字を掛けると計算しやすいと思います。

 

(2)\(5x×(-3y)\)

同様に計算すると、

\(-15×x×y=-15xy\)

となります。

 

(3)\((-4m)×(-6n)\)

同様に計算すると、

\(24×m×n=24mn\)

となります。

 

(4)\((-7ab)×2c\)

同様に計算すると、

\(-14×a×b×c=-14abc\)

となります。

 

(5)\((-\frac{1}{5}x)×(-20y)\)

先に\((-\frac{1}{5})×(-20)\)の計算をすると\(4\)になり、後は\(x\)と\(y\)を掛けるので

\((-\frac{1}{5}x)×(-20y)=4×x×y=4xy\)

となります。

 

単項式の乗法・除法の練習問題2

次の計算をしなさい。

(1)\((6a)^2\)

 

(2)\((-5x)^2\)

 

(3)\((-a)^3\)

 

(4)\(-(-3x)^2\)

 

(5)\(2x^2×3x\)

 

(6)\((-m)×(-m^3)\)

 

単項式の乗法・除法の練習問題2の解答

(1)\((6a)^2\)

\(6a×6a\)となるので、

\((6a)^2=36a^2\)

となります。

 

(2)\((-5x)^2\)

\((-5x)×(-5x)\)となるので、

\((-5x)^2=25x^2\)

となります。

 

(3)\((-a)^3\)

\((-a)×(-a)×(-a)\)となるので、

\((-a)^3=-a^3\)

となります。

 

(4)\(-(-3x)^2\)

\(-(-3x)×(-3x)\)となるので、

\(-(-3x)^2=-9x^2\)

となります。

 

(5)\(2x^2×3x\)

\(x^2\)と\(x\)は掛け合わせられるので、

\(6×x^3=6x^3\)

となります。

 

(6)\((-m)×(-m^3)\)

\((-m)×(-m×m×m)\)となるので、

\((-m)×(-m^3)=m^4\)

となります。

 

単項式の乗法・除法の練習問題3

次の計算をしなさい。

(1)\(6ab÷2b\)

 

(2)\(18x^2÷(-3x)\)

 

(3)\(-40xy÷5xy\)

 

(4)\(-4a^2b÷(-6ab^2)\)

 

単項式の乗法・除法の練習問題3の解答

(1)\(6ab÷2b\)

同じ文字は割り算できるので、\(6ab\)の\(b\)と\(2b\)の\(b\)が消え、

\(\frac{6ab}{2b}=3a\)

となります。

 

(2)\(18x^2÷(-3x)\)

同様に計算すると、

\(-\frac{18x^2}{3x}=-6x\)

となります。

 

(3)\(-40xy÷5xy\)

同様に計算すると、

\(-\frac{40xy}{5xy}=-8\)

となります。

 

(4)\(-4a^2b÷(-6ab^2)\)

同様に計算すると、

\(-4a^2b÷(-6ab^2)=\frac{4a^2b}{6ab^2}=\frac{2a}{3b}\)

となります。

 

単項式の乗法・除法の練習問題4

次の計算をしなさい。

(1)\(4ab÷\frac{1}{2}a\)

 

(2)\(12xy^2÷(-\frac{3}{4}y)\)

 

(3)\(3a×(-ab)×5b\)

 

(4)\(12x^2y÷(-4x)^2×8y\)

 

単項式の乗法・除法の練習問題4の解答

(1)\(4ab÷\frac{1}{2}a\)

除法を乗法に変換するので

\(4ab×\frac{2}{a}=8b\)

となります。

 

(2)\(12xy^2÷(-\frac{3}{4}y)\)

この問題も(1)と同様に計算すると、

\(12xy^2×(-\frac{4}{3y})=-16xy\)

となります。

 

(3)\(3a×(-ab)×5b\)

先に数字だけを掛け算した方が計算しやすいかもしれません。

\(3×(-1)×5=-15\)となり、後は\(a\)と\(b\)が2つずつあるので

\(-15×a×a×b×b=-15a^2b^2\)

となります。

 

(4)\(12x^2y÷(-4x)^2×8y\)

式を変換すると

\(\frac{12x^2y}{(-4x)^2}×8y\)

となるので、

\(\frac{12x^2y×8y}{16x^2}=\frac{96x^2y^2}{16x^2}=6y^2\)

となります。

 

【中2数学】式の加法・減法 練習問題と誰でもわかる解答

式の加法・減法

・単項式とは?

単項式とは、文字と数字の乗法だけで作られた式の事を言います。

単項式の例は、

\(ax\)、\(3abx\)、\(5x^2\)、\(x\)、\(3\)

などとなり、文字だけ・数字だけも単項式になります。

 

・多項式とは?

多項式とは、単項式の和の形で表された式の事を言い、多項式の中の一つ一つの単項式が項になります。

多項式の例は、

\(x+2\)、\(2x^2+x+1\)、\(a^2+2ab^2-3ab\)

などとなります。

そして、\(a^2+2ab^2-3ab\)の多項式の場合、

\(a^2\)、\(2ab^2\)、\(-3ab\)の3つが項になります。

 

・単項式の次数

単項式では、掛けられている文字の数が次数となります。

例えば、\(3abx\)という単項式の場合は、

\(a×b×x\)の3つの文字が掛けられているので、次数は3となります。

\(5ab^2x^2\)という単項式の場合は、

\(a×b×b×x×x\)の5つの文字が掛けられているので、次数は5となります。

 

・多項式の次数

多項式の次数は、全ての項の中で最も次数が大きい項がその多項式の次数となります。

例えば、\(2a^2bx+ab^2+5b\)という多項式の場合は、

\(2a^2bx\)が\(a×a×b×x\)で次数が4となり、項の中で次数が一番大きいので、この多項式の次数は4となります。

 

単項式どうしの加法・減法

単項式は、文字の部分が全く同じであれば足し算(加法)・引き算(減法)をする事ができ、足し算・引き算をする事を「同類項(どうるいこう)をまとめる」と言います。

同類項というのは、\(3a^2b\)、\(2a^2b\)、\(a^2b\)のように文字の部分が全く同じ項の事を言い、これらの項は足し算・引き算をする事ができます。

例えば、\(3a^2b+2a^2b+a^2b\)という多項式の同類項をまとめると、

\(6a^2b\)となります。

なぜ、足し算・引き算ができるかというと、\(3a^2b\)、\(2a^2b\)、\(a^2b\)の中の\(a\)と\(b\)は値がいくらかは分かりませんが、\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)は同じ値だからです。

例えば、\(a=2\)、\(b=3\)だったとすると、

\(a^2b=2×2×3=12\)となりますね。

この\(12\)を\(3a^2b+2a^2b+a^2b\)の式に当てはめてみると、

\((3×12)+(2×12)+12\)

となり、\(12\)が6つある事が分かります。

これをまとめると、\(6×12\)となります。

この\(12\)を\(a^2b\)に置き換えると、

\(6a^2b\)となり、先ほどの答えと同じになります。

このような理由で、文字の部分が全く同じであれば、足し算・引き算をする事ができるんです。

これまで勉強してきた方程式でも、\(5x+2x=7x\)となっていましたよね。

これと同じです。

ただ、次数が増えてややこしく見えるだけです。

ただし、文字の部分が少しでも違っていると同類項にはならないので注意して下さい。

 

ここでは、多項式の加法・減法の勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

多項式の加法・減法の練習問題1

次の式の同類項をまとめなさい。

(1)\(5a+b+2a-3b\)

 

(2)\(3x-2y-8x-4y\)

 

(3)\(6x^2-5x+4x-2x^2\)

 

(4)\(b-3ab+9ab-4b\)

 

多項式の加法・減法の練習問題1の解答

(1)\(5a+b+2a-3b\)

\(5a\)と\(2a\)、\(b\)と\(-3b\)が同類項になるので、答えは

\(7a-2b\)

となります。

 

(2)\(3x-2y-8x-4y\)

\(3x\)と\(-8x\)、\(-2y\)と\(-4y\)が同類項になるので、答えは

\(-5x-6y\)

となります。

 

(3)\(6x^2-5x+4x-2x^2\)

\(6x^2\)と\(-2x^2\)、\(-5x\)と\(4x\)が同類項になるので、答えは

\(4x^2-x\)

となります。

 

(4)\(b-3ab+9ab-4b\)

\(-3ab\)と\(9ab\)、\(b\)と\(-4b\)が同類項になるので、答えは

\(6ab-3b\)

となります。

 

多項式の加法・減法の練習問題2

次の計算をしなさい。

(1)\((2x-y)+(3x+4y)\)

 

(2)\((a+2b-5)+(b-6a+3)\)

 

(3)\((3a+b)-(2a-5b)\)

 

(4)\((2x^2-x-8)-(4x-3-5x^2)\)

 

多項式の加法・減法の練習問題2の解答

(1)\((2x-y)+(3x+4y)\)

()を外すと

\(2x-y+3x+4y\)となり、後は同類項をまとめるだけなので、答えは

\(5x+3y\)

となります。

 

(2)\((a+2b-5)+(b-6a+3)\)

この問題も同様に計算すると、

\(a+2b-5+b-6a+3=-5a+3b-2\)

となります。

 

(3)\((3a+b)-(2a-5b)\)

この問題は()と()の間が\(-\)になっているので符号に注意して下さい。

()を外すと

\(3a+b-2a+5b\)

となるので、答えは

\(a+6b\)

となります。

 

(4)\((2x^2-x-8)-(4x-3-5x^2)\)

この問題も符号に注意が必要です。

()を外すと

\(2x^2-x-8-4x+3+5x^2\)

となるので、答えは

\(7x^2-5x-5\)

となります。

 

多項式の加法・減法の練習問題3

次の計算をしなさい。

(1)

\(\;\;\;\;7a-4b\)

\(\underline{+)a+3b}\)

 

(2)

\(\;\;\;\;\;\;2x-4y\)

\(\underline{-)9x-8y}\)

 

(3)

\(\;\;\;\;\;\;6a+5b-7\)

\(\underline{+)9a-3b+4}\)

 

(4)

\(\;\;\;\;\;\;2x^2-3x-4\)

\(\underline{-)4x^2+3x-2}\)

 

多項式の加法・減法の練習問題3の解答

(1)

\(\;\;\;\;7a-4b\)

\(\underline{+)a+3b}\)

 

この問題は、\((7a-4b)+(a+3b)\)という足し算です。

足し算なので\(a+3b\)の符号はそのままになるので、そのまま縦に足し算すると

 

\(\;\;\;\;7a-4b\)

\(\underline{+)a+3b}\)

\(\;\;\;\;8a-b\)

となります。

 

(2)

\(\;\;\;\;\;\;2x-4y\)

\(\underline{-)9x-8y}\)

 

この問題は引き算なので、下段の\(9x-8y\)は、\(-(9x-8y)\)となり、

\(-9x+8y\)

となります。後は縦に足し算するだけなので、

 

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-4y\)

\(\underline{+)-9x+8y}\)

\(\;\;\;\;\;\;-7x+4y\)

となります。

 

(3)

\(\;\;\;\;\;\;6a+5b-7\)

\(\underline{+)9a-3b+4}\)

 

この問題は足し算なので、そのまま縦に足し算すると、

 

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;6a+5b-7\)

\(\;\;\;\underline{+)9a-3b+4}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;15a+2b-3\)

となります。

 

(4)

\(\;\;\;\;\;\;2x^2-3x-4\)

\(\underline{-)4x^2+3x-2}\)

 

この問題は引き算なので、下段の\(4x^2+3x-2\)は、\(-(4x^2+3x-2)\)となり、

\(-4x^2-3x+2\)

となります。後は縦に足し算するだけなので、

 

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2-3x-4\)

\(\underline{+)-4x^2-3x+2}\)

\(\;\;\;\;\;\;-2x^2-6x-2\)

となります。

 

多項式の加法・減法の練習問題4

次の計算をしなさい。

(1)\((20x-15y)÷5\)

 

(2)\((4a+8b-6)÷(-2)\)

 

(3)\(\frac{x}{2}+\frac{x-2y}{4}\)

 

(4)\(\frac{3a-5b}{8}+\frac{2a+3b}{4}\)

 

多項式の加法・減法の練習問題4の解答

(1)\((20x-15y)÷5\)

\(20x\)と\(-15y\)の両方を\(5\)で割るので、

\(\frac{20x}{5}-\frac{15y}{5}=4x-3y\)

となります。

 

(2)\((4a+8b-6)÷(-2)\)

これも(1)と同様に計算すると、

\(-\frac{4a}{2}-\frac{8b}{2}+\frac{6}{2}=-2a-4b+3\)

となります。

 

(3)\(\frac{x}{2}+\frac{x-2y}{4}\)

通分すると

\(\frac{2x}{4}+\frac{x-2y}{4}\)

となるので、

\(\frac{2x+x-2y}{4}=\frac{3x-2y}{4}\)

となります。

 

(4)\(\frac{3a-5b}{8}+\frac{2a+3b}{4}\)

通分すると

\(\frac{3a-5b}{8}+\frac{2(2a+3b)}{8}\)

となるので、

\(\frac{3a-5b+2(2a+3b)}{8}\)

\(=\frac{3a-5b+4a+6b}{8}\)

\(=\frac{7a+b}{8}\)

となります。