【中２数学】直角三角形の合同　練習問題と誰でもわかる解答

直角三角形の合同

直角三角形とは、1つの角が直角（\(90°\)）である三角形の事を言い、直角三角形の合同条件には次の2つがあります。

・条件1：直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

鋭角（えいかく）とは、直角より小さい角度の事です。

下図のように、斜辺と鋭角のどちらかがそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

 

 

・条件2：直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

下図のように、斜辺ともう一つの辺がそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

 

この2つの条件のどちらかが成り立てば、2つの直角三角形は合同になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

直角三角形の合同の練習問題１

下の図で、合同な三角形の組を2組選び、記号で答えなさい。また、その時に使った合同条件を答えなさい。

 

直角三角形の合同の練習問題１の解答

・1組目：㋐と㋔

合同条件：直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

 

・2組目：㋑と㋕

㋕の一番小さい内角は\(180°－90°－60°＝30°\)になります。

合同条件：直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

 

直角三角形の合同の練習問題２

下の図で、四角形\(ABCD\)は正方形、\(△AEF\)は\(AE＝AF\)の二等辺三角形である。この時、\(BE＝DF\)である事を証明しなさい。

 

直角三角形の合同の練習問題２の解答

\(△ABE\)と\(△ADF\)が合同である事を証明すれば、\(BE＝DF\)である事を証明できます。

\(△ABE\)と\(△ADF\)において、

\(AE＝AF\)　－－－①

四角形\(ABCD\)は正方形なので、

\(AB＝AD\)　－－－②

\(∠ABE＝∠ADF＝90°\)　－－－③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△ADF\)

になります。

ゆえに、

\(BE＝DF\)

となります。

 

直角三角形の合同の練習問題３

\(AB＝AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の頂点\(B\)、\(C\)からそれぞれの対辺\(AC\)、\(AB\)に垂線を引き、\(AC\)、\(AB\)との交点を\(D\)、\(E\)とする。\(BD\)と\(CE\)との交点を\(P\)とする時、\(△PBC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

 

直角三角形の合同の練習問題３の解答

\(△EBC\)と\(△DCB\)が合同である事を証明すれば、\(△PBC\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△EBC\)と\(△DCB\)において、

\(△ABC\)は二等辺三角形なので、

\(∠EBC＝∠DCB\)　－－－①

\(∠BEC＝∠CDB＝90°\)　－－－②

\(BC\)は共通　－－－③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、

\(△EBC≡△DCB\)

になります。

ゆえに、\(∠ECB＝∠DBC\)となり、

\(∠PCB＝∠PBC\)となるので、

\(△PBC\)は二等辺三角形になります。