【中2数学】直角三角形の合同 練習問題と誰でもわかる解答

直角三角形の合同

直角三角形とは、1つの角が直角(\(90°\))である三角形の事を言い、直角三角形の合同条件には次の2つがあります。

・条件1:直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

鋭角(えいかく)とは、直角より小さい角度の事です。

下図のように、斜辺と鋭角のどちらかがそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

直角三角形の合同条件の説明図1

 

 

・条件2:直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

下図のように、斜辺ともう一つの辺がそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

直角三角形の合同条件の説明図2

 

この2つの条件のどちらかが成り立てば、2つの直角三角形は合同になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

直角三角形の合同の練習問題1

下の図で、合同な三角形の組を2組選び、記号で答えなさい。また、その時に使った合同条件を答えなさい。

直角三角形の合同の練習問題1の図

 

直角三角形の合同の練習問題1の解答

・1組目:㋐と㋔

合同条件:直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

 

・2組目:㋑と㋕

㋕の一番小さい内角は\(180°-90°-60°=30°\)になります。

合同条件:直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

 

直角三角形の合同の練習問題2

下の図で、四角形\(ABCD\)は正方形、\(△AEF\)は\(AE=AF\)の二等辺三角形である。この時、\(BE=DF\)である事を証明しなさい。

直角三角形の合同の練習問題2の図

 

直角三角形の合同の練習問題2の解答

\(△ABE\)と\(△ADF\)が合同である事を証明すれば、\(BE=DF\)である事を証明できます。

\(△ABE\)と\(△ADF\)において、

\(AE=AF\) ---①

四角形\(ABCD\)は正方形なので、

\(AB=AD\) ---②

\(∠ABE=∠ADF=90°\) ---③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△ADF\)

になります。

ゆえに、

\(BE=DF\)

となります。

 

直角三角形の合同の練習問題3

\(AB=AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の頂点\(B\)、\(C\)からそれぞれの対辺\(AC\)、\(AB\)に垂線を引き、\(AC\)、\(AB\)との交点を\(D\)、\(E\)とする。\(BD\)と\(CE\)との交点を\(P\)とする時、\(△PBC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

直角三角形の合同の練習問題3の図

 

直角三角形の合同の練習問題3の解答

\(△EBC\)と\(△DCB\)が合同である事を証明すれば、\(△PBC\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△EBC\)と\(△DCB\)において、

\(△ABC\)は二等辺三角形なので、

\(∠EBC=∠DCB\) ---①

\(∠BEC=∠CDB=90°\) ---②

\(BC\)は共通 ---③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、

\(△EBC≡△DCB\)

になります。

ゆえに、\(∠ECB=∠DBC\)となり、

\(∠PCB=∠PBC\)となるので、

\(△PBC\)は二等辺三角形になります。

 

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