【中2数学】文字式の利用 練習問題と誰でもわかる解答

文字式の利用

ここでは、文字式を使って文章問題を解いてみたいと思いますが、その前に文字を使った数の表し方を勉強しましょう。

・3の倍数を\(n\)を使って表すと → \(3n\)

3の倍数は、3、6、9、12などになりますが、\(3=3×1\)、\(6=3×2\)、\(9=3×3\)となるので、3の倍数を\(n\)を使って表すと\(3n\)になります。

 

・7の倍数を\(n\)を使って表すと → \(7n\)

7の倍数も3の倍数と同じ考え方です。

 

・偶数を\(n\)を使って表すと → \(2n\)

偶数は2、4、6、8、10などになりますが、\(2=2×1\)、\(4=2×2\)、\(6=2×3\)

となるので、偶数を\(n\)を使って表すと\(2n\)となります。

 

・奇数を\(n\)を使って表すと → \(2n-1\)

偶数から1を引いたものが奇数になります。

偶数に1を足した\(2n+1\)も奇数になりますが、オーソドックスな表し方は\(2n-1\)になります。

 

・連続する3つの偶数を\(n\)を使って表すと → \(2n\)、\(2n+2\)、\(2n+4\)

偶数は、2、4、6、8のように2ずつ増えていくので、2を\(2n\)とすると、4は\(2n\)に2を足した\(2n+2\)になり、6は\(2n+2\)に更に2を足した\(2n+4\)になります。

 

・連続する3つの奇数を\(n\)を使って表すと → \(2n-1\)、\(2n+1\)、\(2n+3\)

奇数は、1、3、5、7のように2ずつ増えていくので、1を\(2n-1\)とすると、3は\(2n-1\)に2を足した\(2n+1\)になり、5は\(2n+1\)に更に2を足した\(2n+3\)になります。

 

・連続する3つの整数を\(n\)を使って表すと → \(n\)、\(n+1\)、\(n+2\)

連続する3つの整数は、1、2、3や11、12、13などになるので、例えば、1を\(n\)だとすると、2は\(n+1\)、3は\(n+2\)になります。

 

・3桁の自然数を文字を使って表すと → \(100x+10y+z\)

例えば、234という自然数の場合、\(234=(100×2)+(10×3)+(1×4)\)

と表せますが、2と3と4がいくらか分からない場合、百の位の2を\(x\)、十の位の3を\(y\)、一の位の4を\(z\)とすると、

\((100×x)+(10×y)+(1×z)=100x+10y+z\)

となります。

 

これらの事を踏まえて練習問題を解いてみましょう。

 

文字式の利用の練習問題1

2桁の自然数から、その数の十の位の数と一の位の数との和を引いた数は9の倍数になる。

その訳を文字を使って説明しなさい。

 

文字式の利用の練習問題1の解答

十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)とすると、2桁の自然数は

\(10x+y\) ---①

と表す事ができます。

①から\(x\)と\(y\)を足したものを引くと、

\(10x+y-(x+y)\)

となります。

これを計算すると、

\(10x+y-x-y=9x\)

となります。

\(x\)は整数なので、\(9x\)は\(9\)の倍数である事が分かります。

ゆえに、2桁の自然数から、その数の十の位の数と一の位の数との和を引いた数は9の倍数になります。

 

文字式の利用の練習問題2

下のカレンダーは、ある月のものである。このカレンダーで水色の部分の5つの数の和について、次の問いに答えなさい。

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30

 

(1)下図のように5つの数のうちの真ん中の数を\(n\)とする時、\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)にあたる数を\(n\)を使って表しなさい。

\(a\) \(b\)
\(n\)
\(c\) \(d\)

 

(2)5つの数の和は5の倍数になる。その訳を文字を使って説明しなさい。

 

文字式の利用の練習問題2の解答

(1)の解答

\(b\)は\(n\)の1週間前(7日前)になるので、

\(n-7\) ---\(b\)

\(a\)は\(b\)の1日前なので

\(n-8\) ---\(a\)

\(c\)は\(n\)の1週間後(7日後)になるので、

\(n+7\) ---\(c\)

\(d\)は\(c\)の1日後なので

\(n+8\) ---\(d\)

となります。

 

(2)の解答

5つの数を足してみると

\(n+(n-7)+(n-8)+(n+7)+(n+8)\)

\(=5n-7-8+7+8\)

\(=5n\)

となります。

\(n\)は整数なので、\(5n\)は5の倍数である事が分かります。

ゆえに、5つの数の和は5の倍数になります。

 

文字式の利用の練習問題3

底面が1辺\(acm\)の正方形で、高さが\(hcm\)の四角柱\(A\)と、四角柱\(A\)の底面の1辺の長さを2倍にし、高さを半分にした四角柱\(B\)がある。

四角柱\(B\)の体積は、四角柱\(A\)の体積の何倍になるか求めなさい。

 

文字式の利用の練習問題3の解答

まず、四角柱\(A\)の体積を求めてみると、

\(a×a×h=a^2h\;cm^3\) ---四角柱\(A\)の体積

となります。

四角柱\(B\)は、底面の1辺の長さが四角柱\(A\)の2倍、高さが四角柱\(A\)の半分なので、四角柱\(B\)の体積は

\(2a×2a×\frac{h}{2}=4a^2×\frac{h}{2}=2a^2h\;cm^3\) ---四角柱\(B\)の体積

となります。

ゆえに、四角柱\(B\)の体積は、四角柱\(A\)の体積の2倍である事が分かります。

 

文字式の利用の練習問題4

3桁の自然数がある。この自然数から、その数の百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を引いた差は99の倍数になる。その訳を文字を使って説明しなさい。

 

文字式の利用の練習問題4の解答

3桁の自然数の一の位を\(x\)、十の位を\(y\)、百の位を\(z\)とすると3桁の自然数は

\(100z+10y+x\) ---元の3桁の自然数

となります。

百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数は

\(100x+10y+z\) ---百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数

となります。

元の3桁の自然数から、百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を引くと

\(100z+10y+x-(100x+10y+z)\)

\(=100z+10y+x-100x-10y-z\)

\(=99z-99x\)

\(=99(z-x)\)

となります。

\(x\)と\(z\)は整数なので、\((z-x)\)も整数となり、\(99(z-x)\)は99の倍数である事が分かります。

ゆえに、3桁の自然数から、その数の百の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を引いた差は99の倍数になります。

 

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