【中1数学】反比例とは?反比例の式の練習問題と誰でもわかる解答

反比例とは?

反比例(はんぴれい)とは、比例とは逆に一方の数が2倍、3倍となると、もう一方の数が\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるような関係にあるものを言います。

例えば、\(4m\)の長さのテープを\(x\)等分した時のテープ1本の長さを\(ym\)とした時の\(x\)と\(y\)の関係を表に表すと

\(x\)等分 1 2 3 4 5 6
\(ym\) 4 2 4/3 1 4/5 2/3

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えていくと\(y\)は逆に\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍になっている事が分かります。

このような関係にある時、「\(y\)は\(x\)に反比例する」と言います。

\(4m\)のテープを\(x\)等分した時のテープ1本の長さが\(ym\)の時、\(4m\)のテープを\(x\)で割ったものが\(y\)となるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{4}{x}\) ---①

となります。

この時、4を比例定数(ひれいていすう)と言います。

反比例の場合も比例定数と言うので、間違えないように注意して下さい。

ちなみに、先ほどの表を見ると、\(x=1\)の時は\(y=4\)となり、\(x=2\)の時は\(y=2\)となっていますが、それぞれの\(x\)と\(y\)を掛けると全て\(4\)になるので、

\(xy=4\)

という関係が成り立ちます。

この式の両辺を\(x\)で割って\(y=\)の形にすると

\(y=\frac{4}{x}\)

となり、①の式と同じになります。

つまり、違う式であっても式の作り方が間違っていなければ、式を変換すると同じ式になるという事です。

 

比例の場合は、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=ax\) ---比例の式(\(a\)は比例定数)

となりますが、

反比例の場合は、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=\frac{a}{x}\) ーーー反比例の式(\(a\)は比例定数)

となります。

 

ここでは、反比例の式の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

反比例の式の練習問題1

長さ\(24cm\)の針金を\(x\)等分する時、1本の長さを\(ycm\)とする。次の問いに答えなさい。

(1)\(x\)と\(y\)の関係を表した次の表を完成させなさい。

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(y\) 24

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)\(y\)は\(x\)に反比例すると言えるか答えなさい。

 

反比例の式の練習問題1の解答

(1)\(x\)と\(y\)の関係を表した次の表を完成させなさい。

長さ\(24cm\)の針金を2、3、4、5、6でそれぞれ割ると

\(\frac{24}{2}=12\)

\(\frac{24}{3}=8\)

\(\frac{24}{4}=6\)

\(\frac{24}{5}=4.8\)

\(\frac{24}{6}=4\)

となるので、

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(y\) 24 12 8 6 4.8 4

となります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

表を見ると、\(x\)が2倍、3倍となると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となっているので、

\(y=\frac{a}{x}\)より、

\(y=\frac{24}{x}\)

となります。

 

(3)\(y\)は\(x\)に反比例すると言えるか答えなさい。

(1)、(2)より、\(y\)は\(x\)に反比例すると言えます。

 

反比例の式の練習問題2

次の(1)、(2)について\(y\)を\(x\)の式で表し、\(y\)が\(x\)に反比例する事を示しなさい。

また、その比例定数も答えなさい。

(1)\(18km\)の道のりを、時速\(xkm\)の速さで進む時にかかる時間は\(y\)時間である。

 

(2)底辺が\(xcm\)、高さが\(ycm\)の三角形の面積が\(14cm^2\)である。

 

反比例の式の練習問題2の解答

(1)\(18km\)の道のりを、時速\(xkm\)の速さで進む時にかかる時間は\(y\)時間である。

時間が\(y\)なので、「\(時間=\frac{距離}{時速}\)」の式を使用します。

「\(時間=\frac{距離}{時速}\)」の式に距離\(18km\)、時速\(xkm\)、時間\(y\)をそれぞれ代入すると、

\(y=\frac{18}{x}\)

となります。

ゆえに、比例定数は\(18\)となり、\(x\)を2倍、3倍とすると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、\(y\)は\(x\)に反比例します。

 

(2)底辺が\(xcm\)、高さが\(ycm\)の三角形の面積が\(14cm^2\)である。

三角形の面積を求める式は、「\(面積=\frac{底辺×高さ}{2}\)」なので、

この式に底辺\(xcm\)、高さ\(ycm\)、面積\(14cm^2\)をそれぞれ代入すると、

\(14=\frac{xy}{2}\)

となります。

この式を\(y=\)に変換します。

まず、両辺を入れ替えると

\(\frac{xy}{2}=14\)

となり、\(y=\)にするために両辺に\(\frac{2}{x}\)を掛けると

\(\frac{xy}{2}×\frac{2}{x}=14×\frac{2}{x}\)

\(y=\frac{28}{x}\)

となります。

\(x\)を2倍、3倍とすると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、\(y\)は\(x\)に反比例する事が言えます。

また、比例定数は\(28\)となります。

 

反比例の式の練習問題3

\(y\)は\(x\)に反比例し、\(x=4\)の時、\(y=-9\)である。次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x=12\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

反比例の式の練習問題3の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(x\)に反比例するので、\(y=\frac{a}{x}\)の式をそのまま使用します。

\(x=4\)、\(y=-9\)を代入すると、

\(-9=\frac{a}{4}\)

\(\frac{a}{4}=-9\)

両辺に\(4\)を掛けるので

\(a=-36\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=-36\)を代入すると、答えは

\(y=-\frac{36}{x}\)

となります。

 

(2)\(x=12\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

\(y=-\frac{36}{x}\)に\(x=12\)を代入すると、

\(y=-\frac{36}{12}\)

\(y=-3\)

となるので、\(x=12\)の時の\(y\)の値は\(-3\)となります。

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です