【中1数学】反比例のグラフの書き方 練習問題と誰でもわかる解答

反比例のグラフとは?

反比例のグラフは、反比例の式\(y=\frac{a}{x}\)(\(a\)は比例定数)をグラフに書いたものです。

比例のグラフと違い、反比例のグラフは1つの式につき、2つの曲線からなるので、「双曲線(そうきょくせん)」と呼ばれます。

例えば、\(y=\frac{8}{x}\)をグラフに表すと、下記のようになります。

 

y=8/xのグラフ
y=8/xのグラフ

 

比例のグラフは直線なので、座標の点を2つとればグラフを書く事ができますが、反比例のグラフは曲線なので、座標を何点も取らなければいけません。

\(y=\frac{8}{x}\)の場合だと、少なくとも(1、8)、(2、4)、(4、2)、(8、1)、(-1、-8)、(-2、-4)、(-4、-2)、(-8、-1)の8点の座標を取らなければグラフをキレイに書く事はできません。

また、反比例のグラフは、どんなにグラフを伸ばしても\(x\)軸や\(y\)軸につく事はなく、

\(y=\frac{a}{x}\)のグラフは\(x\)軸と\(y\)軸で区切られた部分の右上と左下、

\(y=-\frac{a}{x}\)のグラフは\(x\)軸と\(y\)軸で区切られた左上と右下にそれぞれ曲線がくるようになります。

 

ここでは、反比例のグラフの基本的な勉強をしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

反比例のグラフの練習問題1

次の(ア)~(エ)の式で表される\(x\)と\(y\)の関係のうち、グラフが双曲線であるものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)\(y=\frac{x}{3}\)

 

(イ)\(y=\frac{3}{x}\)

 

(ウ)\(y=3x+1\)

 

(エ)\(y=-\frac{5}{x}\)

 

反比例のグラフの練習問題1の解答

グラフが双曲線になるのは、\(y=\frac{a}{x}\)の反比例の関係にあるものです。

反比例は\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、どれがこのような関係になるのかを1つずつ調べていきます。

(ア)\(y=\frac{x}{3}\)の場合

\(x\)に1、2、3をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=\frac{1}{3}\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{2}{3}\)

\(x=3\)の時、\(y=1\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も2倍、3倍となるので(ア)は双曲線ではないという事になります。

 

(イ)\(y=\frac{3}{x}\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=3\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{3}{2}\)

\(x=3\)の時、\(y=1\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、(イ)のグラフは双曲線である事が分かります。

 

(ウ)\(y=3x+1\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=4\)

\(x=2\)の時、\(y=7\)

\(x=3\)の時、\(y=10\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(3\)ずつ増えるので、(ウ)は双曲線ではないという事になります。

 

(エ)\(y=-\frac{5}{x}\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=-5\)

\(x=2\)の時、\(y=-\frac{5}{2}\)

\(x=3\)の時、\(y=-\frac{5}{3}\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、(エ)のグラフは双曲線である事が分かります。

 

ゆえに、グラフが双曲線になるのは(イ)、(エ)となります。

 

反比例のグラフの練習問題2

次の(1)、(2)のグラフを図1に書きなさい。

(1)\(y=\frac{6}{x}\)

 

(2)\(y=-\frac{8}{x}\)

 

反比例のグラフの練習問題2の図1
図1

 

反比例のグラフの練習問題2の解答

反比例のグラフの練習問題2の解答の図1
図1

 

(1)\(y=\frac{6}{x}\)

座標の\(x\)、\(y\)が全て整数になるようにしたいので、\(x\)に1、2、3、6、-1、-2、-3、-6をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=6\)

\(x=2\)の時、\(y=3\)

\(x=3\)の時、\(y=2\)

\(x=6\)の時、\(y=1\)

\(x=-1\)の時、\(y=-6\)

\(x=-2\)の時、\(y=-3\)

\(x=-3\)の時、\(y=-2\)

\(x=-6\)の時、\(y=-1\)

となるので、それぞれの座標の点をグラフに取ればグラフを書く事ができます。

 

(2)\(y=-\frac{8}{x}\)

\(x\)に1、2、4、8、-1、-2、-4、-8をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=-8\)

\(x=2\)の時、\(y=-4\)

\(x=4\)の時、\(y=-2\)

\(x=8\)の時、\(y=-1\)

\(x=-1\)の時、\(y=8\)

\(x=-2\)の時、\(y=4\)

\(x=-4\)の時、\(y=2\)

\(x=-8\)の時、\(y=1\)

となるので、それぞれの座標の点をグラフに取ればグラフを書く事ができます。

 

反比例のグラフの練習問題3

図2の①、②は反比例のグラフである。それぞれ\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

反比例のグラフの練習問題3の図2
図2

 

反比例のグラフの練習問題3の解答

①、②は反比例のグラフなので、\(y=\frac{a}{x}\)の式を使用します。

・①の場合

グラフを見ると座標(2、4)を通っている事が分かるので、

\(y=\frac{a}{x}\)に\(x=2\)、\(y=4\)を代入すると、

\(4=\frac{a}{2}\)

\(a=8\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=8\)を代入すると、

\(y=\frac{8}{x}\)

となります。

今回は座標(2、4)を使用しましたが、座標(4、2)もグラフが通っているので、座標(4、2)を使用しても構いません。

どちらを使用しても答えは同じになります。

 

・②の場合

グラフを見ると座標(-1、4)を通っている事が分かるので、

\(y=\frac{a}{x}\)に\(x=-1\)、\(y=4\)を代入すると、

\(4=-a\)

\(a=-4\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=-4\)を代入すると、

\(y=-\frac{4}{x}\)

となります。

 

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