【中2数学】平行線と角 練習問題と誰でもわかる解答

平行線と角

・対頂角

下の図1の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のように向かい合った角を対頂角(たいちょうかく)と言い、対頂角は等しくなります。

ポイント:対頂角は等しい。

対頂角の説明図
図1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・同位角

同位角(どういかく)とは、下の図2の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のように同じ位置にある角の事を言います。

また、図3のように\(l\;\)//\(\;m\)(\(l\)と\(m\)が平行)ならば、同位角は等しくなります。

ポイント:\(l\;\)//\(\;m\)ならば、同位角は等しくなる。

同位角の説明図1
図2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

同位角の説明図2
図3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・錯角

下の図4の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のような位置関係にある角の事を錯角(さっかく)と言います。

また、\(l\;\)//\(\;m\)ならば、錯角は等しくなります。

ポイント:\(l\;\)//\(\;m\)ならば、錯角は等しくなる。

錯角の説明図
図4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・平行線の条件

同位角のところでは、\(l\;\)//\(\;m\)ならば、同位角は等しいと説明しましたが、逆に同位角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)となります。

また、錯角が等しい場合も、\(l\;\)//\(\;m\)となります。

ポイント1:同位角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)

(図5の場合:\(∠a=∠b\)ならば、\(l\;\)//\(\;m\))

ポイント2:錯角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)

(図5の場合:\(∠b=∠c\)ならば、\(l\;\)//\(\;m\))

平行線の条件の説明図
図5

 

この平行線と角の関係は、証明でも必要になるので、必ずマスターしておきましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

平行線と角の練習問題1

次の図で、∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めなさい。

(1)

平行線と角の練習問題1の(1)の図

 

(2)

平行線と角の練習問題1の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題1の解答

(1)

\(x\)は40°の対頂角なので、

\(∠x=40°\)

になります。

次に、\(85°+40°+y=180°\)なので、

\(y=180°-85°-40°=55°\)

になります。

 

(2)

\(x\)は75°の対頂角なので、

\(∠x=75°\)

になります。

次に、\(75°+y+2y=180°\)なので、

\(3y=180°-75°\)

\(3y=105°\)

ゆえに

\(∠y=35°\)

になります。

 

平行線と角の練習問題2

下の図で、次の角を記号を使って答えなさい。

(1)∠\(a\)の同位角

 

(2)∠\(g\)の同位角

 

(3)∠\(b\)の錯角

 

(4)∠\(e\)の錯角

平行線と角の練習問題2の図

 

 

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題2の解答

(1)∠\(a\)の同位角

∠\(a\)の同位角は、∠\(e\)になります。

 

(2)∠\(g\)の同位角

∠\(g\)の同位角は、∠\(c\)になります。

 

(3)∠\(b\)の錯角

∠\(b\)の錯角は、∠\(h\)になります。

 

(4)∠\(e\)の錯角

∠\(e\)の錯角は、∠\(c\)になります。

 

・錯角の見分け方

錯角が分かりにくい場合は、下の図のように、\(z\)形になるところの内と内の\(a\)と\(a\)が錯角になり、反対側の\(b\)と\(b\)も錯角になるというように覚えておけば良いと思います。

逆\(z\)形の場合も同じです。

錯角の見分け方の説明図

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題3

次の図で、\(l\;\)//\(\;m\)の時、∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めなさい。

(1)

平行線と角の練習問題3の(1)の図

 

(2)

平行線と角の練習問題3の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

(3)

平行線と角の練習問題3の(3)の図

 

 

 

 

 

 

 

(4)

平行線と角の練習問題3の(4)の図

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題3の解答

(1)

\(x\)は50°の同位角なので、

\(∠x=50°\)

になります。

\(y\)は40°の錯角なので、

\(∠y=40°\)

になります。

 

(2)

\(x\)の同位角は、65°との対頂角なので、

\(∠x=65°\)

になります。

\(y\)の対頂角は\(180°-135°=45°\)なので、

\(∠y=45°\)

になります。

 

(3)

平行線と角の練習問題3の解答の(3)の図

 

 

 

 

 

 

上図のように\(l\)、\(m\)に平行な直線を真ん中に引くと、\(∠a\)は30°の同位角になり、

\(∠b\)は35°の同位角になるので、\(∠x\)は

\(∠x=30°+35°=65°\)

になります。

 

(4)

平行線と角の練習問題3の解答の(4)の図

 

 

 

 

 

 

上図のように\(l\)、\(m\)に平行な直線を真ん中に引き、\(n\)の方向に直線を延長すると\(∠a\)は

\(∠a=180°-125°=55°\)

になり、\(∠b\)は\(∠a\)の同位角なので、55°になります。

\(∠c\)は

\(∠c=90°-55°=35°\)

になります。

\(x\)は\(∠c\)の錯角なので、ゆえに

\(∠x=35°\)

になります。

 

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