【中2数学】平行四辺形になる条件 練習問題と誰でもわかる解答

平行四辺形になる条件

平行四辺形になる条件には次の5つがあり、どれかが成り立てば、その四角形は平行四辺形になります。

・条件1:2組の向かい合う辺が、それぞれ平行である。

平行四辺形になる条件の説明図1

 

・条件2:2組の向かい合う辺の長さが、それぞれ等しい。

平行四辺形になる条件の説明図2

 

・条件3:2組の向かい合う角が、それぞれ等しい。

平行四辺形になる条件の説明図3

 

・条件4:対角線がそれぞれの中点で交わる。

平行四辺形になる条件の説明図4

 

・条件5:1組の向かい合う辺の長さが等しく、平行である。

平行四辺形になる条件の説明図5

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

平行四辺形になる条件の練習問題1

四角形\(ABCD\)の対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。この四角形について、次のような条件がある時、常に平行四辺形になるものには〇を、そうとは限らないものには✕を書きなさい。

(1)\(AD\;\)//\(\;BC\)、\(AB=DC\)

(2)\(OA=OC\)、\(OB=OD\)

(3)\(OA=OC\)、\(AC\;\)⊥\(\;BD\)

(4)\(∠ADB=∠CBD\)、\(∠ABD=∠CDB\)

平行四辺形になる条件の練習問題1の図

 

平行四辺形になる条件の練習問題1の解答

(1)✕

\(AD\;\)//\(\;BC\)ですが、\(AD=BC\)ではないので、平行四辺形になるとは限りません。

 

(2)〇

対角線がそれぞれの中点で交わるので、平行四辺形になります。

 

(3)✕

\(OA=OC\)ですが、\(OB=OD\)ではないので、平行四辺形になるとは限りません。

 

(4)〇

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行になるので、平行四辺形になります。

 

平行四辺形になる条件の練習問題2

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)で、辺\(AD\)、\(BC\)上に\(DE=BF\)となるような点\(E\)、\(F\)をとる。点\(A\)と\(F\)、点\(C\)と\(E\)をそれぞれ結ぶ時、四角形\(AFCE\)は平行四辺形になる事を証明しなさい。

平行四辺形になる条件の練習問題2の図

 

平行四辺形になる条件の練習問題2の解答

\(AD\;\)//\(\;BC\)なので、

\(AE\;\)//\(\;FC\) ---①

になります。

\(AD=BC\)、\(DE=BF\)なので、

\(AE=FC\) ---②

になります。

①、②より、1組の向かい合う辺の長さが等しく平行なので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

平行四辺形になる条件の練習問題3

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)で、対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。\(O\)を通る直線を引き、辺\(AD\)、\(BC\)との交点をそれぞれ\(E\)、\(F\)とする。この時、四角形\(AFCE\)は平行四辺形である事を証明しなさい。

平行四辺形になる条件の練習問題3の図

 

平行四辺形になる条件の練習問題3の解答

\(△AOE\)と\(△COF\)が合同である事を証明すれば、四角形\(AFCE\)が平行四辺形である事を証明できます。

\(△AOE\)と\(△COF\)において、

\(AO=CO\) ---①

対頂角は等しいので、

\(∠AOE=∠COF\) ---②

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠OAE=∠OCF\) ---③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AOE≡△COF\)

になります。

ゆえに、

\(OE=OF\) ---④

①、④より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

「もう1つの解答」

\(△AOE≡△COF\)を証明後、

\(AE\;\)//\(\;CF\)、\(AE=CF\)より、

1組の向かい合う辺の長さが等しく平行なので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

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