【中2数学】平行四辺形の性質 練習問題と詳しい解答

平行四辺形の性質

下の図1のように、2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形の事を平行四辺形と言います。

平行四辺形の性質の説明図1
図1

 

平行四辺形には、次のような3つの性質があります。

・平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい。

平行四辺形の性質の説明図2

 

・平行四辺形の向かい合う角は等しい。

平行四辺形の性質の説明図3

 

・平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

平行四辺形の性質の説明図4

 

平行四辺形のこれらの性質を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

平行四辺形の性質の練習問題1

次の平行四辺形\(ABCD\)で、\(x\)、\(y\)の値をそれぞれ求めなさい。

(1)

平行四辺形の性質の練習問題1の(1)の図

 

 

(2)

平行四辺形の性質の練習問題1の(2)の図

 

平行四辺形の性質の練習問題1の解答

(1)

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、

\(∠x=50°\)

\(∠y=130°\)

になります。

 

(2)

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、

\(x=6cm\)

になります。

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(y=\frac{8}{2}=4cm\)

になります。

 

平行四辺形の性質の練習問題2

下図の平行四辺形\(ABCD\)で、辺\(BC\)の延長上に\(AE=BE\)となる点\(E\)をとり、\(AE\)と辺\(DC\)との交点を\(F\)とする。\(∠D=70°\)である時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

平行四辺形の性質の練習問題2の図

 

平行四辺形の性質の練習問題2の解答

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、

\(∠B=70°\)

\(AE=BE\)より、\(△ABE\)は二等辺三角形なので、

\(∠x=70°\)

になります。

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、\(∠y\)は\(∠x\)の外角になるので、

\(∠y=180°-70°=110°\)

になります。

 

平行四辺形の性質の練習問題3

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)の対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。\(BD\)上に点\(E\)をとり、\(A\)と\(E\)を結ぶ。点\(C\)を通り、\(AE\)に平行な直線と\(BD\)との交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。

平行四辺形の性質の練習問題3の図

(1)\(△AEO≡△CFO\)である事を証明しなさい。

 

(2)(1)を利用して、\(△ABE≡△CDF\)である事を証明しなさい。

 

平行四辺形の性質の練習問題3の解答

(1)\(△AEO≡△CFO\)である事を証明しなさい。

\(△AEO\)と\(△CFO\)において、

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(AO=CO\) ---①

対頂角は等しいので、

\(∠AOE=∠COF\) ---②

\(AE\;\)//\(\;CF\)より、錯角は等しいので、

\(∠EAO=∠FCO\) ---③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AEO≡△CFO\)

になります。

 

(2)(1)を利用して、\(△ABE≡△CDF\)である事を証明しなさい。

\(△ABE\)と\(△CDF\)において、

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(OE=OF\)

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(BO=DO\)と\(OE=OF\)から、

\(BE=DF\) ---①

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(AE=CF\) ---②

\(AE\;\)//\(\;CF\)より、錯角は等しいので、

\(∠AEO=∠CFO\)となり、

\(∠AEB=∠CFD\) ---③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△CDF\)

になります。

 

「もう1つの解答」

\(△ABE\)と\(△CDF\)において、

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(OE=OF\)

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(BO=DO\)と\(OE=OF\)から、

\(BE=DF\) ---①

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、

\(AB=CD\) ---②

\(AB\;\)//\(\;CD\)より、錯角は等しいので、

\(∠ABE=∠CDF\) ---③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△CDF\)

になります。

 

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