【中1数学】比例とは?比例の式の練習問題と誰でもわかる解答

比例とは?

比例とは、一方の数を2倍、3倍とした時に、もう一方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるものを言います。

例えば、1個50円のみかんを1個、2個、3個と買った時の代金と個数の関係を表に表すと

個数(個) 1 2 3 4 5 6
代金(円) 50 100 150 200 250 300

となりますが、みかんの個数が2倍、3倍と増えると、代金も同じように2倍、3倍と増えているのが分かると思います。

このような関係にある時、個数と代金は「比例関係にある」と言い、「代金は個数に比例する」とも言います。

代金を\(y\)、個数を\(x\)とした場合、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=50x\)

となります。

この時、50を比例定数(ひれいていすう)と言います。

比例定数とは、比例する2つの量の間の関係式における定数の事です。

今回の場合は、みかん1個の値段が50円なので、比例定数は50となります。

 

おさらいすると、比例とは、一方の数を2倍、3倍とした時に、もう一方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるものを言い、

\(y\)が\(x\)に比例する時、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=ax\) (\(a\)は比例定数)

となります。

これが比例の式になるので、覚えておきましょう。

 

ここでは、比例の式の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例の式の練習問題1

次の(1)、(2)について、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(y\)が\(x\)に比例する事を示しなさい。

また、その比例定数も答えなさい。

 

(1)\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(x\)本買った時、代金は\(y\)円である。

 

(2)底辺が\(10cm\)、高さが\(xcm\)の三角形の面積を\(ycm^2\)とする。

 

比例の式の練習問題1の解答

(1)\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(x\)本買った時、代金は\(y\)円である。

\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(1\)本、\(2\)本、\(3\)本と買うと、代金も同じように\(60\)円、\(120\)円、\(180\)円と増えていくので、代金が個数に比例する事が分かります。

代金が\(y\)、鉛筆の本数が\(x\)なので、

\(y=ax\)より

\(y=60x\)

となり、比例定数は\(60\)となります。

 

(2)底辺が\(10cm\)、高さが\(xcm\)の三角形の面積を\(ycm^2\)とする。

三角形の面積を求める式は、\(\frac{底辺×高さ}{2}\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{10×x}{2}\)

\(y=5x\)

となり、\(y\)が\(x\)に比例する事が分かります。

また、比例定数は\(5\)となります。

 

比例の式の練習問題2

次の(ア)~(エ)の式で表される\(x\)と\(y\)の関係で、\(y\)が\(x\)に比例するものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)\(y=x+5\)

(イ)\(y=x\)

(ウ)\(y=\frac{x}{5}\)

(エ)\(y=\frac{5}{x}\)

 

比例の式の練習問題2の解答

\(y\)が\(x\)に比例するかどうか、1つずつ調べていきます。

(ア)\(y=x+5\)

\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=6\)

\(x=2\)の時、\(y=7\)

\(x=3\)の時、\(y=8\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えても\(y\)は同じように2倍、3倍とならないので、(ア)の式は\(y\)が\(x\)に比例しないという事になります。

 

(イ)\(y=x\)

(ア)と同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=1\)

\(x=2\)の時、\(y=2\)

\(x=3\)の時、\(y=3\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も同じように2倍、3倍となるので、(イ)の式は\(y\)が\(x\)に比例するという事になります。

 

(ウ)\(y=\frac{x}{5}\)

同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=\frac{1}{5}\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{2}{5}\)

\(x=3\)の時、\(y=\frac{3}{5}\)

となります。

分数なので分かりにくいかもしれませんが、

\(\frac{1}{5}=0.2\)、\(\frac{2}{5}=0.4\)、\(\frac{3}{5}=0.6\)となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も同じように2倍、3倍と増えているので、(ウ)の式は\(y\)が\(x\)に比例するという事になります。

 

(エ)\(y=\frac{5}{x}\)

同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=5\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{5}{2}=2.5\)

\(x=3\)の時、\(y=\frac{5}{3}=1.67\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は逆に\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍と減っていくので、(エ)の式は\(y\)が\(x\)に比例しないという事になります。

 

ゆえに、\(y\)が\(x\)に比例する式は(イ)と(ウ)になります。

 

比例の式の練習問題3

\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=3\)の時、\(y=-9\)である。次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x=-6\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

比例の式の練習問題3の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(x\)に比例するので、\(y=ax\)の式に\(x=3\)、\(y=-9\)を代入すると、

\(-9=3a\)

\(a=-3\)

となり、比例定数が求まります。

この比例定数を\(y=ax\)の式に代入すると、答えは

\(y=-3x\)

となります。

 

(2)\(x=-6\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

(1)で求めた\(y=-3x\)の式に\(x=-6\)を代入すると、

\(y=-3×(-6)\)

\(y=18\)

となるので、\(x=-6\)の時の\(y\)の値は\(18\)となります。

 

比例の式の練習問題4

\(A\)町から\(48km\)離れた\(B\)町まで自転車で行く。自転車の速さを時速\(12km\)、\(A\)町を出発してからの時間を\(x\)時間、\(A\)町からの進んだ距離を\(ykm\)とする時、次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の変域を、不等号を使って表しなさい。

 

比例の式の練習問題4の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

距離を求める式は、「\(距離=時速×時間\)」なので、この式に時速\(12km\)と\(x\)時間を代入すると、求める式は

\(y=12x\)

となります。

 

(2)\(x\)の変域を、不等号を使って表しなさい。

\(48km\)離れた\(B\)町に行くのにかかる時間を求めます。

\(y=12x\)の式に\(y=48\)を代入すると、

\(48=12x\)

\(x=4\)

となるので、\(B\)町に行くのにかかる時間は\(4\)時間となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、\(0\)時間から\(4\)時間となるので、不等号を使って表すと

\(0≦x≦4\)

となります。

 

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