【中1数学】比例のグラフの書き方 練習問題と誰でもわかる解答

比例のグラフとは?

比例のグラフは、比例の式\(y=ax\)(\(a\)は比例定数)をグラフに書いたものです。

グラフは横軸が\(x\)、縦軸が\(y\)になります。

例えば、\(y=2x\)をグラフに表すと、下記のようになりますが、グラフを書くには、まず座標を求める必要があります。

y=2x

 

座標とは、グラフの線が通る点の事で、(\(x\)、\(y\))という書き方をします。

 

・\(y=2x\)の座標

\(y=2x\)の\(x\)に0、1、2、3をそれぞれ代入してみると、

\(x=0\)の時、\(y=0\)なので、座標は(0、0)となります。

\(x=1\)の時、\(y=2\)なので、座標は(1、2)となります。

\(x=2\)の時、\(y=4\)なので、座標は(2、4)となります。

\(x=3\)の時、\(y=6\)なので、座標は(3、6)となります。

\(x\)に-1、-2、-3を代入してもグラフは同じになります。

今回は4つの座標を求めてみましたが、\(y=ax\)の比例のグラフの場合は、必ず直線のグラフになるので、直線のグラフの場合は2つの座標を求めれば十分です。

ただし、座標が(0.5、1)のように小数になる場合は、2つの座標だけではグラフがキレイに書けない可能性があるので注意が必要です。

 

また、下図の座標(1、2)のように、\(x\)も\(y\)も整数になる点を探し、赤色の矢印のように、点までの\(x\)と\(y\)の値を数えるのも1つの方法です。

実は、これが\(y=ax\)の比例定数\(a\)(傾きとも言う)になるんです。

y=2xのグラフの拡大図

 

どういう事かというと、\(x\)軸、\(y\)軸の順に数えると、1、2となりますが、

1分の2というように数えます。

そうすると、\(\frac{2}{1}=2\)となり、このグラフの傾きは2だという事になります。

ゆえに、このグラフの式は

\(y=2x\)

という事になります。

 

比例のグラフは、\(y=ax\)の場合は右上がりのグラフになり、

\(y=-ax\)の場合は左上がりのグラフになる事を覚えておきましょう。

 

ここでは、比例のグラフの基本的な勉強をしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例のグラフの練習問題1

図1

 

次の問いに答えなさい。

(1)図1で、点A、B、C、Dの座標を求めなさい。

 

(2)図1に点E(2、-4)、点F(4、0)を示しなさい。

 

比例のグラフの練習問題1の解答

(1)図1で、点A、B、C、Dの座標を求めなさい。

点Aは、\(x\)が+3、\(y\)が+4なので、座標は(3、4)となります。

点Bは、\(x\)が-3、\(y\)が+2なので、座標は(-3、2)となります。

点Cは、\(x\)が-4、\(y\)が-3なので、座標は(-4、-3)となります。

点Dは、\(x\)が0、\(y\)が-2なので、座標は(0、-2)となります。

 

(2)図1に点E(2、-4)、点F(4、0)を示しなさい。

点E(2、-4)は、\(x\)が+2、\(y\)が-4なので、0から\(x\)軸の+方向に2、\(y\)軸の-方向に4進んだところが座標になります。

点F(4、0)は、\(x\)が+4、\(y\)が0なので、0から\(x\)軸の+方向に4進んだところが座標になります。

図1

 

比例のグラフの練習問題2

図2

 

次の(1)~(3)のグラフを図2に書きなさい。

(1)\(y=3x\)

 

(2)\(y=-x\)

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\)

 

比例のグラフの練習問題2の解答

 

図2

 

(1)\(y=3x\) ---図2の緑色のグラフ

\(y=3x\)の式の\(x\)に\(1\)を代入すると、\(y=3\)となり、グラフが座標(1、3)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=3x\)のグラフになります。

\(x\)に代入するのは\(2\)でも\(3\)でも構いませんが、できるだけ小さい整数の方が座標がグラフからはみ出す心配もないし、0から近いところの方が点も書きやすいと思います。

 

(2)\(y=-x\) ---図2の青色のグラフ

\(y=-x\)の\(x\)に\(1\)を代入すると、\(y=-1\)になるので、グラフが座標(1、-1)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=-x\)のグラフになります。

傾き(比例定数)が-の場合は、左上がりのグラフになります。

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\) ---図2の赤色のグラフ

\(y=-\frac{x}{2}\)の\(x\)に\(2\)を代入すると、\(y=-1\)となるので、グラフが座標(2、-1)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=-\frac{x}{2}\)のグラフになります。

\(x\)に\(2\)を代入した理由は、\(x\)も\(y\)も整数にしたかったからです。

\(1\)を代入すると座標が(1、\(-\frac{1}{2}\))になり、グラフが少し書きにくくなります。

書けない事はないですが、\(x\)も\(y\)も整数の方が書きやすいと思います。

 

比例のグラフの練習問題3

図3

 

図3の①、②は比例のグラフである。次の問いに答えなさい。

(1)①、②のそれぞれについて、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の値が\(1\)増加すると、\(y\)の値はそれぞれどのように変化するか答えなさい。

 

比例のグラフの練習問題3の解答

(1)①、②のそれぞれについて、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

①、②は比例のグラフとあるので、\(y=ax\)の比例の式を使用します。

 

①のグラフは座標(1、2)を通る事が分かるので、

\(y=ax\)に\(x=1\)、\(y=2\)を代入すると、

\(2=a×1\)

となるので、

\(a=2\)となります。

次に\(a=2\)を\(y=ax\)に代入すると、

\(y=2x\)

となります。

 

②のグラフは座標(3、-2)を通る事が分かるので、

\(y=ax\)に\(x=3\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(-2=3a\)

\(a=-\frac{2}{3}\)

となります。

次に\(a=-\frac{2}{3}\)を\(y=ax\)に代入すると、

\(y=-\frac{2}{3}x\)

となります。

 

(2)\(x\)の値が\(1\)増加すると、\(y\)の値はそれぞれどのように変化するか答えなさい。

①の\(y=2x\)の式に\(x=1\)を代入すると、

\(y=2\)

となります。

次に、\(x=2\)を代入すると、

\(y=4\)

となるので、①の式は\(x\)が\(1\)増加すると\(y\)は\(2\)増加する事が分かります。

 

②の\(y=-\frac{2}{3}x\)の式に\(x=1\)を代入すると、

\(y=-\frac{2}{3}\)

となります。

次に、\(x=2\)を代入すると、

\(y=-\frac{4}{3}\)

となるので、②の式は\(x\)が\(1\)増加すると\(y\)は\(\frac{2}{3}\)減少する事が分かります。

\(-\frac{2}{3}\)増加するという事は、\(\frac{2}{3}\)減少する事になります。

 

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