【中1数学】比例と反比例の利用 練習問題と誰でもわかる解答

比例と反比例の利用

ここでは、比例と反比例を利用して文章問題を解いてみたいと思います。

文章問題が苦手な方はたくさんいるかもしれませんが、文章問題が解けるようになるためには、とにかく「問題をたくさん解く事」、これに尽きると思います。

問題をたくさん解いているうちに、似たような問題には対応できるようになると思います。

最初は難しいかもしれませんが、問題をたくさん解いて少しずつ慣れていきましょう。

分からない問題をそのまま放置しておくのは良くないので、どうしても解けない問題がある場合は、学校の先生や友達、両親、塾の先生などに教えてもらって、1つずつクリアしていきましょう。

では早速、練習問題を解いていきましょう。

 

比例と反比例の利用の練習問題1

束になっている針金の重さをはかったら\(450g\)あった。同じ針金\(3m\)の重さをはかったら\(54g\)であった。これについて次の問いに答えなさい。

(1)針金\(xm\)の重さを\(yg\)として、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)束になっている針金の長さを求めなさい。

 

比例と反比例の利用の練習問題1の解答

(1)針金\(xm\)の重さを\(yg\)として、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

針金の長さが2倍、3倍となると当然、重さも2倍、3倍となるので、

比例の式\(y=ax\)が使用できます。

針金\(3m\)の重さが\(54g\)なので、\(y=ax\)に\(x=3\)、\(y=54\)を代入すると、

\(54=3a\)

\(a=18\)となります。

次に、\(y=ax\)に\(a=18\)を代入すると

\(y=18x\)

となります。

 

・もう1つの考え方

針金\(3m\)の重さが\(54g\)なので、針金\(1m\)の重さは

\(54÷3=18g\)

となります。

針金\(1m\)あたりの重さが\(18g\)なので、針金\(xm\)の重さが\(yg\)とすると、\(18g×xm\)が\(yg\)と等しくなるので、

\(y=18x\)

という関係が成り立ちます。

 

(2)束になっている針金の長さを求めなさい。

針金\(1m\)の重さは\(18g\)なので、(1)で求めた\(y=18x\)に\(y=450\)を代入すれば針金\(450g\)の長さが分かります。

ゆえに、

\(450=18x\)

\(x=25\)

となるので、束になっている針金の長さは\(25m\)となります。

 

比例と反比例の利用の練習問題2

歯車\(A\)と\(B\)がかみ合って回転している。歯車\(A\)の歯の数は\(60\)で、毎秒8回転している。歯車\(B\)の歯の数が\(40\)の時、\(B\)は毎秒何回転しているか求めなさい。

 

比例と反比例の利用の練習問題2の解答

歯の数が\(60\)の歯車\(A\)は\(1\)秒間に\(8\)回転しているので、歯車\(A\)が\(1\)秒間に歯車\(B\)とかみ合う歯の数は

\(60×8=480\)

となります。

歯車\(A\)と歯車\(B\)が\(1\)秒間にかみ合う歯の数は等しいので、歯車\(B\)の歯の数を\(x\)、歯車\(B\)の\(1\)秒間の回転数を\(y\)とすると、

\(xy=480\)

という関係が成り立ちます。

この式を\(y=\)に変換すると

\(y=\frac{480}{x}\) ---①

となります。

①の式に歯車\(B\)の歯の数\(40\)を代入すると、

\(y=\frac{480}{40}\)

\(y=12\)

となるので、歯車\(B\)は毎秒\(12\)回転している事になります。

 

比例と反比例の利用の練習問題3

比例と反比例の利用の練習問題3の図1
図1

 

兄と弟が同時に家を出発し、家から\(800m\)離れた書店に、兄は分速\(80m\)、弟は分速\(50m\)で歩いて行く。家を出発してから\(x\)分間に歩いた道のりを\(ym\)とする。

この時、兄の歩く様子をグラフに表すと、図1のようになる。次の問いに答えなさい。

(1)弟の歩く様子を図1に書きなさい。

 

(2)兄が書店に着いた時、弟は書店まであと何\(m\)のところにいるか求めなさい。

 

比例と反比例の利用の練習問題3の解答

比例と反比例の利用の練習問題3の解答の図1
図1

 

(1)弟の歩く様子を図1に書きなさい。

道のりが\(y\)なので、\(y=\)の式にするために「\(距離=速さ×時間\)」の式を使用します。

弟の歩く速さが分速\(50m\)なので、「\(距離=速さ×時間\)」の式に距離\(y\)、時間\(x\)、分速\(50m\)をそれぞれ代入すると、

\(y=50x\)

となるので、弟の歩く様子を表すグラフは\(y=50x\)になります。

 

(2)兄が書店に着いた時、弟は書店まであと何\(m\)のところにいるか求めなさい。

グラフを見れば、兄が書店に着いた時(\(800m\)地点)の弟の歩いた距離は\(500m\)という事が分かり、弟の書店までの残りの距離は

\(800-500=300m\)

という事がすぐに分かりますが、一応計算で求めてみたいと思います。

兄のグラフの式は\(y=80x\)なので、兄が\(800m\)離れた書店に着くまでにかかる時間は

\(800=80x\)

\(x=10\)

となり、\(10\)分だという事が分かります。

次に、\(y=50x\)の式に\(x=10\)を代入すると

\(y=50×10\)

\(y=500\)

となり、兄が書店に着いた時、弟は家から\(500m\)のところにいるので、

\(800-500=300\)

となり、兄が書店に着いた時、弟は書店まであと\(300m\)のところにいる事になります。

 

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