【中1数学】比例式の解き方・作り方 練習問題と誰でもわかる解答

比例式とは?

・比の値と比の性質

\(x:y\) のように表された比を \(\frac{x}{y}\) のように分数で表したものを「比の値」と言います。

比には「等しい比では比の値は等しく、逆に比の値が等しい比は等しい」という性質があります。

どういう事かと言うと、例えば \(8:6\) と \(4:3\) という比の場合、どちらも比の値が \(\frac{4}{3}\) なので、等しい比であるという事が言えます。

つまり、値が違っていても比が等しければ比の値は等しくなり、比の値が等しければ比も等しいという事が言えるという事です。

そして、比をできるだけ小さな整数の比にする事を「比を簡単にする」と言います。

例えば、\(8:6\) をできるだけ小さな整数の比にすると、\(4:3\) になります。

 

・比例式

\(x:y=a:b\) のように、比が等しい事を表す式の事を「比例式」と言います。

先ほど説明した比の性質から「等しい比では比の値は等しい」ので、

\(x:y=a:b\) ならば、\(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\) となります。

また、両辺に \(by\) を掛けると、

\(bx=ay\) となります。

両辺に \(by\) を掛けるのは、両辺の分母を消すためです。

つまり、比例式には

\(x:y=a:b\) ならば、\(bx=ay\) が成り立つという性質があり、

\(x:y=a:b\) の内と内(\(y\)と\(a\))を掛けたもの、外と外(\(x\)と\(b\))を掛けたものを\(=\)で結べば良いという事が分かります。

 

ここでは、比例式の解き方と比例式の作り方について勉強したいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例式の解き方の練習問題1

次の比例式で、\(x\)の値を求めなさい。

(1)\(x:9=2:3\)

 

(2)\(20:5=x:3\)

 

(3)\(6:10=12:x\)

 

(4)\(21:x=28:24\)

 

(5)\(\frac{3}{4}:\frac{5}{8}=x:25\)

 

(6)\(3:8=15:(x+15)\)

 

比例式の解き方の練習問題1の解答

(1)\(x:9=2:3\)

解き方のコツは、最終的に\(x=\)の形にするので、初めから\(x\)を左辺に持ってきた方がスムーズに計算できると思います。

内と内、外と外を掛けるので、

\(3×x=9×2\)

となります。後は方程式を解くのと同じなので、

\(3x=18\)

\(x=6\)

となります。

 

(2)\(20:5=x:3\)

この問題も同様に計算すると、

\(5x=20×3\)

\(5x=60\)

\(x=12\)

となります。

 

(3)\(6:10=12:x\)

この問題も同様に計算すると、

\(6x=10×12\)

\(6x=120\)

\(x=20\)

となります。

 

(4)\(21:x=28:24\)

この問題も同様に計算すると、

\(28x=21×24\)

\(28x=504\)

\(x=18\)

となります。

 

(5)\(\frac{3}{4}:\frac{5}{8}=x:25\)

この問題も同様に計算すると、

\(\frac{5}{8}x=25×\frac{3}{4}\)

\(\frac{5}{8}x=\frac{75}{4}\)

この場合は\(x=\)にするために、両辺に\(\frac{8}{5}\)を掛けます。

\(\frac{8}{5}×\frac{5}{8}x=\frac{8}{5}×\frac{75}{4}\)

\(x=\frac{8}{5}×\frac{75}{4}\)

\(\frac{8}{5}\)と\(\frac{75}{4}\)を掛ける前に約分するのを忘れないようにしましょう。

約分すると

\(x=\frac{2}{1}×\frac{15}{1}\)

となるので、

\(x=30\)

となります。

 

(6)\(3:8=15:(x+15)\)

この問題も同様に計算すると、

\(3(x+15)=8×15\)

となります。

左辺は分配法則を利用して計算します。

\(3×x+3×15=120\)

\(3x+45=120\)

\(3x=120-45\)

\(3x=75\)

\(x=25\)

となります。

 

比例式の作り方の練習問題1

あるお菓子は、小麦粉\(150g\)にバター\(60g\)の割合で混ぜて作る。小麦粉を\(400g\)とすると、バターは何\(g\)混ぜればいいか求めなさい。

 

比例式の作り方の練習問題1の解答

まず、小麦粉\(150g\)とバター\(60g\)を比で表すと、

\(150:60\)

になります。

次に、小麦粉\(400g\)の時のバターの量を\(xg\)とし、比で表すと

\(400:x\)

となります。

これを比例式にすると

\(150:60=400:x\) ---①

となります。

並べる順番を間違えると、答えが変わってしまうので、注意して下さい。

下記の比例式のように小麦粉を最初に持ってきた場合は、\(=\)の後も小麦粉を最初に持ってくるようにして下さい。

(小麦粉1):(バター1)=(小麦粉2):(バター2)

 

①の比例式を解くと、

\(150x=60×400\)

\(150x=24000\)

\(x=160\)

となります。

ゆえに、小麦粉\(400g\)の時のバターの量は\(160g\)

となります。

 

比例式の作り方の練習問題2

\(4m\)のリボンを姉と妹で分けるのに、姉と妹の長さの比が\(3:2\)になるようにしたいと思う。姉のリボンは何\(cm\)にすればいいか求めなさい。

 

比例式の作り方の練習問題2の解答

まず、何\(cm\)かと聞かれているので、\(4m\)を\(cm\)に直すと\(400cm\)となります。

次に、姉のリボンの長さを\(xcm\)とし、\(400cm\)と\(xcm\)を比で表すと

\(400:x\) ---①

となります。

\(400\)に対する比は、姉と妹を足した\(3+2=5\)となり、\(x\)に対する比は姉の分の\(3\)になるので、

\(5:3\) ---②

となります。

①と②を比例式にすると

\(400:x=5:3\) ---③

となります。

この問題も練習問題1と同様に並び順に注意して下さい。

(全部のテープの長さ1):(姉のテープの長さ1)=(全部のテープの長さ2):(姉のテープの長さ2)

 

③の比例式を解くと、

\(5x=400×3\)

\(5x=1200\)

\(x=240\)

となります。

ゆえに、姉のリボンの長さは\(240cm\)となります。

 

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