【中1数学】方程式とその解 練習問題と誰でもわかる解答

方程式とその解

方程式(ほうていしき)とは、\(9+x=2\)の式のように、値のわからない\(x\)のような文字を含む等式の事を言います。

そして、方程式に当てはまる文字の値を解(かい)と言い、この解を求める事を方程式を解くと言います。

\(9+x=2\)の方程式を解いてみると、

\(x=2-9\)

\(x=-7\)

となります。

方程式では、左辺の項を右辺に、右辺の項を左辺に移動させる事を移項(いこう)と言いますが、項を移項すると-は+に、+は-に符号が変わります。

先ほど解いた方程式でも

\(9+x=2\) → \(x=2-9\)

のように、9を左辺から右辺に移項した際に、9が-9になっています。

なぜ符号が変わるかというと、

\(9+x=2\)

の状態から9を右辺に移項すると、左辺に残ったのは\(x\)だけになります。

左辺から9がなくなったという事は、左辺は-9になったという事になりますね。

でも、このままの状態では左辺=右辺が成り立たないので、左辺が-9になったのであれば、右辺からも同様に9を引かなければいけません。

ですので、左辺から右辺に9を移項すると、

\(9+x=2\) → \(x=2-9\)

となる訳です。

これは数字だけに限らず、\(x\)や\(y\)などの文字の場合も同様です。

\(x\)を左辺から右辺に移項すれば\(-x\)になるし、\(y\)を右辺から左辺に移項すれば\(-y\)になります。

 

・等式の性質

等式には次の4つの性質があります(ただし、\(C≠0\))。

① \(A=B\)ならば、\(A+C=B+C\)

② \(A=B\)ならば、\(A-C=B-C\)

③ \(A=B\)ならば、\(A×C=B×C\)

④ \(A=B\)ならば、\(A÷C=B÷C\)

確かに等式には、このような4つの性質がありますが、これを覚える必要はありません。

例えば、①の場合だと、\(C≠0\)の時、\(A=B\)ならば、

\(A+C=B+C\)

が成り立ちますが、\(A=B\)なので

\(A+C=A+C\)

とも書けます。

つまり、当たり前の関係を表しているに過ぎません。

これは、②、③、④にも同じ事が言えます。

ですので、関係を理解していれば、覚える必要はありません。

 

ここでは、一次方程式の解の求め方を勉強しましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

方程式の解を求める練習問題1

1、2、3のうち、次の方程式の解となるものをそれぞれ答えなさい。

(1)\(3x-2=4\)

 

(2)\(5x-4=x+8\)

 

方程式の解を求める練習問題1の解答

(1)\(3x-2=4\)

1、2、3のうち、どれが方程式の解になるかを答える問題です。

すなわち、\(x\)に1、2、3を代入した時に、左辺=右辺が成り立つかどうかを調べれば良いので、\(x\)に1、2、3をそれぞれ代入します。

・\(x=1\)の時

\(3×1-2=4\)

\(3-2=4\)

\(1≠4\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、1は解ではないという事になります。

 

・\(x=2\)の時

\(3×2-2=4\)

\(6-2=4\)

\(4=4\)

となり、左辺=右辺が成り立つので、2はこの方程式の解になります。

 

・\(x=3\)の時

\(3×3-2=4\)

\(9-2=4\)

\(7≠4\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、3は解ではないという事になります。

ゆえに、この方程式の解は2となります。

 

(2)\(5x-4=x+8\)

この問題も(1)と同様に調べます。

・\(x=1\)の時

\(5-4=1+8\)

\(1≠9\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、1は解ではないという事になります。

 

・\(x=2\)の時

\(5×2-4=2+8\)

\(10-4=2+8\)

\(6≠10\)

となり、左辺=右辺が成り立たないので、2は解ではないという事になります。

 

・\(x=3\)の時

\(5×3-4=3+8\)

\(15-4=3+8\)

\(11=11\)

となり、左辺=右辺が成り立つので、この方程式の解は3となります。

 

方程式の解を求める練習問題2

次の方程式のうち、4が解であるものを選び、記号で答えなさい。

(ア)\(2x+3=9\)

 

(イ)\(-2x+4=12\)

 

(ウ)\(x+2=3x-6\)

 

方程式の解を求める練習問題2の解答

(ア)から順に解を求めていきます。

\(2x+3=9\) ---(ア)

解き方のコツは、\(2x\)を左辺に残したまま計算する事です。

それはなぜかと言うと、最終的に\(x=\)の形にするからです。

ですので、左辺に\(2x\)を残したまま計算した方がスムーズに解けると思います。

まず、3を右辺に移項すると、

\(2x=9-3\)

となり、

\(2x=6\)

となります。

次に、\(2x\)を\(x\)にするためには両辺を2で割ればいいので、

\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)

となるので、ゆえに

\(x=3\)

となります。

これにより(ア)の解が4でないという事が分かりました。

 

続いて(イ)の解を求めます。

\(-2x+4=12\) ---(イ)

これも(ア)と同様に解くと、

\(-2x=12-4\)

\(-2x=8\)

となります。

ここで注意しなければならないのが、符号です。

最終的に\(x=\)の形にしなければなりませんが、両辺を2で割ったのでは

\(-x=4\)

となってしまうので、

\(x=\)にするためには両辺を-2で割らなければいけません。

ゆえに、

\(\frac{-2x}{-2}=\frac{8}{-2}\)

となるので、

\(x=-4\)

となります。

これにより(イ)の解が4でないという事が分かりました。

 

続いて(ウ)の解を求めます。

\(x+2=3x-6\) ---(ウ)

この問題も同様に解くと、

\(x-3x=-6-2\)

\(-2x=-8\)

となり、\(x=\)にするためには両辺を-2で割るので、

\(\frac{-2x}{-2}=\frac{-8}{-2}\)

\(x=4\)

となります。

これにより(ウ)の解が4である事が分かりました。

ゆえに、答えは(ウ)となります。

 

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