【中2数学】1次関数とは?練習問題と誰でもわかる解答

1次関数とは?

2つの変数\(x\)と\(y\)があって、\(y\)の値が\(x\)の値にともなって変化し、\(x\)の値を定めると\(y\)の値がただ1つに決まる場合、「\(y\)は\(x\)の関数である」と言います。

1次関数とは、\(y\)を\(x\)の1次式で表せる関数の事を言います。

・例1:\(y=2x-3\)、\(y=3x+5\)、\(y=-3x+2\)

上の例1のように、右辺が1次式(次数1)になっていて、

\(y=ax+b\)(\(a\)、\(b\)は定数)の形になっているものが1次関数です。

\(x\) → 次数1

\(x×x=x^2\) → 次数2

\(x×x×x=x^3\) → 次数3

 

\(y=ax\)は比例の式、\(y=\frac{a}{x}\)は反比例の式なので、1次関数ではありません。

先ほどの説明にもあったように、1次関数の式は下記のようになるので、覚えておきましょう。

\(y=ax+b\)(\(a\)、\(b\)は定数) ---1次関数の式

 

・変化の割合

ある関数\(y=ax+b\)において\(x\)の値が\(α\)増加した時に、\(y\)の値が\(β\)増加したとすると、

\(\frac{β}{α}=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)

が変化の割合になります。

 

ここでは、1次関数の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の練習問題1

次の数量の関係について、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。また、\(y\)が\(x\)の1次関数であるものを全て選び、番号で答えなさい。

(1)1本60円の鉛筆を\(x\)本と150円のノートを1冊買った時の代金を\(y\)円とする。

 

(2)\(8km\)の道のりを毎時\(xkm\)で走った時にかかる時間を\(y\)時間とする。

 

(3)縦の長さが\(xcm\)で、周の長さが\(10cm\)の長方形の横の長さを\(ycm\)とする。

 

(4)半径が\(xcm\)の円の面積を\(ycm^2\)とする。

 

1次関数の練習問題1の解答

(1)1本60円の鉛筆を\(x\)本と150円のノートを1冊買った時の代金を\(y\)円とする。

1本60円の鉛筆を\(x\)本買った時の代金は\(60x\)となり、\(60x\)と150を足したものが\(y\)に等しくなるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=60x+150\)

となり、\(y=ax+b\)の1次関数の式になるので、\(y\)は\(x\)の1次関数となります。

 

(2)\(8km\)の道のりを毎時\(xkm\)で走った時にかかる時間を\(y\)時間とする。

\(時間=\frac{距離}{時速}\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{8}{x}\)

となり、反比例の式になるので、\(y\)は\(x\)の1次関数ではありません。

 

(3)縦の長さが\(xcm\)で、周の長さが\(10cm\)の長方形の横の長さを\(ycm\)とする。

\(2x+2y=10\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(2y=-2x+10\)

\(2y=2(-x+5)\)

\(y=-x+5\)

となり、\(y=ax+b\)の1次関数の式になるので、\(y\)は\(x\)の1次関数となります。

 

(4)半径が\(xcm\)の円の面積を\(ycm^2\)とする。

\(円の面積=πr^2\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=πx^2\)

となり、\(y=ax+b\)の1次関数の式にならないので、\(y\)は\(x\)の1次関数ではありません。

 

ゆえに、\(y\)が\(x\)の1次関数であるものは、(1)、(3)になります。

 

1次関数の練習問題2

水槽に\(60cm\)の深さまで水が入っている。この水槽の排水口を開くと、1分間に\(3cm\)の割合で水面が低くなっていく。排水口を開いてから\(x\)分後の水槽の底から水面までの高さを\(ycm\)とする時、次の問いに答えなさい。

(1)下の表の空いているところに当てはまる数を書いて、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5 6
\(y\) 60

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)水槽の水がなくなるまで排水する時、\(x\)の変域を求めなさい。

 

1次関数の練習問題2の解答

(1)下の表の空いているところに当てはまる数を書いて、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5 6
\(y\) 60 57 54 51 48 45 42

1分間に\(3cm\)の割合で水面が低くなっていくので、

1分後は\(60-3=57\)、2分後は\(60-6=54\)というようになります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(x\)分後に低くなる水面の高さは\(3x\)となり、\(60cm\)から\(3x\)を引いた高さが\(y\)になるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=60-3x\)

となります。

 

(3)水槽の水がなくなるまで排水する時、\(x\)の変域を求めなさい。

\(x\)の変域は、\(60cm\)から\(0cm\)になるまでの時間なので、\(0cm\)になる時の時間は

\(0=60-3x\)

\(3x=60\)

\(x=20\)

となり、20分後に\(0cm\)になる事が分かるので、\(x\)の変域は、

\(0≦x≦20\)

となります。

 

1次関数の練習問題3

1次関数\(y=4x-9\)について、次の問いに答えなさい。

(1)変化の割合を求めなさい。

 

(2)\(x\)の増加量が7の時の\(y\)の増加量を求めなさい。

 

1次関数の練習問題3の解答

(1)変化の割合を求めなさい。

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}\) なので、

\(y=4x-9\)に\(x=1\)、\(x=2\)をそれぞれ代入すると、

\(y=4-9=-5\) ---\(x=1\)の時

\(y=8-9=-1\) ---\(x=2\)の時

となり、\(x\)の増加量は1、\(y\)の増加量は4になるので

\(変化の割合=\frac{4}{1}=4\)

になります。

 

(2)\(x\)の増加量が7の時の\(y\)の増加量を求めなさい。

\(x\)の増加量が7という事は、\(x\)が1から8に増加した時の\(y\)の増加量を求めれば良いので、

\(y=4-9=-5\) ---\(x=1\)の時

\(y=32-9=23\) ---\(x=8\)の時

となります。

ゆえに、\(y\)は\(-5\)から\(23\)に増えているので、\(y\)の増加量は\(28\)になります。

 

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