【中2数学】1次関数の利用 練習問題と誰でもわかる解答

1次関数の利用

ここでは、1次関数の文章題の勉強をしましょう。

文章題が苦手な方は多いかもしれませんが、問題をたくさん解く事で、だんだんレベルアップしていくと思うので、とにかく色々な問題をたくさん解くようにしましょう。

できるだけ詳しく解説するので、頑張って解き方を身に付けましょう。

それでは早速、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の利用の練習問題1

ある線香に火をつけると、一定の割合で燃えていく。下の表は、この線香に火をつけてから\(x\)分後の残りの線香の長さを\(ycm\)として、\(x\)、\(y\)の関係を表したものである。次の問いに答えなさい。

\(x\) 0 4
\(y\) 12 10

(1)はじめの線香の長さを求めなさい。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)\(x\)の変域を求めなさい。

 

1次関数の利用の練習問題1の解答

(1)はじめの線香の長さを求めなさい。

はじめの線香の長さは、火をつける前の\(x=0\)の時の状態なので、

表より\(12cm\)となります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

線香は、火をつけて\(4\)分後に\(12cm\)から\(10cm\)に\(2cm\)短くなっているので、

\(1\)分あたりの線香の燃える長さは

\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\;cm\)

となり、\(x\)分間で燃える長さは\(\frac{1}{2}x\)となります。

\(x\)分後の残りの線香の長さ\(y\)は、\(12cm\)から\(\frac{1}{2}x\)を引いたものになるので、

\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=12-\frac{1}{2}x\)

\(y=-\frac{1}{2}x+12\)

となります。

 

(3)\(x\)の変域を求めなさい。

\(x\)の変域は、\(0\)分から線香が\(0cm\)になるまでなので、

(2)で求めた式に\(y=0\)を代入すると、

\(0=-\frac{1}{2}x+12\)

\(\frac{1}{2}x=12\)

\(x=24\;分\)

となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、

\(0≦x≦24\)

となります。

 

1次関数の利用の練習問題2

\(A\)さんは、家から\(900m\)離れた図書館まで一定の速さで歩いて行った。下の図1のグラフは\(A\)さんが家を出発してから\(x\)分後の家からの道のりを\(ym\)として、\(x\)、\(y\)の関係を途中まで表したものである。次の問いに答えなさい。

1次関数の利用の練習問題2のグラフ
図1

 

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の変域を求めなさい。

 

(3)\(A\)さんが出発してから\(8\)分後に、兄は\(A\)さんのあとを分速\(150m\)の自転車で追いかけた。兄が\(A\)さんに追いつくのは、\(A\)さんが出発してから何分何秒後か求めなさい。

 

1次関数の利用の練習問題2の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

グラフを見ると、\(5\)分間で\(300m\)歩いている事が分かるので、

\(A\)さんが\(1\)分間に歩く距離は

\(\frac{300}{5}=60\;m\)

になります。

\(A\)さんが\(x\)分間に歩く距離は\(60x\)となり、\(60x\)は\(y\)に等しいので、

\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=60x\)

となります。

 

(2)\(x\)の変域を求めなさい。

\(x\)の変域は、\(0\)分から\(900m\)離れた図書館に着くまでの時間なので、

\(y=60x\)の式に\(y=900\)を代入すると、

\(900=60x\)

\(x=15\;分\)

となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、

\(0≦x≦15\)

となります。

 

(3)\(A\)さんが出発してから\(8\)分後に、兄は\(A\)さんのあとを分速\(150m\)の自転車で追いかけた。兄が\(A\)さんに追いつくのは、\(A\)さんが出発してから何分何秒後か求めなさい。

兄が\(x\)分間に進む距離は\(150x\)となり、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=150x\)

となりますが、このままでは\(A\)さんと同時に家を出発した事になるので、\(A\)さんが出発してから\(8\)分後に兄が出発した式にするためには、\(A\)さんが出発してから\(8\)分後の兄が進んだ距離が\(0m\)になるようにしなければいけません。

つまり、兄が\(8\)分間に進む距離を上の式から引く必要があります。

兄が\(8\)分間に進む距離は

\(150×8=1200\;m\)

なので、求める式は

\(y=150x-1200\)

となります。

後は、(1)で求めた\(y=60x\)の式との連立方程式を解けば、兄が追い付く時間が分かります。

\(\left\{\begin{array}{l}y=60x ---①\\y=150x-1200 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(60x=150x-1200\)

\(60x-150x=-1200\)

\(-90x=-1200\)

\(x=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}\)

となります。

\(\frac{1}{3}\)分は20秒なので、兄が\(A\)さんに追いつくのは、\(A\)さんが家を出発してから

\(13\)分\(20\)秒後になります。

 

1次関数の利用の練習問題3

あるバネに重りをつるすと、バネ全体の長さは、重りの重さの1次関数になった。\(20g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(12cm\)、\(30g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(14cm\)の時、次の問いに答えなさい。

(1)重りをつるしていない時のバネの長さを求めなさい。

 

(2)\(100g\)の重りをつるした時のバネの長さを求めなさい。

 

1次関数の利用の練習問題3の解答

(1)重りをつるしていない時のバネの長さを求めなさい。

\(20g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(12cm\)、\(30g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(14cm\)なので、バネは\(10g\)あたり\(2cm\)伸びる事が分かります。

\(30g\)の重りでバネが伸びた長さは

\(2cm×3=6\;cm\)

なので、重りをつるしていない時のバネの長さは

\(14-6=8\;cm\)

となります。

 

(2)\(100g\)の重りをつるした時のバネの長さを求めなさい。

\(10g\)の重りを\(x\)個つるした時のバネの伸びる長さは\(2x\)となり、重りをつるしていない時のバネの長さは\(8cm\)なので、バネ全体の長さを\(ycm\)とすると、

\(y=2x+8\)

という式が作れます。

\(100g\)は\(10g\)の重り\(10\)個なので、この式に\(x=10\)を代入すると、

\(y=2×10+8\)

\(y=28\)

となります。

ゆえに、\(100g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(28cm\)となります。

 

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