【中2数学】1次関数の式の求め方(1) 練習問題と詳しい解答

1次関数の式の求め方(1)

ここでは、1次関数の式の求め方を勉強しましょう。

基本となる式は、\(y=ax+b\)で、\(a\)と\(b\)の値が分かれば式が求まります。

 

傾きと1つの点の座標が分かっている場合の式の求め方

傾きが\(2\)で、点(1、5)を通る直線の式を求める場合、\(b\)の値だけが分からないので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=1\)、\(y=5\)、\(a=2\)を代入して\(b\)の値を求めます。

\(5=2×1+b\)

\(-b=2-5\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)と\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

1つの点の座標と求める式に平行な直線の式が分かっている場合の式の求め方

求める直線が点(-2、-1)を通り、直線\(y=2x-5\)に平行な場合、傾きは\(2\)になるので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=-2\)、\(y=-1\)、\(a=2\)を代入して\(b\)の値を求めます。

\(-1=2×(-2)+b\)

\(-b=-4+1\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)と\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

2つの点の座標が分かっている場合の式の求め方

点(1、5)と点(-2、-1)を通る直線の式を求める場合、

\(y=ax+b\)の式に\(x=1\)と\(y=5\)、\(x=-2\)と\(y=-1\)をそれぞれ代入して式を2つ作ります。

\(\left\{\begin{array}{l}5=a+b ---①\\-1=-2a+b ---②\end{array}\right.\)

後は、この連立方程式を解きます。

①の式を\(a=\)に変換すると、

\(a+b=5\)

\(a=-b+5\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(-1=-2(-b+5)+b\)

\(-1=2b-10+b\)

\(-3b=-10+1\)

\(-3b=-9\)

\(b=3\)

となります。

③の式に\(b=3\)を代入すると、

\(a=-3+5\)

\(a=2\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)と\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の式の求め方の練習問題1

図1の(1)~(4)の直線は、1次関数のグラフである。それぞれの関数の式を求めなさい。

 

1次関数のグラフ
図1

 

1次関数の式の求め方の練習問題1の解答

(1)の式は、点(-4、0)を通っている事が分かり、切片は\(-4\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=-4\)、\(y=0\)、\(b=-4\)を代入すると、

\(0=-4a-4\)

\(4a=-4\)

\(a=-1\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-1\)と\(b=-4\)を代入すると、(1)の式は

\(y=-x-4\)

となります。

 

(2)の式は、点(-2、-3)を通っている事が分かり、切片は\(5\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=-2\)、\(y=-3\)、\(b=5\)を代入すると、

\(-3=-2a+5\)

\(2a=5+3\)

\(a=4\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=4\)と\(b=5\)を代入すると、(2)の式は

\(y=4x+5\)

となります。

 

(3)の式は、点(6、2)を通っている事が分かり、切片は\(3\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=6\)、\(y=2\)、\(b=3\)を代入すると、

\(2=6a+3\)

\(-6a=3-2\)

\(-6a=1\)

\(a=-\frac{1}{6}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{1}{6}\)と\(b=3\)を代入すると、(3)の式は

\(y=-\frac{1}{6}x+3\)

となります。

 

(4)の式は、点(3、-1)を通っている事が分かり、切片は\(-5\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=3\)、\(y=-1\)、\(b=-5\)を代入すると、

\(-1=3a-5\)

\(-3a=-5+1\)

\(-3a=-4\)

\(a=\frac{4}{3}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=\frac{4}{3}\)と\(b=-5\)を代入すると、(4)の式は

\(y=\frac{4}{3}x-5\)

となります。

 

1次関数の式の求め方の練習問題2

次の直線の式を求めなさい。

(1)傾きが\(3\)で、点(2、-1)を通る直線

 

(2)傾きが\(-\frac{1}{2}\)で、点(-4、7)を通る直線

 

(3)点(3、-9)を通り、直線\(y=-5x-2\)に平行な直線

 

(4)2点(1、-5)、(3、3)を通る直線

 

(5)2点(-6、2)、(9、-8)を通る直線

 

(6)切片が\(-5\)で、点(8、7)を通る直線

 

1次関数の式の求め方の練習問題2の解答

(1)傾きが\(3\)で、点(2、-1)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)と\(y=-1\)、\(a=3\)を代入すると、

\(-1=3×2+b\)

\(-1=6+b\)

\(-b=6+1\)

\(b=-7\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=3\)、\(b=-7\)を代入すると、(1)の式は

\(y=3x-7\)

となります。

 

(2)傾きが\(-\frac{1}{2}\)で、点(-4、7)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=-4\)と\(y=7\)、\(a=-\frac{1}{2}\)を代入すると、

\(7=-\frac{1}{2}×(-4)+b\)

\(7=2+b\)

\(-b=2-7\)

\(-b=-5\)

\(b=5\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{1}{2}\)、\(b=5\)を代入すると、(2)の式は

\(y=-\frac{1}{2}x+5\)

となります。

 

(3)点(3、-9)を通り、直線\(y=-5x-2\)に平行な直線

直線\(y=-5x-2\)に平行な直線という事は、傾きが\(-5\)になるので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=3\)と\(y=-9\)、\(a=-5\)を代入すると、

\(-9=-5×3+b\)

\(-9=-15+b\)

\(-b=-15+9\)

\(-b=-6\)

\(b=6\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-5\)、\(b=6\)を代入すると、(3)の式は

\(y=-5x+6\)

となります。

 

(4)2点(1、-5)、(3、3)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=1\)と\(y=-5\)、\(x=3\)と\(y=3\)をそれぞれ代入すると、

\(-5=a+b\) ---①

\(3=3a+b\) ---②

となり、①、②の連立方程式を解きます。

①の式を\(a=\)に変換すると、

\(a+b=-5\)

\(a=-b-5\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(3=3(-b-5)+b\)

\(3=-3b-15+b\)

\(2b=-15-3\)

\(2b=-18\)

\(b=-9\)

となります。

③の式に\(b=-9\)を代入すると、

\(a=9-5\)

\(a=4\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=4\)、\(b=-9\)を代入すると、(4)の式は

\(y=4x-9\)

となります。

 

(5)2点(-6、2)、(9、-8)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=-6\)と\(y=2\)、\(x=9\)と\(y=-8\)をそれぞれ代入すると、

\(2=-6a+b\) ---①

\(-8=9a+b\) ---②

となり、①、②の連立方程式を解きます。

①の式を\(b=\)に変換すると、

\(-6a+b=2\)

\(b=6a+2\) ---③

となります。

②の式に③の式を代入すると、

\(-8=9a+6a+2\)

\(-15a=2+8\)

\(-15a=10\)

\(a=-\frac{2}{3}\)

となります。

③の式に\(a=-\frac{2}{3}\)を代入すると、

\(b=6×(-\frac{2}{3})+2\)

\(b=-4+2\)

\(b=-2\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{2}{3}\)、\(b=-2\)を代入すると、(5)の式は

\(y=-\frac{2}{3}x-2\)

となります。

 

(6)切片が\(-5\)で、点(8、7)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=8\)、\(y=7\)、\(b=-5\)を代入すると、

\(7=8a-5\)

\(-8a=-5-7\)

\(-8a=-12\)

\(a=\frac{3}{2}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=\frac{3}{2}\)、\(b=-5\)を代入すると、(6)の式は

\(y=\frac{3}{2}x-5\)

となります。

 

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