【中2数学】1次関数の式の求め方(2) 練習問題と詳しい解答

1次関数の式の求め方(2)

ここでは、「1次関数の式の求め方(1)」で勉強した式の求め方とは別の式の求め方を勉強しましょう。

 

変化の割合と1つの点の座標が分かっている場合の式の求め方

変化の割合が\(2\)で、\(x=2\)の時\(y=7\)である1次関数の式を求める場合、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=7\)、\(a=2\)を代入すると、\(b\)の値が求まります。

\(7=2×2+b\)

\(-b=4-7\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)、\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

1つの点の座標と\(x\)と\(y\)の増加量が分かっている場合の式の求め方

\(x=2\)の時\(y=7\)で、\(x\)の増加量が\(3\)の時\(y\)の増加量が\(6\)である1次関数の式を求める場合、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)なので、

\(傾き=\frac{6}{3}=2\)となるので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=7\)、\(a=2\)を代入すると、\(b\)の値が求まります。

\(7=2×2+b\)

\(-b=4-7\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)、\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の式の求め方の練習問題1

次の条件を満たす1次関数の式を求めなさい。

(1)変化の割合が\(-6\)で、\(x=2\)の時\(y=-4\)である1次関数

 

(2)\(x=4\)の時\(y=5\)、\(x=-3\)の時\(y=-9\)である1次関数

 

(3)\(x=8\)の時\(y=-3\)で、\(x\)の増加量が\(12\)の時\(y\)の増加量が\(3\)である1次関数

 

(4)\(x\)と\(y\)の対応の様子が下の表のような1次関数

\(x\) -6 15
\(y\) 11 -3

 

1次関数の式の求め方の練習問題1の解答

(1)変化の割合が\(-6\)で、\(x=2\)の時\(y=-4\)である1次関数

\(変化の割合=傾き\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=-4\)、\(a=-6\)を代入すると、

\(-4=-6×2+b\)

\(-4=-12+b\)

\(-b=-12+4\)

\(-b=-8\)

\(b=8\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-6\)、\(b=8\)を代入すると、(1)の式は

\(y=-6x+8\)

となります。

 

(2)\(x=4\)の時\(y=5\)、\(x=-3\)の時\(y=-9\)である1次関数

\(x\)が\(-3\)から\(4\)になった時の\(x\)の増加量は\(7\)で、

\(y\)が\(-9\)から\(5\)になった時の\(y\)の増加量は\(14\)なので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)より、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量} =\frac{14}{7}=2\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=4\)、\(y=5\)、\(a=2\)を代入すると、

\(5=2×4+b\)

\(5=8+b\)

\(-b=8-5\)

\(-b=3\)

\(b=-3\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)、\(b=-3\)を代入すると、(2)の式は

\(y=2x-3\)

となります。

 

(3)\(x=8\)の時\(y=-3\)で、\(x\)の増加量が\(12\)の時\(y\)の増加量が\(3\)である1次関数

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)なので、

\(傾き=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=8\)、\(y=-3\)、\(a=\frac{1}{4}\)を代入すると、

\(-3=\frac{1}{4}×8+b\)

\(-3=2+b\)

\(-b=2+3\)

\(-b=5\)

\(b=-5\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=\frac{1}{4}\)、\(b=-5\)を代入すると、(3)の式は

\(y=\frac{1}{4}x-5\)

となります。

 

(4)\(x\)と\(y\)の対応の様子が下の表のような1次関数

\(x\) -6 15
\(y\) 11 -3

\(x\)が\(-6\)から\(15\)に増えた時の増加量は、\(21\)となり、その時の\(y\)の増加量は\(-14\)となるので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)より、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{-14}{21}=-\frac{2}{3}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=-6\)、\(y=11\)、\(a=-\frac{2}{3}\)を代入すると、

\(11=-\frac{2}{3}×(-6)+b\)

\(11=4+b\)

\(-b=4-11\)

\(-b=-7\)

\(b=7\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{2}{3}\)、\(b=7\)を代入すると、(4)の式は

\(y=-\frac{2}{3}x+7\)

となります。

 

1次関数の式の求め方の練習問題2

3点(2、-4)、(9、3)、(5、\(a\))が同じ直線上にある時、\(a\)の値を求めなさい。

 

1次関数の式の求め方の練習問題2の解答

\(x\)が\(2\)から\(9\)になった時の\(x\)の増加量は\(7\)で、

\(y\)が\(-4\)から\(3\)になった時の\(y\)の増加量は\(7\)なので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)より、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量} =\frac{7}{7}=1\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=-4\)、\(a=1\)を代入すると、

\(-4=2+b\)

\(-b=2+4\)

\(-b=6\)

\(b=-6\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=1\)、\(b=-6\)を代入すると、直線の式は

\(y=x-6\)

となります。

\(y=x-6\)の式に\(x=5\)を代入すると、

\(y=5-6\)

\(y=-1\)

となるので、\(a\)の値は\(-1\)になります。

 

1次関数の式の求め方の練習問題3

1次関数\(y=ax+b\)において、\(x\)の変域が\(-3≦x≦1\)の時、\(y\)の変域が\(-1≦y≦7\)である。\(a<0\)の時、次の問いに答えなさい。

(1)\(x=-3\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

(2)\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

 

1次関数の式の求め方の練習問題3の解答

(1)\(x=-3\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

\(x\)が\(-3\)から\(1\)になった時の\(x\)の増加量は\(4\)で、その時の\(y\)の増加量は\(8\)か\(-8\)のどちらかになりますが、\(a<0\)の時とあるので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)の式に値を代入して傾きが-になるのは\(-8\)です。

つまり、\(x\)が\(-3\)から\(1\)に増えた時、\(y\)は\(7\)から\(-1\)に減る事が分かるので、

\(x=-3\)の時の\(y\)の値は\(7\)、\(x=1\)の時の\(y\)の値は\(-1\)となります。

ゆえに、\(x=-3\)の時、\(y=7\)になります。

 

(2)\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

(1)で\(x\)の増加量が\(4\)の時、\(y\)の増加量は\(-8\)と分かっているので、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量} =\frac{-8}{4}=-2\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=-3\)、\(y=7\)、\(a=-2\)を代入すると、

\(7=-2×(-3)+b\)

\(7=6+b\)

\(-b=6-7\)

\(-b=-1\)

\(b=1\)

となります。

ゆえに、\(a=-2\)、\(b=1\)となります。

 

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