【中2数学】二等辺三角形になる条件 練習問題と詳しい解答

二等辺三角形になる条件

二等辺三角形が成立する条件には、次の4つがあります。

・条件1:2つの角度が等しい三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図1
図1

 

・条件2:頂角の二等分線が底辺の中点を通る三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図2
図2

 

・条件3:頂角の二等分線が底辺と垂直に交わる三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図3
図3

 

・条件4:底辺の垂直二等分線が別の頂点を通る三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図4
図4

 

これらが二等辺三角形になる条件ですが、この4つのうちの1つでも成り立てば二等辺三角形になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題1

下図のように、\(AB=AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の辺\(AC\)上に点\(D\)をとる。点\(D\)を通り、辺\(AB\)に平行な直線と辺\(BC\)との交点を\(E\)とする。辺\(BC\)の延長上に\(BE=CF\)となる点\(F\)をとり、\(D\)と\(F\)を結ぶ時、次の問いに答えなさい。

二等辺三角形になる条件の練習問題1の図

(1)\(△DEC\)が二等辺三角形になる事を証明する。▢に当てはまる記号や数を書きなさい。

【証明】\(AB=AC\)だから、\(∠ABC=∠\)▢ ---①

\(AB\;\)//\(\;DE\)で、同位角は等しいから、\(∠ABC=∠\)▢ ---②

①、②から、\(∠DEC=∠\)▢

従って、▢つの角が等しいので、\(△DEC\)は二等辺三角形である。

 

(2)\(△DBF\)が二等辺三角形になる事を証明しなさい。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題1の解答

(1)\(△DEC\)が二等辺三角形になる事を証明する。▢に当てはまる記号や数を書きなさい。

▢の中に入るのは、順に

\(ACB\)、\(DEC\)、\(ACB\)、\(2\)

になります。

 

(2)\(△DBF\)が二等辺三角形になる事を証明しなさい。

\(△DBE\)と\(△DFC\)が合同である事を証明すれば、\(△DBF\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△DBE\)と\(△DFC\)において、

\(BE=CF\) ---①

\(△DEC\)は二等辺三角形なので、

\(DE=DC\) ---②

になります。

\(∠DEC=∠DCE\)より、

\(∠DEB=∠DCF\) ---③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△DBE≡△DFC\)

になります。

ゆえに、\(∠DBE=∠DFC\)となるので、\(△DBF\)は二等辺三角形になります。

(「\(DB=DF\)なので、\(△DBF\)は二等辺三角形になる。」でも構いません。)

 

二等辺三角形になる条件の練習問題2

次の事柄の逆を答えなさい。また、それが正しいか、正しくないかを答えなさい。

(1)\(a\)が偶数、\(b\)が偶数ならば、\(ab\)は偶数である。

 

(2)2直線に1つの直線が交わる時、2直線が平行ならば、錯角は等しい。

 

(3)\(△ABC≡△DEF\)ならば、\(∠A=∠D\)、\(∠B=∠E\)、\(∠C=∠F\)である。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題2の解答

(1)\(a\)が偶数、\(b\)が偶数ならば、\(ab\)は偶数である。

これの逆を言うと、「\(ab\)が偶数ならば、\(a\)は偶数、\(b\)は偶数である。」

になりますが、\(a\)が偶数、\(b\)が奇数でも\(ab\)は偶数になるので、これは正しくありません。

 

(2)2直線に1つの直線が交わる時、2直線が平行ならば、錯角は等しい。

これの逆を言うと、「2直線に1つの直線が交わる時、錯角が等しければ、2直線は平行である。」

になり、錯角が等しければ、2直線は平行になるので、これは正しいです。

 

(3)\(△ABC≡△DEF\)ならば、\(∠A=∠D\)、\(∠B=∠E\)、\(∠C=∠F\)である。

これの逆を言うと、「\(∠A=∠D\)、\(∠B=∠E\)、\(∠C=∠F\)ならば、\(△ABC≡△DEF\)である。」

になりますが、それぞれの内角が等しくても、それぞれの辺の長さが等しいとは限らないので、これは正しくありません。

 

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