【中2数学】三角形の内角と外角 練習問題と誰でもわかる解答

三角形の内角と外角

・三角形の内角の和

三角形は、どんな形の三角形でも内角の和が必ず180°になります。

下の図1で説明すると、\(∠a+∠b+∠c=180°\)になるという事です。

三角形の内角の和の説明図
図1

 

 

 

 

 

 

・三角形の内角と外角の関係

三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しくなります。

図2でいうと、\(∠c\)の外角は、\(∠a+∠b\)に等しくなります。

三角形の内角と外角の関係の説明図1
図2

 

 

 

 

 

三角形の内角と外角の関係の説明図2
図3

 

 

 

 

これはなぜかと言うと、図3のように直線の角度(円の半分)が180°になるからです。

つまり、\(∠c\)の外角は

\(180°-∠c\)

になり、

\(∠a+∠b+∠c=180°\)なので、

\(∠a+∠b=180°-∠c\)

になります。

これは\(∠a\)の外角でも\(∠b\)の外角でも同じ関係が成り立ちます。

 

ここで必ず押さえておく重要なポイントは、

「三角形の内角の和は必ず\(180°\)になる」事と、

「直線の角度は\(180°\)になる」という2点です。

この2つのポイントさえ押さえておけば問題ありません。

 

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

三角形の内角と外角の練習問題1

次の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

(1)

三角形の内角と外角の練習問題1の(1)の図

 

 

 

 

 

 

(2)

三角形の内角と外角の練習問題1の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

三角形の内角と外角の練習問題1の(3)の図

 

 

 

 

 

 

(4)

三角形の内角と外角の練習問題1の(4)の図

 

 

三角形の内角と外角の練習問題1の解答

(1)

三角形の内角の和は180°なので、

\(∠x=180°-35°-80°=65°\)

になります。

 

(2)

この問題も同様に計算すると、

\(∠x=180°-90°-40°=50°\)

になります。

 

(3)

三角形の内角と外角の練習問題1の解答の(3)の図

 

 

 

 

\(∠a\)の外角\(∠x\)は\(30°+45°\)なので、

\(∠x=30°+45°=75°\)

になります。

 

(4)

\(50°+∠x=105°\)なので、

\(∠x=105°-50°=55°\)

になります。

 

三角形の内角と外角の練習問題2

下の図で、\(l\;\)//\(\;m\)の時、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

三角形の内角と外角の練習問題2の図

 

 

 

 

 

 

三角形の内角と外角の練習問題2の解答

三角形の内角と外角の練習問題2の解答の図

 

 

 

 

 

\(∠a\)は130°の同位角なので

\(∠a=130°\)

となります。

\(60°+∠x=130°\)なので、

\(∠x=130°-60°=70°\)

になります。

 

三角形の内角と外角の練習問題3

下の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

三角形の内角と外角の練習問題3の図

 

 

 

 

 

 

 

三角形の内角と外角の練習問題3の解答

 

三角形の内角と外角の練習問題3の解答の図

\(∠a\)は

\(∠a=180°-35°-50°=95°\)

となるので、

ゆえに、\(∠x\)は

\(∠x=180°-95°-40°=45°\)

になります。

 

【中2数学】平行線と角 練習問題と誰でもわかる解答

平行線と角

・対頂角

下の図1の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のように向かい合った角を対頂角(たいちょうかく)と言い、対頂角は等しくなります。

ポイント:対頂角は等しい。

対頂角の説明図
図1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・同位角

同位角(どういかく)とは、下の図2の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のように同じ位置にある角の事を言います。

また、図3のように\(l\;\)//\(\;m\)(\(l\)と\(m\)が平行)ならば、同位角は等しくなります。

ポイント:\(l\;\)//\(\;m\)ならば、同位角は等しくなる。

同位角の説明図1
図2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

同位角の説明図2
図3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・錯角

下の図4の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のような位置関係にある角の事を錯角(さっかく)と言います。

また、\(l\;\)//\(\;m\)ならば、錯角は等しくなります。

ポイント:\(l\;\)//\(\;m\)ならば、錯角は等しくなる。

錯角の説明図
図4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・平行線の条件

同位角のところでは、\(l\;\)//\(\;m\)ならば、同位角は等しいと説明しましたが、逆に同位角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)となります。

また、錯角が等しい場合も、\(l\;\)//\(\;m\)となります。

ポイント1:同位角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)

(図5の場合:\(∠a=∠b\)ならば、\(l\;\)//\(\;m\))

ポイント2:錯角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)

(図5の場合:\(∠b=∠c\)ならば、\(l\;\)//\(\;m\))

平行線の条件の説明図
図5

 

この平行線と角の関係は、証明でも必要になるので、必ずマスターしておきましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

平行線と角の練習問題1

次の図で、∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めなさい。

(1)

平行線と角の練習問題1の(1)の図

 

(2)

平行線と角の練習問題1の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題1の解答

(1)

\(x\)は40°の対頂角なので、

\(∠x=40°\)

になります。

次に、\(85°+40°+y=180°\)なので、

\(y=180°-85°-40°=55°\)

になります。

 

(2)

\(x\)は75°の対頂角なので、

\(∠x=75°\)

になります。

次に、\(75°+y+2y=180°\)なので、

\(3y=180°-75°\)

\(3y=105°\)

ゆえに

\(∠y=35°\)

になります。

 

平行線と角の練習問題2

下の図で、次の角を記号を使って答えなさい。

(1)∠\(a\)の同位角

 

(2)∠\(g\)の同位角

 

(3)∠\(b\)の錯角

 

(4)∠\(e\)の錯角

平行線と角の練習問題2の図

 

 

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題2の解答

(1)∠\(a\)の同位角

∠\(a\)の同位角は、∠\(e\)になります。

 

(2)∠\(g\)の同位角

∠\(g\)の同位角は、∠\(c\)になります。

 

(3)∠\(b\)の錯角

∠\(b\)の錯角は、∠\(h\)になります。

 

(4)∠\(e\)の錯角

∠\(e\)の錯角は、∠\(c\)になります。

 

・錯角の見分け方

錯角が分かりにくい場合は、下の図のように、\(z\)形になるところの内と内の\(a\)と\(a\)が錯角になり、反対側の\(b\)と\(b\)も錯角になるというように覚えておけば良いと思います。

逆\(z\)形の場合も同じです。

錯角の見分け方の説明図

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題3

次の図で、\(l\;\)//\(\;m\)の時、∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めなさい。

(1)

平行線と角の練習問題3の(1)の図

 

(2)

平行線と角の練習問題3の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

(3)

平行線と角の練習問題3の(3)の図

 

 

 

 

 

 

 

(4)

平行線と角の練習問題3の(4)の図

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題3の解答

(1)

\(x\)は50°の同位角なので、

\(∠x=50°\)

になります。

\(y\)は40°の錯角なので、

\(∠y=40°\)

になります。

 

(2)

\(x\)の同位角は、65°との対頂角なので、

\(∠x=65°\)

になります。

\(y\)の対頂角は\(180°-135°=45°\)なので、

\(∠y=45°\)

になります。

 

(3)

平行線と角の練習問題3の解答の(3)の図

 

 

 

 

 

 

上図のように\(l\)、\(m\)に平行な直線を真ん中に引くと、\(∠a\)は30°の同位角になり、

\(∠b\)は35°の同位角になるので、\(∠x\)は

\(∠x=30°+35°=65°\)

になります。

 

(4)

平行線と角の練習問題3の解答の(4)の図

 

 

 

 

 

 

上図のように\(l\)、\(m\)に平行な直線を真ん中に引き、\(n\)の方向に直線を延長すると\(∠a\)は

\(∠a=180°-125°=55°\)

になり、\(∠b\)は\(∠a\)の同位角なので、55°になります。

\(∠c\)は

\(∠c=90°-55°=35°\)

になります。

\(x\)は\(∠c\)の錯角なので、ゆえに

\(∠x=35°\)

になります。

 

【中2数学】図形と1次関数 練習問題と誰でもわかる解答

図形と1次関数

ここでは、図形がからむ1次関数の文章題を勉強しましょう。

\(y\)を\(x\)の式で表すのが少し難しいですが、できるだけ詳しく解説するので、頑張って解き方を身に付けましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

図形と1次関数の練習問題1

図1の長方形\(ABCD\)で、点\(E\)は\(A\)を出発して、辺上を\(D\)、\(C\)を通って\(B\)まで動く。\(E\)が\(A\)から\(xcm\)動いた時の△\(ABE\)の面積を\(ycm^2\)とする時、次の問いに答えなさい。

図形と1次関数の練習問題1の図
図1

 

(1)点\(E\)が辺\(AD\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

 

(2)点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

 

(3)\(x\)と\(y\)の関係をグラフにかきなさい。

 

図形と1次関数の練習問題1の解答

(1)点\(E\)が辺\(AD\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

\(三角形の面積=\frac{底辺×高さ}{2}\)なので、\(4cm\)を底辺、\(xcm\)を高さとすると、

\(\frac{4×x}{2}=2x\)

となります。この\(2x\)が\(ycm^2\)と等しいので、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=2x\)

となります。

\(x\)の変域は、\(0cm\)から\(5cm\)になるので、

\(0≦x≦5\)

となります。

 

(2)点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

△\(ABE\)は次のように変化します。

・辺\(DC\)上を動く時

 

・辺\(BC\)上を動く時

 

 

 

 

 

 

\(x\)の長さは、点\(E\)が\(A\)から\(D\)まで動くと\(5cm\)となり、\(D\)から\(C\)まで動くと\(9cm\)というように増えていき、点\(E\)が\(B\)まで動くと\(x\)の長さは\(14cm\)になります。

\(x\)の長さが\(14cm\)になった時の△\(ABE\)の面積は\(B\)と\(E\)がくっつくので\(0cm^2\)になりますが、

\(y=2x\)の式に\(x=14\)をそのまま代入したら\(28cm^2\)となってしまいます。

\(x=14\)の時は\(0cm^2\)、\(x=13\)の時は\(2cm^2\)、\(x=12\)の時は\(4cm^2\)になるようにするためには、\(28\)から\(2x\)を引かなければならないので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=28-2x\)

\(y=-2x+28\)

となります。

次に、点\(E\)が\(C\)まで動くと\(x\)の長さは\(9cm\)、\(B\)まで動くと\(14cm\)なので、

点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時の\(x\)の変域は

\(9≦x≦14\)

となります。

 

(3)\(x\)と\(y\)の関係をグラフにかきなさい。

点\(E\)が辺\(AD\)上を動く時は、\(y=2x\)の式に\(x=0\)から\(x=5\)を代入します。

点\(E\)が辺\(DC\)上を動く時は、底辺も高さもずっと同じなので、\(y\)は\(10cm^2\)で一定になります。

点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時は、\(y=-2x+28\)の式に\(x=10\)から\(x=14\)を代入します。

図形と1次関数の練習問題1のxとyの関係のグラフ
xとyの関係のグラフ

 

 

図形と1次関数の練習問題2

図2で、線分\(AB\)の長さは\(12cm\)である。点\(G\)、\(H\)はそれぞれ同時に\(A\)、\(B\)を出発して、\(G\)は毎秒\(1cm\)、\(H\)は毎秒\(2cm\)の速さで矢印の方向に進む。そして、\(G\)は\(B\)、\(H\)は\(A\)に着いたら、そこで止まるものとする。出発してから\(x\)秒後の線分\(GH\)の長さを\(ycm\)とする時、次の問いに答えなさい。

図形と1次関数の練習問題2の図2
図2

 

(1)点\(G\)、\(H\)が出会うのは出発してから何秒後か求めなさい。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

 

図形と1次関数の練習問題2の解答

(1)点\(G\)、\(H\)が出会うのは出発してから何秒後か求めなさい。

点\(G\)は毎秒\(1cm\)、点\(H\)は毎秒\(2cm\)の速さで進み、毎秒\(3cm\)ずつ近づく事になるので、

\(\frac{12}{3}=4\;秒\)

となります。

ゆえに、点\(G\)、\(H\)が出会うのは出発してから\(4\)秒後になります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

・点\(G\)、\(H\)が出会うまで

点\(G\)、\(H\)を合わせて毎秒\(3cm\)ずつ進むので、\(x\)秒間に進む距離は\(3x\)となります。

線分\(GH\)の長さ\(ycm\)は、\(12cm\)から\(3x\)を引いたものになるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=12-3x\)

\(y=-3x+12\)

となります。

点\(G\)、\(H\)が出会うのは\(4\)秒後なので、\(x\)の変域は

\(0≦x≦4\)

となります。

 

・点\(G\)、\(H\)が出会ってから点\(H\)が\(A\)に着くまで

点\(G\)、\(H\)が出会ってから点\(H\)が\(A\)に着くのは\(2\)秒後です。

\(x=5\)の時の線分\(GH\)の長さが\(3cm\)、\(x=6\)の時の線分\(GH\)の長さが\(6cm\)になるようにするためには、\(3x\)から\(12\)を引かなければならないので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=3x-12\)

となり、\(x\)の変域は

\(4≦x≦6\)

となります。

 

・点\(H\)が\(A\)に着いてから点\(G\)が\(B\)に着くまで

点\(H\)が\(A\)に着いてから点\(G\)が\(B\)に着くのは\(6\)秒後です。

点\(H\)が\(A\)に着いた時点での線分\(GH\)の長さは\(6cm\)で、そこから毎秒\(1cm\)ずつ線分\(GH\)は長くなるので、\((6+x)\)となりますが、\(x\)に\(7\)から\(12\)を代入すると\(6cm\)ずつ長くなってしまうので、\((6+x)\)から\(6cm\)を引かなければなりません。

ゆえに、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=6+x-6\)

\(y=x\)

となり、\(x\)の変域は

\(6≦x≦12\)

となります。

 

【中2数学】1次関数の利用 練習問題と誰でもわかる解答

1次関数の利用

ここでは、1次関数の文章題の勉強をしましょう。

文章題が苦手な方は多いかもしれませんが、問題をたくさん解く事で、だんだんレベルアップしていくと思うので、とにかく色々な問題をたくさん解くようにしましょう。

できるだけ詳しく解説するので、頑張って解き方を身に付けましょう。

それでは早速、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の利用の練習問題1

ある線香に火をつけると、一定の割合で燃えていく。下の表は、この線香に火をつけてから\(x\)分後の残りの線香の長さを\(ycm\)として、\(x\)、\(y\)の関係を表したものである。次の問いに答えなさい。

\(x\) 0 4
\(y\) 12 10

(1)はじめの線香の長さを求めなさい。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)\(x\)の変域を求めなさい。

 

1次関数の利用の練習問題1の解答

(1)はじめの線香の長さを求めなさい。

はじめの線香の長さは、火をつける前の\(x=0\)の時の状態なので、

表より\(12cm\)となります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

線香は、火をつけて\(4\)分後に\(12cm\)から\(10cm\)に\(2cm\)短くなっているので、

\(1\)分あたりの線香の燃える長さは

\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\;cm\)

となり、\(x\)分間で燃える長さは\(\frac{1}{2}x\)となります。

\(x\)分後の残りの線香の長さ\(y\)は、\(12cm\)から\(\frac{1}{2}x\)を引いたものになるので、

\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=12-\frac{1}{2}x\)

\(y=-\frac{1}{2}x+12\)

となります。

 

(3)\(x\)の変域を求めなさい。

\(x\)の変域は、\(0\)分から線香が\(0cm\)になるまでなので、

(2)で求めた式に\(y=0\)を代入すると、

\(0=-\frac{1}{2}x+12\)

\(\frac{1}{2}x=12\)

\(x=24\;分\)

となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、

\(0≦x≦24\)

となります。

 

1次関数の利用の練習問題2

\(A\)さんは、家から\(900m\)離れた図書館まで一定の速さで歩いて行った。下の図1のグラフは\(A\)さんが家を出発してから\(x\)分後の家からの道のりを\(ym\)として、\(x\)、\(y\)の関係を途中まで表したものである。次の問いに答えなさい。

1次関数の利用の練習問題2のグラフ
図1

 

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の変域を求めなさい。

 

(3)\(A\)さんが出発してから\(8\)分後に、兄は\(A\)さんのあとを分速\(150m\)の自転車で追いかけた。兄が\(A\)さんに追いつくのは、\(A\)さんが出発してから何分何秒後か求めなさい。

 

1次関数の利用の練習問題2の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

グラフを見ると、\(5\)分間で\(300m\)歩いている事が分かるので、

\(A\)さんが\(1\)分間に歩く距離は

\(\frac{300}{5}=60\;m\)

になります。

\(A\)さんが\(x\)分間に歩く距離は\(60x\)となり、\(60x\)は\(y\)に等しいので、

\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=60x\)

となります。

 

(2)\(x\)の変域を求めなさい。

\(x\)の変域は、\(0\)分から\(900m\)離れた図書館に着くまでの時間なので、

\(y=60x\)の式に\(y=900\)を代入すると、

\(900=60x\)

\(x=15\;分\)

となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、

\(0≦x≦15\)

となります。

 

(3)\(A\)さんが出発してから\(8\)分後に、兄は\(A\)さんのあとを分速\(150m\)の自転車で追いかけた。兄が\(A\)さんに追いつくのは、\(A\)さんが出発してから何分何秒後か求めなさい。

兄が\(x\)分間に進む距離は\(150x\)となり、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=150x\)

となりますが、このままでは\(A\)さんと同時に家を出発した事になるので、\(A\)さんが出発してから\(8\)分後に兄が出発した式にするためには、\(A\)さんが出発してから\(8\)分後の兄が進んだ距離が\(0m\)になるようにしなければいけません。

つまり、兄が\(8\)分間に進む距離を上の式から引く必要があります。

兄が\(8\)分間に進む距離は

\(150×8=1200\;m\)

なので、求める式は

\(y=150x-1200\)

となります。

後は、(1)で求めた\(y=60x\)の式との連立方程式を解けば、兄が追い付く時間が分かります。

\(\left\{\begin{array}{l}y=60x ---①\\y=150x-1200 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(60x=150x-1200\)

\(60x-150x=-1200\)

\(-90x=-1200\)

\(x=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}\)

となります。

\(\frac{1}{3}\)分は20秒なので、兄が\(A\)さんに追いつくのは、\(A\)さんが家を出発してから

\(13\)分\(20\)秒後になります。

 

1次関数の利用の練習問題3

あるバネに重りをつるすと、バネ全体の長さは、重りの重さの1次関数になった。\(20g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(12cm\)、\(30g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(14cm\)の時、次の問いに答えなさい。

(1)重りをつるしていない時のバネの長さを求めなさい。

 

(2)\(100g\)の重りをつるした時のバネの長さを求めなさい。

 

1次関数の利用の練習問題3の解答

(1)重りをつるしていない時のバネの長さを求めなさい。

\(20g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(12cm\)、\(30g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(14cm\)なので、バネは\(10g\)あたり\(2cm\)伸びる事が分かります。

\(30g\)の重りでバネが伸びた長さは

\(2cm×3=6\;cm\)

なので、重りをつるしていない時のバネの長さは

\(14-6=8\;cm\)

となります。

 

(2)\(100g\)の重りをつるした時のバネの長さを求めなさい。

\(10g\)の重りを\(x\)個つるした時のバネの伸びる長さは\(2x\)となり、重りをつるしていない時のバネの長さは\(8cm\)なので、バネ全体の長さを\(ycm\)とすると、

\(y=2x+8\)

という式が作れます。

\(100g\)は\(10g\)の重り\(10\)個なので、この式に\(x=10\)を代入すると、

\(y=2×10+8\)

\(y=28\)

となります。

ゆえに、\(100g\)の重りをつるした時のバネの長さは\(28cm\)となります。

 

【中2数学】連立方程式とグラフ 練習問題と誰でもわかる詳しい解答

連立方程式とグラフ

ここでは、連立方程式と1次関数の直線のグラフの関係について勉強しましょう。

連立方程式の解は、2つの直線のグラフの交点から求める事ができます。

それはなぜかと言うと、2つの直線のグラフの交点の\(x\)と\(y\)の値は同じだからです。

例えば、下の連立方程式の式①、②を\(y=\)に変換して2つのグラフをかいてみます。

\(\left\{\begin{array}{l}y-2x=1 ---①\\y-\frac{1}{2}x+2=0 ---②\end{array}\right.\)

①の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=2x+1\) ---③

②の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=\frac{1}{2}x-2\) ---④

③、④の式の直線のグラフをかくと下の図のようになります。

 

y=2x+1、y=x/2-2のグラフ
y=2x+1、y=x/2-2のグラフ

 

グラフを見ると、2つの直線の交点は点(-2、-3)だという事が分かります。

つまり、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=-3\)という事になります。

逆に、連立方程式を解いて、2つの直線の交点を求める事もできます。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式とグラフの練習問題1

次の連立方程式の解を、グラフをかいて求めなさい。

(1)\(\left\{\begin{array}{l}x+y=-5\\2x-y=-4\end{array}\right.\)

 

(2)\(\left\{\begin{array}{l}x-2y+6=0\\3x+2y+10=0\end{array}\right.\)

 

連立方程式とグラフの練習問題1の解答

(1)\(\left\{\begin{array}{l}x+y=-5 ---①\\2x-y=-4 ---②\end{array}\right.\)

①、②の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=-x-5\) ---③

 

\(-y=-2x-4\)

両辺を\(-1\)で割ると

\(y=-(-2x-4)\)

\(y=2x+4\) ---④

③、④の式のグラフをかきます。

y=-x-5、y=2x+4のグラフ
y=-x-5、y=2x+4のグラフ

 

グラフを見ると2つの直線の交点は、点(-3、-2)なので、連立方程式の解は

\(x=-3\)、\(y=-2\)になります。

 

(2)\(\left\{\begin{array}{l}x-2y+6=0 ---①\\3x+2y+10=0 ---②\end{array}\right.\)

①、②の式を\(y=\)に変換すると、

\(-2y=-x-6\)

両辺を\(-2\)で割ると

\(y=-\frac{1}{2}(-x-6)\)

\(y=\frac{1}{2}x+3\) ---③

 

\(2y=-3x-10\)

両辺を\(2\)で割ると

\(y=\frac{1}{2}(-3x-10)\)

\(y=-\frac{3}{2}x-5\) ---④

③、④の式のグラフをかきます。

y=x/2+3、y=-3x/2-5のグラフ
y=x/2+3、y=-3x/2-5のグラフ

 

グラフを見ると2つの直線の交点は、点(-4、1)なので、連立方程式の解は

\(x=-4\)、\(y=1\)になります。

 

連立方程式とグラフの練習問題2

図1で2直線\(ℓ\)、\(m\)の交点\(P\)の座標を、次の順で求めなさい。

(1)直線\(ℓ\)、\(m\)の式をそれぞれ求めなさい。

 

(2)点\(P\)の座標を求めなさい。

y=2x+4、y=-x/3+1のグラフ
図1

 

連立方程式とグラフの練習問題2の解答

(1)直線\(ℓ\)、\(m\)の式をそれぞれ求めなさい。

直線\(ℓ\)の切片は\(4\)で、\(y\)軸との交点から\(x\)の正方向に\(1\)、\(y\)の正方向に\(2\)行ったところに点がとれるので、傾きは\(2\)になります。

ゆえに、直線\(ℓ\)の式は

\(y=2x+4\)

になります。

直線\(m\)の切片は\(1\)で、\(y\)軸との交点から\(x\)の負の方向に\(3\)、\(y\)の正方向に\(1\)行ったところに点がとれるので、傾きは\(-\frac{1}{3}\)になります。

ゆえに、直線\(m\)の式は

\(y=-\frac{1}{3}x+1\)

になります。

 

(2)点\(P\)の座標を求めなさい。

グラフから点\(P\)の座標を読み取れないので、直線\(ℓ\)、\(m\)の連立方程式を解きます。

\(\left\{\begin{array}{l}y=2x+4 ---①\\y=-\frac{1}{3}x+1 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(2x+4=-\frac{1}{3}x+1\)

\(2x+\frac{1}{3}x=1-4\)

\(\frac{6}{3}x+\frac{1}{3}x=-3\)

\(\frac{7}{3}x=-3\)

両辺に\(\frac{3}{7}\)を掛けると

\(x=-3×\frac{3}{7}\)

\(x=-\frac{9}{7}\)

になります。

①の式に\(x=-\frac{9}{7}\)を代入すると、

\(y=2×(-\frac{9}{7})+4\)

\(y=-\frac{18}{7}+\frac{28}{7}\)

\(y=\frac{10}{7}\)

となります。

ゆえに、点\(P\)の座標は、(\(-\frac{9}{7}\)、\(\frac{10}{7}\))になります。

 

連立方程式とグラフの練習問題3

次の問いに答えなさい。

(1)直線\(y=3x-1\)と直線\(y=-x+7\)の交点を通り、傾きが\(-2\)の直線の式を求めなさい。

 

(2)3直線\(y=x+1\)、\(y=-2x-5\)、\(y=ax-2\)が1点で交わるような\(a\)の値を求めなさい。

 

連立方程式とグラフの練習問題3の解答

(1)直線\(y=3x-1\)と直線\(y=-x+7\)の交点を通り、傾きが\(-2\)の直線の式を求めなさい。

直線\(y=3x-1\)と直線\(y=-x+7\)の連立方程式の解を求め、\(y=ax+b\)の式に代入すれば、傾きが\(-2\)の直線の式を求める事ができます。

\(\left\{\begin{array}{l}y=3x-1 ---①\\y=-x+7 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(3x-1=-x+7\)

\(3x+x=7+1\)

\(4x=8\)

\(x=2\)

となります。

①の式に\(x=2\)を代入すると、

\(y=6-1\)

\(y=5\)

になります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=5\)、\(a=-2\)を代入すると、

\(5=-2×2+b\)

\(-b=-4-5\)

\(-b=-9\)

\(b=9\)

となります。

ゆえに、求める式は

\(y=-2x+9\)

となります。

 

(2)3直線\(y=x+1\)、\(y=-2x-5\)、\(y=ax-2\)が1点で交わるような\(a\)の値を求めなさい。

2直線\(y=x+1\)と\(y=-2x-5\)が交わる点は1つしかないので、この2直線の解を求め、

\(y=ax-2\)の式に代入すれば、3直線が1点で交わる\(a\)の値を求める事ができます。

\(\left\{\begin{array}{l}y=x+1 ---①\\y=-2x-5 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(x+1=-2x-5\)

\(x+2x=-5-1\)

\(3x=-6\)

\(x=-2\)

となります。

①の式に\(x=-2\)を代入すると、

\(y=-2+1\)

\(y=-1\)

となります。

\(y=ax-2\)の式に\(x=-2\)、\(y=-1\)を代入すると、

\(-1=-2a-2\)

\(2a=-2+1\)

\(2a=-1\)

\(a=-\frac{1}{2}\)

となります。

 

【中2数学】1次関数と方程式 練習問題と詳しい解答

1次関数と方程式

これまでの1次関数では、\(y=ax+b\)の式のグラフをかきましたが、ここでは方程式のグラフのかき方を勉強しましょう。

例えば、方程式\(4x-3y=18\)のグラフをかく場合、\(y=\)の形に変換します。

\(-3y=-4x+18\)

両辺を\(-3\)で割ると

\(y=-\frac{1}{3}(-4x+18)\)

\(y=\frac{4}{3}x-6\)

後は、この式のグラフをかくだけです。

このように、「方程式のグラフをかきなさい」という問題が出た場合は、\(y=\)の形に変換するだけでOKです。

 

次に、方程式\(y-5=0\)のグラフのかき方を勉強しましょう。

まず、式を\(y=\)の形に変換すると

\(y=5\)

になりますが、この場合は\(y\)は\(5\)で一定になるので、下の図1のように\(x\)軸に平行な直線になります。

\(x=5\)のグラフの場合は、\(x\)は\(5\)で一定になるので、\(y\)軸に平行な直線になります。

y=5のグラフ
図1 y=5のグラフ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数と方程式の練習問題1

次の方程式のグラフをかきなさい。

(1)\(x+y=6\)

 

(2)\(x-3y=9\)

 

(3)\(3x-2y=-8\)

 

(4)\(3x+4y+20=0\)

 

1次関数と方程式の練習問題1の解答

(1)\(x+y=6\)

式を\(y=\)に変換します。

\(y=-x+6\)

後は、この式のグラフをかくだけです。

 

(2)\(x-3y=9\)

この問題も同様に\(y=\)に変換すると、

\(-3y=-x+9\)

両辺を\(-3\)で割ると

\(y=-\frac{1}{3}(-x+9)\)

\(y=\frac{1}{3}x-3\)

となるので、後はこの式のグラフをかくだけです。

 

(3)\(3x-2y=-8\)

この問題も同様に\(y=\)に変換すると、

\(-2y=-3x-8\)

両辺を\(-2\)で割ると

\(y=-\frac{1}{2}(-3x-8)\)

\(y=\frac{3}{2}x+4\)

となるので、後はこの式のグラフをかくだけです。

 

(4)\(3x+4y+20=0\)

この問題も同様に\(y=\)に変換すると、

\(4y=-3x-20\)

両辺を\(4\)で割ると

\(y=\frac{1}{4}(-3x-20)\)

\(y=-\frac{3}{4}x-5\)

となるので、後はこの式のグラフをかくだけです。

1次関数と方程式のグラフ1
練習問題1の4つのグラフ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1次関数と方程式の練習問題2

方程式\(2x-5y=10\)のグラフを、次の(1)、(2)の順でかきなさい。

(1)グラフと\(x\)軸、\(y\)軸との交点の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(2)この方程式のグラフをかきなさい。

 

1次関数と方程式の練習問題2の解答

(1)グラフと\(x\)軸、\(y\)軸との交点の座標をそれぞれ求めなさい。

方程式\(2x-5y=10\)を\(y=\)に変換すると

\(-5y=-2x+10\)

両辺を\(-5\)で割ると

\(y=-\frac{1}{5}(-2x+10)\)

\(y=\frac{2}{5}x-2\)

となります。

\(x\)軸との交点は\(y=0\)になるので、

\(0=\frac{2}{5}x-2\)

\(-\frac{2}{5}x=-2\)

両辺に\(-\frac{5}{2}\)を掛けると

\(x=-2×(-\frac{5}{2})\)

\(x=5\)

となります。

ゆえに、\(x\)軸との交点の座標は、(5、0)になります。

 

\(y\)軸との交点は\(x=0\)になるので、

\(y=0-2\)

\(y=-2\)

となります。

ゆえに、\(y\)軸との交点の座標は、(0、-2)になります。

 

(2)この方程式のグラフをかきなさい。

(1)で変換した\(y=\frac{2}{5}x-2\)のグラフをかくだけです。

 

y=2x/5-2のグラフ
y=2x/5-2のグラフ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1次関数と方程式の練習問題3

次の方程式のグラフをかきなさい。

(1)\(2y=8\)

 

(2)\(5y+15=0\)

 

1次関数と方程式の練習問題3の解答

(1)\(2y=8\)

\(y=\)に変換すると

\(y=4\)

になります。

 

(2)\(5y+15=0\)

\(y=\)に変換すると

\(5y=-15\)

\(y=-3\)

になります。

y=4、y=-3のグラフ
y=4、y=-3のグラフ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【中2数学】1次関数の式の求め方(2) 練習問題と詳しい解答

1次関数の式の求め方(2)

ここでは、「1次関数の式の求め方(1)」で勉強した式の求め方とは別の式の求め方を勉強しましょう。

 

変化の割合と1つの点の座標が分かっている場合の式の求め方

変化の割合が\(2\)で、\(x=2\)の時\(y=7\)である1次関数の式を求める場合、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=7\)、\(a=2\)を代入すると、\(b\)の値が求まります。

\(7=2×2+b\)

\(-b=4-7\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)、\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

1つの点の座標と\(x\)と\(y\)の増加量が分かっている場合の式の求め方

\(x=2\)の時\(y=7\)で、\(x\)の増加量が\(3\)の時\(y\)の増加量が\(6\)である1次関数の式を求める場合、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)なので、

\(傾き=\frac{6}{3}=2\)となるので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=7\)、\(a=2\)を代入すると、\(b\)の値が求まります。

\(7=2×2+b\)

\(-b=4-7\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)、\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の式の求め方の練習問題1

次の条件を満たす1次関数の式を求めなさい。

(1)変化の割合が\(-6\)で、\(x=2\)の時\(y=-4\)である1次関数

 

(2)\(x=4\)の時\(y=5\)、\(x=-3\)の時\(y=-9\)である1次関数

 

(3)\(x=8\)の時\(y=-3\)で、\(x\)の増加量が\(12\)の時\(y\)の増加量が\(3\)である1次関数

 

(4)\(x\)と\(y\)の対応の様子が下の表のような1次関数

\(x\) -6 15
\(y\) 11 -3

 

1次関数の式の求め方の練習問題1の解答

(1)変化の割合が\(-6\)で、\(x=2\)の時\(y=-4\)である1次関数

\(変化の割合=傾き\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=-4\)、\(a=-6\)を代入すると、

\(-4=-6×2+b\)

\(-4=-12+b\)

\(-b=-12+4\)

\(-b=-8\)

\(b=8\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-6\)、\(b=8\)を代入すると、(1)の式は

\(y=-6x+8\)

となります。

 

(2)\(x=4\)の時\(y=5\)、\(x=-3\)の時\(y=-9\)である1次関数

\(x\)が\(-3\)から\(4\)になった時の\(x\)の増加量は\(7\)で、

\(y\)が\(-9\)から\(5\)になった時の\(y\)の増加量は\(14\)なので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)より、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量} =\frac{14}{7}=2\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=4\)、\(y=5\)、\(a=2\)を代入すると、

\(5=2×4+b\)

\(5=8+b\)

\(-b=8-5\)

\(-b=3\)

\(b=-3\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)、\(b=-3\)を代入すると、(2)の式は

\(y=2x-3\)

となります。

 

(3)\(x=8\)の時\(y=-3\)で、\(x\)の増加量が\(12\)の時\(y\)の増加量が\(3\)である1次関数

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)なので、

\(傾き=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=8\)、\(y=-3\)、\(a=\frac{1}{4}\)を代入すると、

\(-3=\frac{1}{4}×8+b\)

\(-3=2+b\)

\(-b=2+3\)

\(-b=5\)

\(b=-5\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=\frac{1}{4}\)、\(b=-5\)を代入すると、(3)の式は

\(y=\frac{1}{4}x-5\)

となります。

 

(4)\(x\)と\(y\)の対応の様子が下の表のような1次関数

\(x\) -6 15
\(y\) 11 -3

\(x\)が\(-6\)から\(15\)に増えた時の増加量は、\(21\)となり、その時の\(y\)の増加量は\(-14\)となるので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)より、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{-14}{21}=-\frac{2}{3}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=-6\)、\(y=11\)、\(a=-\frac{2}{3}\)を代入すると、

\(11=-\frac{2}{3}×(-6)+b\)

\(11=4+b\)

\(-b=4-11\)

\(-b=-7\)

\(b=7\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{2}{3}\)、\(b=7\)を代入すると、(4)の式は

\(y=-\frac{2}{3}x+7\)

となります。

 

1次関数の式の求め方の練習問題2

3点(2、-4)、(9、3)、(5、\(a\))が同じ直線上にある時、\(a\)の値を求めなさい。

 

1次関数の式の求め方の練習問題2の解答

\(x\)が\(2\)から\(9\)になった時の\(x\)の増加量は\(7\)で、

\(y\)が\(-4\)から\(3\)になった時の\(y\)の増加量は\(7\)なので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)より、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量} =\frac{7}{7}=1\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=-4\)、\(a=1\)を代入すると、

\(-4=2+b\)

\(-b=2+4\)

\(-b=6\)

\(b=-6\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=1\)、\(b=-6\)を代入すると、直線の式は

\(y=x-6\)

となります。

\(y=x-6\)の式に\(x=5\)を代入すると、

\(y=5-6\)

\(y=-1\)

となるので、\(a\)の値は\(-1\)になります。

 

1次関数の式の求め方の練習問題3

1次関数\(y=ax+b\)において、\(x\)の変域が\(-3≦x≦1\)の時、\(y\)の変域が\(-1≦y≦7\)である。\(a<0\)の時、次の問いに答えなさい。

(1)\(x=-3\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

(2)\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

 

1次関数の式の求め方の練習問題3の解答

(1)\(x=-3\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

\(x\)が\(-3\)から\(1\)になった時の\(x\)の増加量は\(4\)で、その時の\(y\)の増加量は\(8\)か\(-8\)のどちらかになりますが、\(a<0\)の時とあるので、

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量} =傾き\)の式に値を代入して傾きが-になるのは\(-8\)です。

つまり、\(x\)が\(-3\)から\(1\)に増えた時、\(y\)は\(7\)から\(-1\)に減る事が分かるので、

\(x=-3\)の時の\(y\)の値は\(7\)、\(x=1\)の時の\(y\)の値は\(-1\)となります。

ゆえに、\(x=-3\)の時、\(y=7\)になります。

 

(2)\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

(1)で\(x\)の増加量が\(4\)の時、\(y\)の増加量は\(-8\)と分かっているので、

\(傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量} =\frac{-8}{4}=-2\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=-3\)、\(y=7\)、\(a=-2\)を代入すると、

\(7=-2×(-3)+b\)

\(7=6+b\)

\(-b=6-7\)

\(-b=-1\)

\(b=1\)

となります。

ゆえに、\(a=-2\)、\(b=1\)となります。

 

【中2数学】1次関数の式の求め方(1) 練習問題と詳しい解答

1次関数の式の求め方(1)

ここでは、1次関数の式の求め方を勉強しましょう。

基本となる式は、\(y=ax+b\)で、\(a\)と\(b\)の値が分かれば式が求まります。

 

傾きと1つの点の座標が分かっている場合の式の求め方

傾きが\(2\)で、点(1、5)を通る直線の式を求める場合、\(b\)の値だけが分からないので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=1\)、\(y=5\)、\(a=2\)を代入して\(b\)の値を求めます。

\(5=2×1+b\)

\(-b=2-5\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)と\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

1つの点の座標と求める式に平行な直線の式が分かっている場合の式の求め方

求める直線が点(-2、-1)を通り、直線\(y=2x-5\)に平行な場合、傾きは\(2\)になるので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=-2\)、\(y=-1\)、\(a=2\)を代入して\(b\)の値を求めます。

\(-1=2×(-2)+b\)

\(-b=-4+1\)

\(-b=-3\)

\(b=3\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)と\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

2つの点の座標が分かっている場合の式の求め方

点(1、5)と点(-2、-1)を通る直線の式を求める場合、

\(y=ax+b\)の式に\(x=1\)と\(y=5\)、\(x=-2\)と\(y=-1\)をそれぞれ代入して式を2つ作ります。

\(\left\{\begin{array}{l}5=a+b ---①\\-1=-2a+b ---②\end{array}\right.\)

後は、この連立方程式を解きます。

①の式を\(a=\)に変換すると、

\(a+b=5\)

\(a=-b+5\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(-1=-2(-b+5)+b\)

\(-1=2b-10+b\)

\(-3b=-10+1\)

\(-3b=-9\)

\(b=3\)

となります。

③の式に\(b=3\)を代入すると、

\(a=-3+5\)

\(a=2\)

となります。

後は、\(y=ax+b\)の式に\(a=2\)と\(b=3\)を代入すれば式が求まるので、

\(y=2x+3\)

となります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の式の求め方の練習問題1

図1の(1)~(4)の直線は、1次関数のグラフである。それぞれの関数の式を求めなさい。

 

1次関数のグラフ
図1

 

1次関数の式の求め方の練習問題1の解答

(1)の式は、点(-4、0)を通っている事が分かり、切片は\(-4\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=-4\)、\(y=0\)、\(b=-4\)を代入すると、

\(0=-4a-4\)

\(4a=-4\)

\(a=-1\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-1\)と\(b=-4\)を代入すると、(1)の式は

\(y=-x-4\)

となります。

 

(2)の式は、点(-2、-3)を通っている事が分かり、切片は\(5\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=-2\)、\(y=-3\)、\(b=5\)を代入すると、

\(-3=-2a+5\)

\(2a=5+3\)

\(a=4\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=4\)と\(b=5\)を代入すると、(2)の式は

\(y=4x+5\)

となります。

 

(3)の式は、点(6、2)を通っている事が分かり、切片は\(3\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=6\)、\(y=2\)、\(b=3\)を代入すると、

\(2=6a+3\)

\(-6a=3-2\)

\(-6a=1\)

\(a=-\frac{1}{6}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{1}{6}\)と\(b=3\)を代入すると、(3)の式は

\(y=-\frac{1}{6}x+3\)

となります。

 

(4)の式は、点(3、-1)を通っている事が分かり、切片は\(-5\)なので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=3\)、\(y=-1\)、\(b=-5\)を代入すると、

\(-1=3a-5\)

\(-3a=-5+1\)

\(-3a=-4\)

\(a=\frac{4}{3}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=\frac{4}{3}\)と\(b=-5\)を代入すると、(4)の式は

\(y=\frac{4}{3}x-5\)

となります。

 

1次関数の式の求め方の練習問題2

次の直線の式を求めなさい。

(1)傾きが\(3\)で、点(2、-1)を通る直線

 

(2)傾きが\(-\frac{1}{2}\)で、点(-4、7)を通る直線

 

(3)点(3、-9)を通り、直線\(y=-5x-2\)に平行な直線

 

(4)2点(1、-5)、(3、3)を通る直線

 

(5)2点(-6、2)、(9、-8)を通る直線

 

(6)切片が\(-5\)で、点(8、7)を通る直線

 

1次関数の式の求め方の練習問題2の解答

(1)傾きが\(3\)で、点(2、-1)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)と\(y=-1\)、\(a=3\)を代入すると、

\(-1=3×2+b\)

\(-1=6+b\)

\(-b=6+1\)

\(b=-7\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=3\)、\(b=-7\)を代入すると、(1)の式は

\(y=3x-7\)

となります。

 

(2)傾きが\(-\frac{1}{2}\)で、点(-4、7)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=-4\)と\(y=7\)、\(a=-\frac{1}{2}\)を代入すると、

\(7=-\frac{1}{2}×(-4)+b\)

\(7=2+b\)

\(-b=2-7\)

\(-b=-5\)

\(b=5\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{1}{2}\)、\(b=5\)を代入すると、(2)の式は

\(y=-\frac{1}{2}x+5\)

となります。

 

(3)点(3、-9)を通り、直線\(y=-5x-2\)に平行な直線

直線\(y=-5x-2\)に平行な直線という事は、傾きが\(-5\)になるので、

\(y=ax+b\)の式に\(x=3\)と\(y=-9\)、\(a=-5\)を代入すると、

\(-9=-5×3+b\)

\(-9=-15+b\)

\(-b=-15+9\)

\(-b=-6\)

\(b=6\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-5\)、\(b=6\)を代入すると、(3)の式は

\(y=-5x+6\)

となります。

 

(4)2点(1、-5)、(3、3)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=1\)と\(y=-5\)、\(x=3\)と\(y=3\)をそれぞれ代入すると、

\(-5=a+b\) ---①

\(3=3a+b\) ---②

となり、①、②の連立方程式を解きます。

①の式を\(a=\)に変換すると、

\(a+b=-5\)

\(a=-b-5\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(3=3(-b-5)+b\)

\(3=-3b-15+b\)

\(2b=-15-3\)

\(2b=-18\)

\(b=-9\)

となります。

③の式に\(b=-9\)を代入すると、

\(a=9-5\)

\(a=4\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=4\)、\(b=-9\)を代入すると、(4)の式は

\(y=4x-9\)

となります。

 

(5)2点(-6、2)、(9、-8)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=-6\)と\(y=2\)、\(x=9\)と\(y=-8\)をそれぞれ代入すると、

\(2=-6a+b\) ---①

\(-8=9a+b\) ---②

となり、①、②の連立方程式を解きます。

①の式を\(b=\)に変換すると、

\(-6a+b=2\)

\(b=6a+2\) ---③

となります。

②の式に③の式を代入すると、

\(-8=9a+6a+2\)

\(-15a=2+8\)

\(-15a=10\)

\(a=-\frac{2}{3}\)

となります。

③の式に\(a=-\frac{2}{3}\)を代入すると、

\(b=6×(-\frac{2}{3})+2\)

\(b=-4+2\)

\(b=-2\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=-\frac{2}{3}\)、\(b=-2\)を代入すると、(5)の式は

\(y=-\frac{2}{3}x-2\)

となります。

 

(6)切片が\(-5\)で、点(8、7)を通る直線

\(y=ax+b\)の式に\(x=8\)、\(y=7\)、\(b=-5\)を代入すると、

\(7=8a-5\)

\(-8a=-5-7\)

\(-8a=-12\)

\(a=\frac{3}{2}\)

となります。

\(y=ax+b\)の式に\(a=\frac{3}{2}\)、\(b=-5\)を代入すると、(6)の式は

\(y=\frac{3}{2}x-5\)

となります。

 

【中2数学】1次関数のグラフ 練習問題と誰でもわかる解答

1次関数のグラフ

1次関数のグラフとは、\(y=ax+b\)(\(a\)、\(b\)は定数)のグラフの事で、

\(y=ax+b\)の\(a\)を「傾き」と言い、\(b\)を「切片(せっぺん)」と言います。

例えば、\(y=2x+3\)のグラフをかく場合、2つの点を求めて直線で結べばグラフをかく事ができます。

2つの点というのは座標の事で、\(x\)や\(y\)に数字を代入すると求まります。

\(y=2x+3\)に\(x=1\)を代入すると、

\(y=2+3\)

\(y=5\)となるので、座標は(1、5)となります。

次に、\(y=2x+3\)に\(x=-1\)を代入すると、

\(y=-2+3\)

\(y=1\)となるので、座標は(-1、1)となります。

この2つの点をグラフにとると、下の図1のようになります。

 

y=2x+3のグラフ1
図1

 

後は、2つの点を直線で結べば、下の図2のように\(y=2x+3\)のグラフになります。

 

y=2x+3のグラフ
図2

 

・もう1つのグラフのかき方

切片は\(y\)軸との交点になるので、(0、3)という事が分かります。

次に、傾きは\(2=\frac{2}{1}\)なので、図2の赤色の矢印のように切片から1分の2というように進んだ(1、5)に点をとる事ができます。

この2つの点を直線で結べば、\(y=2x+3\)のグラフになります。

 

これらの事を踏まえて、1次関数のグラフの練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数のグラフの練習問題1

次の1次関数について、グラフの傾きと切片を答えなさい。

(1)\(y=x-4\)

 

(2)\(y=-5x+3\)

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\)

 

(4)\(y=\frac{3}{4}x-7\)

 

1次関数のグラフの練習問題1の解答

(1)\(y=x-4\)

傾き\(1\)、切片\(-4\)

 

(2)\(y=-5x+3\)

傾き\(-5\)、切片\(3\)

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\)

傾き\(-\frac{1}{2}\)、切片\(0\)

 

(4)\(y=\frac{3}{4}x-7\)

傾き\(\frac{3}{4}\)、切片\(-7\)

 

1次関数のグラフの練習問題2

1次関数\(y=-3x+6\)のグラフについて、次の問いに答えなさい。

(1)傾きと切片を答えなさい。

 

(2)\(y=-3x\)のグラフをどのように移動したものですか。

 

(3)\(x\)軸、\(y\)軸との交点の座標をそれぞれ求めなさい。

 

(4)次の点のうちで、グラフ上にあるものを全て選び、記号で答えなさい。

㋐(3、-3)  ㋑(4、6)  ㋒(-1、3)  ㋓(-6、24)

 

1次関数のグラフの練習問題2の解答

(1)傾きと切片を答えなさい。

傾き\(-3\)、切片\(6\)

 

(2)\(y=-3x\)のグラフをどのように移動したものですか。

\(y=-3x\)は点(0、0)を通り、\(y=-3x+6\)は、点(0、6)を通るので、

\(y\)軸の正方向に6だけ平行移動したものになります。

 

(3)\(x\)軸、\(y\)軸との交点の座標をそれぞれ求めなさい。

\(x\)軸との交点は、\(y=0\)になる点なので、

\(0=-3x+6\)

\(3x=6\)

\(x=2\)となるので、座標は(2、0)になります。

\(y\)軸との交点は、\(x=0\)になる点なので、

\(y=0+6\)

\(y=6\)となるので、座標は(0、6)になります。

 

(4)次の点のうちで、グラフ上にあるものを全て選び、記号で答えなさい。

㋐(3、-3)  ㋑(4、6)  ㋒(-1、3)  ㋓(-6、24)

\(y=-3x+6\)に㋐、㋑、㋒、㋓の\(x\)をそれぞれ代入して座標が合っているか調べます。

・\(x=3\)を代入

\(y=-9+6\)

\(y=-3\)になるので、㋐の(3、-3)はグラフ上にある点です。

 

・\(x=4\)を代入

\(y=-12+6\)

\(y=-6\)になるので、㋑の(4、6)はグラフ上にありません。

 

・\(x=-1\)を代入

\(y=3+6\)

\(y=9\)になるので、㋒の(-1、3)はグラフ上にありません。

 

・\(x=-6\)を代入

\(y=18+6\)

\(y=24\)になるので、㋓の(-6、24)はグラフ上にある点です。

 

ゆえに、グラフ上にある点は、㋐、㋓になります。

 

1次関数のグラフの練習問題3

次の問いに答えなさい。

(1)関数\(y=\frac{1}{2}x\)のグラフをかきなさい。

 

(2)(1)でかいたグラフを利用して、次の1次関数のグラフをかきなさい。

① \(y=\frac{1}{2}x+4\)

② \(y=\frac{1}{2}x-3\)

 

1次関数のグラフの練習問題3の解答

(1)関数\(y=\frac{1}{2}x\)のグラフをかきなさい。

 

y=x/2のグラフ

 

傾きが\(\frac{1}{2}\)なので、グラフ内の赤色の矢印のように、0から\(x\)軸の正方向に2、\(y\)軸の正方向に1行ったところに点をとり、0と結べばグラフをかけます。

または、\(y=\frac{1}{2}x\)に\(x=2\)を代入すると、\(y=1\)となり、座標(2、1)の点が取れるので、0と座標(2、1)を直線で結べばグラフをかけます。

\(x=1\)を代入すると、\(y=\frac{1}{2}\)となるので、点がとりづらくなります。

 

(2)(1)でかいたグラフを利用して、次の1次関数のグラフをかきなさい。

① \(y=\frac{1}{2}x+4\)

② \(y=\frac{1}{2}x-3\)

 

y=x/2+4、y=x/2-3のグラフ
y=x/2+4、y=x/2-3のグラフ

 

①の\(y=\frac{1}{2}x+4\)のグラフは、\(y=\frac{1}{2}x\)のグラフを\(y\)軸の正方向に4平行移動させます。

②の\(y=\frac{1}{2}x-3\)のグラフは、\(y=\frac{1}{2}x\)のグラフを\(y\)軸の負方向に3平行移動させます。

 

1次関数のグラフの練習問題4

関数\(y=-2x+1\)について、次の問いに答えなさい。

(1)\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)の時、この関数のグラフをかきなさい。

 

(2)\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)の時、\(y\)の変域を求めなさい。

 

1次関数のグラフの練習問題4の解答

(1)\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)の時、この関数のグラフをかきなさい。

\(y=-2x+1\)に\(x=-1\)と\(x=2\)を代入して、それぞれの座標を求めます。

・\(x=-1\)を代入

\(y=2+1\)

\(y=3\)となり、座標(-1、3)が求まります。

 

・\(x=2\)を代入

\(y=-4+1\)

\(y=-3\)となり、座標(2、-3)が求まります。

 

この2つの座標の点をとり、直線で結べば\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)の時のグラフになります。

 

y=-2x+1のグラフ
y=-2x+1のグラフ

 

(2)\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)の時、\(y\)の変域を求めなさい。

(1)で\(x=-1\)の時\(y=3\)、\(x=2\)の時\(y=-3\)になる事が分かっているので、

\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)の時の\(y\)の変域は、

\(-3≦y≦3\)

となります。

 

【中2数学】1次関数とは?練習問題と誰でもわかる解答

1次関数とは?

2つの変数\(x\)と\(y\)があって、\(y\)の値が\(x\)の値にともなって変化し、\(x\)の値を定めると\(y\)の値がただ1つに決まる場合、「\(y\)は\(x\)の関数である」と言います。

1次関数とは、\(y\)を\(x\)の1次式で表せる関数の事を言います。

・例1:\(y=2x-3\)、\(y=3x+5\)、\(y=-3x+2\)

上の例1のように、右辺が1次式(次数1)になっていて、

\(y=ax+b\)(\(a\)、\(b\)は定数)の形になっているものが1次関数です。

\(x\) → 次数1

\(x×x=x^2\) → 次数2

\(x×x×x=x^3\) → 次数3

 

\(y=ax\)は比例の式、\(y=\frac{a}{x}\)は反比例の式なので、1次関数ではありません。

先ほどの説明にもあったように、1次関数の式は下記のようになるので、覚えておきましょう。

\(y=ax+b\)(\(a\)、\(b\)は定数) ---1次関数の式

 

・変化の割合

ある関数\(y=ax+b\)において\(x\)の値が\(α\)増加した時に、\(y\)の値が\(β\)増加したとすると、

\(\frac{β}{α}=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)

が変化の割合になります。

 

ここでは、1次関数の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

1次関数の練習問題1

次の数量の関係について、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。また、\(y\)が\(x\)の1次関数であるものを全て選び、番号で答えなさい。

(1)1本60円の鉛筆を\(x\)本と150円のノートを1冊買った時の代金を\(y\)円とする。

 

(2)\(8km\)の道のりを毎時\(xkm\)で走った時にかかる時間を\(y\)時間とする。

 

(3)縦の長さが\(xcm\)で、周の長さが\(10cm\)の長方形の横の長さを\(ycm\)とする。

 

(4)半径が\(xcm\)の円の面積を\(ycm^2\)とする。

 

1次関数の練習問題1の解答

(1)1本60円の鉛筆を\(x\)本と150円のノートを1冊買った時の代金を\(y\)円とする。

1本60円の鉛筆を\(x\)本買った時の代金は\(60x\)となり、\(60x\)と150を足したものが\(y\)に等しくなるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=60x+150\)

となり、\(y=ax+b\)の1次関数の式になるので、\(y\)は\(x\)の1次関数となります。

 

(2)\(8km\)の道のりを毎時\(xkm\)で走った時にかかる時間を\(y\)時間とする。

\(時間=\frac{距離}{時速}\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{8}{x}\)

となり、反比例の式になるので、\(y\)は\(x\)の1次関数ではありません。

 

(3)縦の長さが\(xcm\)で、周の長さが\(10cm\)の長方形の横の長さを\(ycm\)とする。

\(2x+2y=10\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(2y=-2x+10\)

\(2y=2(-x+5)\)

\(y=-x+5\)

となり、\(y=ax+b\)の1次関数の式になるので、\(y\)は\(x\)の1次関数となります。

 

(4)半径が\(xcm\)の円の面積を\(ycm^2\)とする。

\(円の面積=πr^2\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=πx^2\)

となり、\(y=ax+b\)の1次関数の式にならないので、\(y\)は\(x\)の1次関数ではありません。

 

ゆえに、\(y\)が\(x\)の1次関数であるものは、(1)、(3)になります。

 

1次関数の練習問題2

水槽に\(60cm\)の深さまで水が入っている。この水槽の排水口を開くと、1分間に\(3cm\)の割合で水面が低くなっていく。排水口を開いてから\(x\)分後の水槽の底から水面までの高さを\(ycm\)とする時、次の問いに答えなさい。

(1)下の表の空いているところに当てはまる数を書いて、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5 6
\(y\) 60

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)水槽の水がなくなるまで排水する時、\(x\)の変域を求めなさい。

 

1次関数の練習問題2の解答

(1)下の表の空いているところに当てはまる数を書いて、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5 6
\(y\) 60 57 54 51 48 45 42

1分間に\(3cm\)の割合で水面が低くなっていくので、

1分後は\(60-3=57\)、2分後は\(60-6=54\)というようになります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(x\)分後に低くなる水面の高さは\(3x\)となり、\(60cm\)から\(3x\)を引いた高さが\(y\)になるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=60-3x\)

となります。

 

(3)水槽の水がなくなるまで排水する時、\(x\)の変域を求めなさい。

\(x\)の変域は、\(60cm\)から\(0cm\)になるまでの時間なので、\(0cm\)になる時の時間は

\(0=60-3x\)

\(3x=60\)

\(x=20\)

となり、20分後に\(0cm\)になる事が分かるので、\(x\)の変域は、

\(0≦x≦20\)

となります。

 

1次関数の練習問題3

1次関数\(y=4x-9\)について、次の問いに答えなさい。

(1)変化の割合を求めなさい。

 

(2)\(x\)の増加量が7の時の\(y\)の増加量を求めなさい。

 

1次関数の練習問題3の解答

(1)変化の割合を求めなさい。

\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}\) なので、

\(y=4x-9\)に\(x=1\)、\(x=2\)をそれぞれ代入すると、

\(y=4-9=-5\) ---\(x=1\)の時

\(y=8-9=-1\) ---\(x=2\)の時

となり、\(x\)の増加量は1、\(y\)の増加量は4になるので

\(変化の割合=\frac{4}{1}=4\)

になります。

 

(2)\(x\)の増加量が7の時の\(y\)の増加量を求めなさい。

\(x\)の増加量が7という事は、\(x\)が1から8に増加した時の\(y\)の増加量を求めれば良いので、

\(y=4-9=-5\) ---\(x=1\)の時

\(y=32-9=23\) ---\(x=8\)の時

となります。

ゆえに、\(y\)は\(-5\)から\(23\)に増えているので、\(y\)の増加量は\(28\)になります。