１次関数の式の求め方（２）
ここでは、「1次関数の式の求め方（1）」で勉強した式の求め方とは別の式の求め方を勉強しましょう。
変化の割合と１つの点の座標が分かっている場合の式の求め方
変化の割合が\(2\)で、\(x＝2\)の時\(y＝7\)である1次関数の式を求める場合、
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)なので、
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝2\)、\(y＝7\)、\(a＝2\)を代入すると、\(b\)の値が求まります。
\(7＝2×2＋b\)
\(－b＝4－7\)
\(－b＝－3\)
\(b＝3\)
となります。
後は、\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝2\)、\(b＝3\)を代入すれば式が求まるので、
\(y＝2x＋3\)
となります。
１つの点の座標と\(x\)と\(y\)の増加量が分かっている場合の式の求め方
\(x＝2\)の時\(y＝7\)で、\(x\)の増加量が\(3\)の時\(y\)の増加量が\(6\)である1次関数の式を求める場合、
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)なので、
\(傾き＝\frac{6}{3}＝2\)となるので、
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝2\)、\(y＝7\)、\(a＝2\)を代入すると、\(b\)の値が求まります。
\(7＝2×2＋b\)
\(－b＝4－7\)
\(－b＝－3\)
\(b＝3\)
となります。
後は、\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝2\)、\(b＝3\)を代入すれば式が求まるので、
\(y＝2x＋3\)
となります。
これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。
１次関数の式の求め方の練習問題１
次の条件を満たす1次関数の式を求めなさい。
（1）変化の割合が\(－6\)で、\(x＝2\)の時\(y＝－4\)である1次関数
（2）\(x＝4\)の時\(y＝5\)、\(x＝－3\)の時\(y＝－9\)である1次関数
（3）\(x＝8\)の時\(y＝－3\)で、\(x\)の増加量が\(12\)の時\(y\)の増加量が\(3\)である1次関数
（4）\(x\)と\(y\)の対応の様子が下の表のような1次関数
| \(x\) |
… |
－6 |
… |
15 |
… |
| \(y\) |
… |
11 |
… |
－3 |
… |
１次関数の式の求め方の練習問題１の解答
（1）変化の割合が\(－6\)で、\(x＝2\)の時\(y＝－4\)である1次関数
\(変化の割合＝傾き\)なので、
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝2\)、\(y＝－4\)、\(a＝－6\)を代入すると、
\(－4＝－6×2＋b\)
\(－4＝－12＋b\)
\(－b＝－12＋4\)
\(－b＝－8\)
\(b＝8\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝－6\)、\(b＝8\)を代入すると、（1）の式は
\(y＝－6x＋8\)
となります。
（2）\(x＝4\)の時\(y＝5\)、\(x＝－3\)の時\(y＝－9\)である1次関数
\(x\)が\(－3\)から\(4\)になった時の\(x\)の増加量は\(7\)で、
\(y\)が\(－9\)から\(5\)になった時の\(y\)の増加量は\(14\)なので、
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)より、
\(傾き＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝\frac{14}{7}＝2\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝4\)、\(y＝5\)、\(a＝2\)を代入すると、
\(5＝2×4＋b\)
\(5＝8＋b\)
\(－b＝8－5\)
\(－b＝3\)
\(b＝－3\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝2\)、\(b＝－3\)を代入すると、（2）の式は
\(y＝2x－3\)
となります。
（3）\(x＝8\)の時\(y＝－3\)で、\(x\)の増加量が\(12\)の時\(y\)の増加量が\(3\)である1次関数
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)なので、
\(傾き＝\frac{3}{12}＝\frac{1}{4}\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝8\)、\(y＝－3\)、\(a＝\frac{1}{4}\)を代入すると、
\(－3＝\frac{1}{4}×8＋b\)
\(－3＝2＋b\)
\(－b＝2＋3\)
\(－b＝5\)
\(b＝－5\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝\frac{1}{4}\)、\(b＝－5\)を代入すると、（3）の式は
\(y＝\frac{1}{4}x－5\)
となります。
（4）\(x\)と\(y\)の対応の様子が下の表のような1次関数
| \(x\) |
… |
－6 |
… |
15 |
… |
| \(y\) |
… |
11 |
… |
－3 |
… |
\(x\)が\(－6\)から\(15\)に増えた時の増加量は、\(21\)となり、その時の\(y\)の増加量は\(－14\)となるので、
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)より、
\(傾き＝\frac{yの増加量}{xの増加量}＝\frac{－14}{21}＝－\frac{2}{3}\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝－6\)、\(y＝11\)、\(a＝－\frac{2}{3}\)を代入すると、
\(11＝－\frac{2}{3}×（－6）＋b\)
\(11＝4＋b\)
\(－b＝4－11\)
\(－b＝－7\)
\(b＝7\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝－\frac{2}{3}\)、\(b＝7\)を代入すると、（4）の式は
\(y＝－\frac{2}{3}x＋7\)
となります。
１次関数の式の求め方の練習問題２
3点（2、－4）、（9、3）、（5、\(a\)）が同じ直線上にある時、\(a\)の値を求めなさい。
１次関数の式の求め方の練習問題２の解答
\(x\)が\(2\)から\(9\)になった時の\(x\)の増加量は\(7\)で、
\(y\)が\(－4\)から\(3\)になった時の\(y\)の増加量は\(7\)なので、
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)より、
\(傾き＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝\frac{7}{7}＝1\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝2\)、\(y＝－4\)、\(a＝1\)を代入すると、
\(－4＝2＋b\)
\(－b＝2＋4\)
\(－b＝6\)
\(b＝－6\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(a＝1\)、\(b＝－6\)を代入すると、直線の式は
\(y＝x－6\)
となります。
\(y＝x－6\)の式に\(x＝5\)を代入すると、
\(y＝5－6\)
\(y＝－1\)
となるので、\(a\)の値は\(－1\)になります。
１次関数の式の求め方の練習問題３
1次関数\(y＝ax＋b\)において、\(x\)の変域が\(－3≦x≦1\)の時、\(y\)の変域が\(－1≦y≦7\)である。\(a<0\)の時、次の問いに答えなさい。
（1）\(x＝－3\)の時の\(y\)の値を求めなさい。
（2）\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。
１次関数の式の求め方の練習問題３の解答
（1）\(x＝－3\)の時の\(y\)の値を求めなさい。
\(x\)が\(－3\)から\(1\)になった時の\(x\)の増加量は\(4\)で、その時の\(y\)の増加量は\(8\)か\(－8\)のどちらかになりますが、\(a<0\)の時とあるので、
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝傾き\)の式に値を代入して傾きが－になるのは\(－8\)です。
つまり、\(x\)が\(－3\)から\(1\)に増えた時、\(y\)は\(7\)から\(－1\)に減る事が分かるので、
\(x＝－3\)の時の\(y\)の値は\(7\)、\(x＝1\)の時の\(y\)の値は\(－1\)となります。
ゆえに、\(x＝－3\)の時、\(y＝7\)になります。
（2）\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。
（1）で\(x\)の増加量が\(4\)の時、\(y\)の増加量は\(－8\)と分かっているので、
\(傾き＝\frac{yの増加量}{xの増加量} ＝\frac{－8}{4}＝－2\)
となります。
\(y＝ax＋b\)の式に\(x＝－3\)、\(y＝7\)、\(a＝－2\)を代入すると、
\(7＝－2×（－3）＋b\)
\(7＝6＋b\)
\(－b＝6－7\)
\(－b＝－1\)
\(b＝1\)
となります。
ゆえに、\(a＝－2\)、\(b＝1\)となります。
