【中2数学】連立方程式の文章題 解き方がわかる詳しい解説

連立方程式の文章題

ここでは、連立方程式の文章題の勉強をしましょう。

これまでの方程式の文章題は、文字が1種類しかなかったので、式を1つ作れば解ける問題でしたが、連立方程式の文章題は2種類の文字を使って式を2つ作らなければならないので、その分、難易度は高くなります。

でも、問題をたくさん解けば、だんだん式を作る力がついてくると思うので、頑張って問題をたくさん解きましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の文章題1

50円切手と80円切手を合わせて20枚買ったら、代金の合計は1180円であった。次の問いに答えなさい。

(1)50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)50円切手と80円切手をそれぞれ何枚買いましたか。

 

連立方程式の文章題1の解答

(1)50円切手を\(x\)枚、80円切手を\(y\)枚として、連立方程式をつくりなさい。

\(x\)と\(y\)を足したものが20に等しくなるので、

\(x+y=20\) ---①

という式が作れます。

次に、50円切手\(x\)枚の代金と80円切手\(y\)枚の代金を足したものが1180に等しくなるので、

\(50x+80y=1180\) ---②

という式が作れます。

ゆえに、①、②より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=20\\50x+80y=1180\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)50円切手と80円切手をそれぞれ何枚買いましたか。

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=20 ---①\\50x+80y=1180 ---②\end{array}\right.\)

(1)で作った連立方程式を解けば、それぞれの枚数が分かります。

代入法で解いた方が簡単なので、まず①の式を\(y=\)に変換(\(x=\)でも良い)すると、

\(y=-x+20\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(50x+80(-x+20)=1180\)

\(50x-80x+1600=1180\)

\(-30x=1180-1600\)

\(-30x=-420\)

\(x=14\)

となります。

③の式に\(x=14\)を代入すると、

\(y=-14+20\)

\(y=6\)

となります。

ゆえに、50円切手を14枚、80円切手を6枚買った事が分かります。

 

連立方程式の文章題2

2桁の自然数がある。この自然数の十の位の数は一の位の数の2倍より1大きく、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、もとの自然数より36小さくなる。

次の問いに答えなさい。

(1)もとの自然数の十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)もとの自然数を求めなさい。

 

連立方程式の文章題2の解答

(1)もとの自然数の十の位の数を\(x\)、一の位の数を\(y\)として、連立方程式をつくりなさい。

十の位の数は一の位の数の2倍より1大きいという事は、\(y\)の2倍に1を足したものが\(x\)と等しくなるので、

\(x=2y+1\) ---①

という式が作れます。

次に、もとの自然数を\(x\)と\(y\)を使って表すと、

\(10x+y\) ---②

となります。

次に、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、②の式の\(x\)と\(y\)を入れ替えたものなので、

\(10y+x\) ---③

となります。

③がもとの自然数より36小さいので、③に36を足せば②と等しくなるので、

\(10x+y=10y+x+36\) ---④

という式が作れます。

(別の考え方:もとの自然数の方が36大きいので、②から36を引いても構いません。36を右辺に移項すれば式は同じになります。)

ゆえに、①、④より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x=2y+1\\10x+y=10y+x+36\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)もとの自然数を求めなさい。

\(\left\{\begin{array}{l}x=2y+1 ---①\\10x+y=10y+x+36 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(10(2y+1)+y=10y+(2y+1)+36\)

\(20y+10+y=10y+2y+1+36\)

\(20y+y-10y-2y=37-10\)

\(9y=27\)

\(y=3\)

となります。

①の式に\(y=3\)を代入すると、

\(x=6+1\)

\(x=7\)

となります。

ゆえに、もとの自然数は

\(10x+y=70+3=73\)

となります。

 

連立方程式の文章題3

ある音楽会の入場料は、大人2人と中学生3人では6600円、大人3人と中学生8人では14100円になる。大人1人、中学生1人の入場料は、それぞれいくらになるか求めなさい。

 

連立方程式の文章題3の解答

大人1人の入場料を\(x\)円、中学生1人の入場料を\(y\)円とします。

大人2人と中学生3人で6600円という事は、\(2x\)と\(3y\)を足したものが6600に等しくなるので、

\(2x+3y=6600\) ---①

という式が作れます。

次に、大人3人と中学生8人では14100円なので、①の式と同様に考えると、

\(3x+8y=14100\) ---②

という式を作る事ができ、①、②より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}2x+3y=6600 ---①\\3x+8y=14100 ---②\end{array}\right.\)

となります。

加減法で計算するために、①の式を3倍、②の式を2倍すると

\(6x+9y=19800\) ---③

\(6x+16y=28200\) ---④

となります。

③-④の計算をするので、

\((6x+9y=19800)-(6x+16y=28200)\)となり、

\((6x+16y=28200)\)の部分は

\(-6x-16y=-28200\) ---⑤

となります。

後は③+⑤の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+9y=\;\;\;\;19800\)

\(+)\underline{-6x-16y=-28200}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-7y=-8400\)

 

となるので、

\(y=1200\)

となります。

①の式に\(y=1200\)を代入すると、

\(2x+3600=6600\)

\(2x=6600-3600\)

\(2x=3000\)

\(x=1500\)

となります。

ゆえに、大人1人の入場料は1500円、中学生1人の入場料は1200円になります。

 

連立方程式の文章題4

自動車で\(A\)町から\(150km\)離れた\(B\)町に行った。はじめに高速道路を時速\(80km\)で走り、途中から一般道路を時速\(40km\)で走り、全体で\(2\)時間\(30\)分かかった。

高速道路と一般道路を、それぞれ何\(km\)走ったか求めなさい。

 

連立方程式の文章題4の解答

高速道路を走った距離を\(xkm\)、一般道路を走った距離を\(ykm\)とすると、

\(x\)と\(y\)を足したものが\(150km\)に等しくなるので、

\(x+y=150\) ---①

という式が作れます。

次に、\(x\)と\(y\)を使って\(2\)時間\(30\)分と等しい式を作りたいので、

\(「時間=\frac{距離}{時速}」\)の式を使用すると、

高速道路を走った時間は

\(\frac{x}{80}\) ---②

となり、一般道路を走った時間は

\(\frac{y}{40}\) ---③

となります。

②と③を足した時間が\(2\)時間\(30\)分(\(\frac{150}{60}=2.5\))に等しくなるので、

\(\frac{x}{80}+\frac{y}{40}=2.5\) ---④

という式を作る事ができ、連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=150 ---①\\\frac{x}{80}+\frac{y}{40}=2.5 ---④\end{array}\right.\)

となります。

①の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=-x+150\) ---⑤

となります。

⑤の式を④の式に代入すると、

\(\frac{x}{80}-\frac{(x-150)}{40}=2.5\)

両辺に80を掛けると

\(80(\frac{x}{80}-\frac{(x-150)}{40})=200\)

\(x-2(x-150)=200\)

\(x-2x+300=200\)

\(-x=200-300\)

\(-x=-100\)

\(x=100\)

となります。

⑤の式に\(x=100\)を代入すると、

\(y=-100+150\)

\(y=50\)

となります。

ゆえに、高速道路を走った距離は\(100km\)、一般道路を走った距離は\(50km\)となります。

 

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