【中2数学】連立方程式の代入法 誰でもわかる詳しい解説

連立方程式の代入法

ここでは、代入法による連立方程式の解き方を勉強しましょう。

代入法とは、連立方程式の片方の方程式を、もう一方の方程式に代入し、解を求める方法です。

例1

\(\left\{\begin{array}{l}y=x+1 ---①\\2x+y=10 ---②\end{array}\right.\)

例1の①の式は\(y=\)の形になっているので、このまま②の式に代入できます。

どのように代入するかというと、②の式の中の\(y\)を①の式の右辺の\(x+1\)に置き換えます。

そうすると、\(y\)が消えるので\(x\)の値を求める事ができます。

置き換えると、

\(2x+(x+1)=10\)

\(2x+x+1=10\)

\(3x=10-1\)

\(3x=9\)

\(x=3\)

となります。

次に、①の式に\(x=3\)を代入すると、

\(y=3+1\)

\(y=4\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=3\)、\(y=4\)になります。

 

これが代入法による連立方程式の解き方です。

代入法は、どちらかの方程式が\(x=\)、\(y=\)の形になっている場合や、簡単に\(x=\)、\(y=\)の形に変換できる場合に有効な方法です。

では早速、代入法で練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の代入法の練習問題1

次の連立方程式を代入法で解きなさい。

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x=y-6\\3x+2y=2\end{array}\right.\)

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}x+4y=-9\\y=3x+1\end{array}\right.\)

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-9y=29\\x=4-y\end{array}\right.\)

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}2y=x-4\\7x-2y=40\end{array}\right.\)

 

(5)

\(\left\{\begin{array}{l}y=3x+6\\y=2-9x\end{array}\right.\)

 

連立方程式の代入法の練習問題1の解答

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x=y-6 ---①\\3x+2y=2 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(3(y-6)+2y=2\)

\(3y-18+2y=2\)

\(5y=2+18\)

\(5y=20\)

\(y=4\)

となります。

\(y=4\)を①の式に代入すると、

\(x=4-6\)

\(x=-2\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=4\)になります。

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}x+4y=-9 ---①\\y=3x+1 ---②\end{array}\right.\)

②の式を①の式に代入すると、

\(x+4(3x+1)=-9\)

\(x+12x+4=-9\)

\(13x=-9-4\)

\(13x=-13\)

\(x=-1\)

となります。

②の式に\(x=-1\)を代入すると、

\(y=-3+1\)

\(y=-2\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-1\)、\(y=-2\)になります。

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-9y=29 ---①\\x=4-y ---②\end{array}\right.\)

②の式を①の式に代入すると、

\(4(4-y)-9y=29\)

\(16-4y-9y=29\)

\(-13y=29-16\)

\(-13y=13\)

\(y=-1\)

となります。

②の式に\(y=-1\)を代入すると、

\(x=4+1\)

\(x=5\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=5\)、\(y=-1\)になります。

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}2y=x-4 ---①\\7x-2y=40 ---②\end{array}\right.\)

①の式を\(x=\)に変換すると、

\(x-4=2y\)

\(x=2y+4\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(7(2y+4)-2y=40\)

\(14y+28-2y=40\)

\(12y=40-28\)

\(12y=12\)

\(y=1\)

となります。

③の式に\(y=1\)を代入すると、

\(x=2+4\)

\(x=6\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=6\)、\(y=1\)になります。

 

(5)

\(\left\{\begin{array}{l}y=3x+6 ---①\\y=2-9x ---②\end{array}\right.\)

この問題は、どちらの式も\(y=\)になっているので、①を②に代入しても、②を①に代入しても構いません。

①の式を②の式に代入すると、

\(3x+6=2-9x\)

\(3x+9x=2-6\)

\(12x=-4\)

\(x=-\frac{1}{3}\)

となります。

①の式に\(x=-\frac{1}{3}\)を代入すると、

\(y=3×(-\frac{1}{3})+6\)

\(y=-1+6\)

\(y=5\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-\frac{1}{3}\)、\(y=5\)になります。

 

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