【中2数学】連立方程式の加減法の誰でもわかる詳しい解説

連立方程式の加減法

「連立方程式とその解」のところでは、与えられた解を方程式に代入し、その連立方程式の解になるかどうかを調べるやり方をしましたが、ここでは、いきなり連立方程式の解を求められる「加減法」の勉強をしたいと思います。

加減法は、2つの方程式を足し引きする事で文字のどちらかを消去し、解を求める方法です。

\(\left\{\begin{array}{l}x+5y=3 ---①\\3x-y=-7 ---②\end{array}\right.\)

例えば、上の連立方程式の場合だと、①の式は\(x\)のところが\(x\)、②の式は\(3x\)となっているので、①の式の\(x\)が\(3x\)になるように①の式を3倍します。

すると、

\(3x+15y=9\) ---③

となります。

次に、\((③-②)\)の計算をすれば\(x\)を消せるので、

\((3x+15y=9)-(3x-y=-7)\)となり、\((3x-y=-7)\)の部分は

\(-3x+y=7\) ---④

というように符号が変わります。

後は\((③+④)\)の計算をすればいいだけです。

下のように筆算にして縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x+15y=9\)

\(+)\underline{-3x+\;\;\;\;y=7}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;16y=16\)

 

となり、\(y=1\)となります。

次に、\(y=1\)を①の式に代入すると、

\(x+5=3\)

\(x=3-5\)

\(x=-2\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=1\)になります。

試しに、②の式にも\(y=1\)を代入してみると、

\(3x-1=-7\)

\(3x=-7+1\)

\(3x=-6\)

\(x=-2\)

となり、①、②のどちらの方程式も解が\(x=-2\)、\(y=1\)になる事が分かります。

 

これが連立方程式の加減法での解き方です。

では早速、加減法で連立方程式を解いてみましょう。

 

連立方程式の加減法の練習問題1

次の連立方程式を加減法で解きなさい。

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=8\\3(x-y)=x+1\end{array}\right.\)

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}3x-2y=13\\4(x-5)=3y\end{array}\right.\)

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}2(3x+y)=4x+y\\7x+2y=-6\end{array}\right.\)

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}7x-4y=5(x-2y)\\3x+8y=2\end{array}\right.\)

 

連立方程式の加減法の練習問題1の解答

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=8 ---①\\3(x-y)=x+1 ---②\end{array}\right.\)

まず、②の式のカッコを外すと、

\(3x-3y=x+1\)

\(3x-x-3y=1\)

\(2x-3y=1\) ---③

となります。

次に、\(x\)を合わせるために①の式を2倍すると

\(2x+2y=16\) ---④

となります。

次に、③-④(④-③でも良い)の計算をするので、

\((2x-3y=1)-(2x+2y=16)\)となり、

\((2x+2y=16)\)の部分は、

\(-2x-2y=-16\) ---⑤

となります。

後は、③+⑤の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-3y=\;\;\;\;1\)

\(+)\underline{-2x-2y=-16}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-5y=-15\)

 

となるので、

\(y=3\)

となります。

①の式に\(y=3\)を代入すると、

\(x+3=8\)

\(x=8-3\)

\(x=5\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=5\)、\(y=3\)になります。

この問題は\(x\)に合わせましたが、\(y\)に合わせても構いません。

ただ、数字が小さい方が計算が楽なので、数字が小さくなる方を選んで合わせるようにしましょう。

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}3x-2y=13 ---①\\4(x-5)=3y ---②\end{array}\right.\)

まず、②の式のカッコを外すと、

\(4x-20=3y\)

\(4x-3y=20\) ---③

となります。

次に、\(y\)を合わせるために①の式を3倍、③の式を2倍すると、

\(9x-6y=39\) ---④

\(8x-6y=40\) ---⑤

となります。

次に、④-⑤の計算をするので、

\((9x-6y=39)-(8x-6y=40)\)となり、

\((8x-6y=40)\)の部分は、

\(-8x+6y=-40\) ---⑥

となります。

後は、④+⑥の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;9x-6y=\;\;\;39\)

\(+)\underline{-8x+6y=-40}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\;\;\;\;\;\;\;-1\)

 

となります。

①の式に\(x=-1\)を代入すると、

\(-3-2y=13\)

\(-2y=13+3\)

\(-2y=16\)

\(y=-8\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-1\)、\(y=-8\)になります。

 

(3)

\(\left\{\begin{array}{l}2(3x+y)=4x+y ---①\\7x+2y=-6 ---②\end{array}\right.\)

まず、①の式のカッコを外すと、

\(6x+2y=4x+y\)

\(6x-4x+2y-y=0\)

\(2x+y=0\) ---③

となります。

次に、\(y\)を合わせるために③の式を2倍すると、

\(4x+2y=0\) ---④

となります。

次に、④-②の計算をするので、

\((4x+2y=0)-(7x+2y=-6)\)となり、

\((7x+2y=-6)\)の部分は、

\(-7x-2y=6\) ---⑤

となります。

後は、④+⑤の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x+2y=0\)

\(+)\underline{-7x-2y=6}\)

\(\;\;\;\;\;\;-3x\;\;\;\;\;\;=6\)

 

となるので、

\(x=-2\)

となります。

③の式が一番簡単なので、③の式に\(x=-2\)を代入すると、

\(-4+y=0\)

\(y=4\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=4\)になります。

 

(4)

\(\left\{\begin{array}{l}7x-4y=5(x-2y) ---①\\3x+8y=2 ---②\end{array}\right.\)

まず、①の式のカッコを外すと、

\(7x-4y=5x-10y\)

\(7x-5x-4y+10y=0\)

\(2x+6y=0\) ---③

となります。

次に、\(x\)を合わせるために②の式を2倍、③の式を3倍すると、

\(6x+16y=4\) ---④

\(6x+18y=0\) ---⑤

となります。

次に、④-⑤の計算をするので、

\((6x+16y=4)-(6x+18y=0)\)となり、

\((6x+18y=0)\)の部分は

\(-6x-18y=0\) ---⑥

となります。

後は、④+⑥の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+16y=4\)

\(+)\underline{-6x-18y=0}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2y=4\)

 

となるので、

\(y=-2\)

となります。

③の式に\(y=-2\)を代入すると、

\(2x-12=0\)

\(2x=12\)

\(x=6\)

となります。

ゆえに、この連立方程式の解は、\(x=6\)、\(y=-2\)になります。

 

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