【中2数学】連立方程式の難しい文章題 解き方を詳しく解説

連立方程式の難しい文章題

ここでは、少し難しい連立方程式の文章題を勉強しましょう。

パーセントや何割増し、時速や距離などが出てくると、少しややこしくなりますが、考え方が分かれば似たような問題には対応できるようになると思います。

できるだけ詳しく解説するので、頑張って解き方を身に付けましょう。

では早速、問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の文章題1

ある中学校の昨年度の入学者数は200人であった。今年度の入学者数は昨年度と比べて、男子が4%減り、女子が12%増えて、全体では2%増えた。次の問いに答えなさい。

(1)昨年度の男子の入学者数を\(x\)人、女子の入学者数を\(y\)人として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)今年度の男子と女子の入学者数は、それぞれ何人か求めなさい。

 

連立方程式の文章題1の解答

(1)昨年度の男子の入学者数を\(x\)人、女子の入学者数を\(y\)人として、連立方程式をつくりなさい。

昨年度の入学者数は合計で200人なので、\(x\)と\(y\)を足したものが200に等しくなるので、

\(x+y=200\) ---①

という式が作れます。

次に、今年度の男子の入学者数は昨年度より4%減ったので、今年度の男子の入学者数は

\(x-\frac{4}{100}x=\frac{100}{100}x-\frac{4}{100}x\)

\(=\frac{96}{100}x\) ---②

と表せます。

次に、今年度の女子の入学者数は昨年度より12%増えたので、今年度の女子の入学者数は

\(y+\frac{12}{100}y=\frac{100}{100}y+\frac{12}{100}y\)

\(=\frac{112}{100}y\) ---③

と表せます。

今年度の入学者数は昨年度より全体で2%増えたので、今年度の入学者数は

\(200×\frac{102}{100}=204\) ---④

となります。

②+③が④と等しいので、

\(\frac{96}{100}x+\frac{112}{100}y=204\) ---⑤

という式が作れます。

ゆえに、①、⑤より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=200\\\frac{96}{100}x+\frac{112}{100}y=204\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)今年度の男子と女子の入学者数は、それぞれ何人か求めなさい。

(1)の連立方程式を解き、\(x\)と\(y\)を求め、\(\frac{96}{100}x\)と\(\frac{112}{100}y\)に求めた\(x\)と\(y\)を代入すれば、今年度の男子と女子の入学者数が分かります。

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=200 ---①\\\frac{96}{100}x+\frac{112}{100}y=204 ---②\end{array}\right.\)

代入法で解くので、①の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=-x+200\) ---③

となります。

③の式を②の式に代入すると、

\(\frac{96}{100}x+\frac{112(-x+200)}{100}=204\)

両辺に100を掛けると

\(100(\frac{96}{100}x+\frac{112(-x+200)}{100})=20400\)

\(96x+112(-x+200)=20400\)

\(96x-112x+22400=20400\)

\(-16x=20400-22400\)

\(-16x=-2000\)

\(x=125\)

となります。

③の式に\(x=125\)を代入すると、

\(y=-125+200\)

\(y=75\)

となります。

ゆえに、今年度の男子と女子の入学者数は、

\(男子=\frac{96}{100}x=\frac{96}{100}×125=120\)

\(女子=\frac{112}{100}y=\frac{112}{100}×75=84\)

となります。

 

連立方程式の文章題2

ある商店では、2種類の商品\(A\)、\(B\)を、\(A\)は1個につき500円、\(B\)は1個につき400円で仕入れ、仕入れ値の合計は52000円であった。そして、\(A\)は仕入れ値の2割増し、\(B\)は仕入れ値の3割増しの定価をつけて売った。その結果、\(A\)は全て売れたが、\(B\)は5個売れ残り、利益は11000円であった。商品\(A\)、\(B\)を仕入れた個数は、それぞれ何個か求めなさい。

 

連立方程式の文章題2の解答

\(A\)を仕入れた個数を\(x\)、\(B\)を仕入れた個数を\(y\)とします。

\(A\)を1個500円で\(x\)個仕入れた値段と、\(B\)を1個400円で\(y\)個仕入れた値段の合計は52000円になるので、

\(500x+400y=52000\) ---①

という式が作れます。

次に、\(A\)を仕入れ値の2割増しで全て売った金額は

\(500×\frac{120}{100}×x=600x\) ---②

となり、\(B\)を仕入れ値の3割増しで売って5個売れ残った時の金額は

\(400×\frac{130}{100}×(y-5)=520(y-5)\) ---③

となります。

仕入れ値と利益の合計は

\(52000+11000=63000\) ---④

となり、②と③を足したものが④と等しくなるので、

\(600x+520(y-5)=63000\) ---⑤

という式が作れます。

ゆえに、①、⑤より、連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}500x+400y=52000 ---①\\600x+520(y-5)=63000 ---⑤\end{array}\right.\)

となります。

加減法で解くので、①の式を6倍、⑤の式を5倍すると

\(3000x+2400y=312000\) ---⑥

 

\(3000x+2600(y-5)=315000\)

\(3000x+2600y-13000=315000\)

\(3000x+2600y=315000+13000\)

\(3000x+2600y=328000\) ---⑦

となります。

⑥-⑦の計算をするので、

\((3000x+2400y=312000)-(3000x+2600y=328000)\)となり、

\((3000x+2600y=328000)\)の部分は

\(-3000x-2600y=-328000\) ---⑧

となります。

後は、⑥+⑧の計算をします。

縦に足し算すると、

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3000x+2400y=\;\;312000\)

\(+)\underline{-3000x-2600y=-328000}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-200y=-16000\)

 

となるので、

\(y=80\)

となります。

①の式に\(y=80\)を代入すると、

\(500x+32000=52000\)

\(500x=52000-32000\)

\(500x=20000\)

\(x=40\)

となります。

ゆえに、\(A\)を仕入れた個数は40個、\(B\)を仕入れた個数は80個になります。

 

連立方程式の文章題3

\(16km\)離れた\(A\)町と\(B\)町の間をバスが往復している。\(M\)さんは、自転車で午前9時に\(A\)町を出発して\(B\)町に向かった。途中、午前9時20分に、午前9時\(B\)町発\(A\)町行きのバスと出会い、午前9時45分に、午前9時30分\(A\)町発\(B\)町行きのバスに追い越された。次の問いに答えなさい。ただし、バスの速さも自転車の速さも一定であるものとする。

(1)自転車の速さを時速\(xkm\)、バスの速さを時速\(ykm\)として、連立方程式をつくりなさい。

 

(2)自転車の速さとバスの速さは、それぞれ時速何\(km\)になるか求めなさい。

 

連立方程式の文章題3の解答

(1)自転車の速さを時速\(xkm\)、バスの速さを時速\(ykm\)として、連立方程式をつくりなさい。

\(M\)さんは、午前9時20分に午前9時\(B\)町発\(A\)町行きのバスと出会っているので、\(M\)さんが20分間に進んだ距離は、

\(距離=時間×時速=\frac{20}{60}x\) ---①

となり、午前9時\(B\)町発\(A\)町行きのバスが20分間に進んだ距離は、

\(距離=時間×時速=\frac{20}{60}y\) ---②

となります。

①+②が\(16km\)と等しくなるので、

\(\frac{20}{60}x+\frac{20}{60}y=16\) ---③

という式が作れます。

次に、\(M\)さんは午前9時45分に、午前9時30分\(A\)町発\(B\)町行きのバスに追い越されたので、\(M\)さんが45分間に進んだ距離と午前9時30分\(A\)町発\(B\)町行きのバスが15分間に進んだ距離は等しくなるので、

\(\frac{45}{60}x=\frac{15}{60}y\) ---④

という式が作れます。

ゆえに、③、④より連立方程式は

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{20}{60}x+\frac{20}{60}y=16\\\frac{45}{60}x=\frac{15}{60}y\end{array}\right.\)

となります。

 

(2)自転車の速さとバスの速さは、それぞれ時速何\(km\)になるか求めなさい。

(1)の連立方程式を解けば、それぞれの時速が分かります。

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{20}{60}x+\frac{20}{60}y=16 ---①\\\frac{45}{60}x=\frac{15}{60}y ---②\end{array}\right.\)

代入法で解くので、②の式を\(y=\)に変換すると、

\(45x=15y\)

\(3x=y\)

\(y=3x\) ---③

となります。

③の式を①の式に代入すると、

\(\frac{20}{60}x+\frac{60}{60}x=16\)

\(\frac{80}{60}x=16\)

\(\frac{4}{3}x=16\)

\(x=16×\frac{3}{4}\)

\(x=12\)

となります。

③の式に\(x=12\)を代入すると、

\(y=3×12\)

\(y=36\)

となります。

ゆえに、自転車の速さは時速\(12km\)、バスの速さは時速\(36km\)になります。

 

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