【中2数学】連立方程式とグラフ 練習問題と誰でもわかる詳しい解答

連立方程式とグラフ

ここでは、連立方程式と1次関数の直線のグラフの関係について勉強しましょう。

連立方程式の解は、2つの直線のグラフの交点から求める事ができます。

それはなぜかと言うと、2つの直線のグラフの交点の\(x\)と\(y\)の値は同じだからです。

例えば、下の連立方程式の式①、②を\(y=\)に変換して2つのグラフをかいてみます。

\(\left\{\begin{array}{l}y-2x=1 ---①\\y-\frac{1}{2}x+2=0 ---②\end{array}\right.\)

①の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=2x+1\) ---③

②の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=\frac{1}{2}x-2\) ---④

③、④の式の直線のグラフをかくと下の図のようになります。

 

y=2x+1、y=x/2-2のグラフ
y=2x+1、y=x/2-2のグラフ

 

グラフを見ると、2つの直線の交点は点(-2、-3)だという事が分かります。

つまり、この連立方程式の解は、\(x=-2\)、\(y=-3\)という事になります。

逆に、連立方程式を解いて、2つの直線の交点を求める事もできます。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式とグラフの練習問題1

次の連立方程式の解を、グラフをかいて求めなさい。

(1)\(\left\{\begin{array}{l}x+y=-5\\2x-y=-4\end{array}\right.\)

 

(2)\(\left\{\begin{array}{l}x-2y+6=0\\3x+2y+10=0\end{array}\right.\)

 

連立方程式とグラフの練習問題1の解答

(1)\(\left\{\begin{array}{l}x+y=-5 ---①\\2x-y=-4 ---②\end{array}\right.\)

①、②の式を\(y=\)に変換すると、

\(y=-x-5\) ---③

 

\(-y=-2x-4\)

両辺を\(-1\)で割ると

\(y=-(-2x-4)\)

\(y=2x+4\) ---④

③、④の式のグラフをかきます。

y=-x-5、y=2x+4のグラフ
y=-x-5、y=2x+4のグラフ

 

グラフを見ると2つの直線の交点は、点(-3、-2)なので、連立方程式の解は

\(x=-3\)、\(y=-2\)になります。

 

(2)\(\left\{\begin{array}{l}x-2y+6=0 ---①\\3x+2y+10=0 ---②\end{array}\right.\)

①、②の式を\(y=\)に変換すると、

\(-2y=-x-6\)

両辺を\(-2\)で割ると

\(y=-\frac{1}{2}(-x-6)\)

\(y=\frac{1}{2}x+3\) ---③

 

\(2y=-3x-10\)

両辺を\(2\)で割ると

\(y=\frac{1}{2}(-3x-10)\)

\(y=-\frac{3}{2}x-5\) ---④

③、④の式のグラフをかきます。

y=x/2+3、y=-3x/2-5のグラフ
y=x/2+3、y=-3x/2-5のグラフ

 

グラフを見ると2つの直線の交点は、点(-4、1)なので、連立方程式の解は

\(x=-4\)、\(y=1\)になります。

 

連立方程式とグラフの練習問題2

図1で2直線\(ℓ\)、\(m\)の交点\(P\)の座標を、次の順で求めなさい。

(1)直線\(ℓ\)、\(m\)の式をそれぞれ求めなさい。

 

(2)点\(P\)の座標を求めなさい。

y=2x+4、y=-x/3+1のグラフ
図1

 

連立方程式とグラフの練習問題2の解答

(1)直線\(ℓ\)、\(m\)の式をそれぞれ求めなさい。

直線\(ℓ\)の切片は\(4\)で、\(y\)軸との交点から\(x\)の正方向に\(1\)、\(y\)の正方向に\(2\)行ったところに点がとれるので、傾きは\(2\)になります。

ゆえに、直線\(ℓ\)の式は

\(y=2x+4\)

になります。

直線\(m\)の切片は\(1\)で、\(y\)軸との交点から\(x\)の負の方向に\(3\)、\(y\)の正方向に\(1\)行ったところに点がとれるので、傾きは\(-\frac{1}{3}\)になります。

ゆえに、直線\(m\)の式は

\(y=-\frac{1}{3}x+1\)

になります。

 

(2)点\(P\)の座標を求めなさい。

グラフから点\(P\)の座標を読み取れないので、直線\(ℓ\)、\(m\)の連立方程式を解きます。

\(\left\{\begin{array}{l}y=2x+4 ---①\\y=-\frac{1}{3}x+1 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(2x+4=-\frac{1}{3}x+1\)

\(2x+\frac{1}{3}x=1-4\)

\(\frac{6}{3}x+\frac{1}{3}x=-3\)

\(\frac{7}{3}x=-3\)

両辺に\(\frac{3}{7}\)を掛けると

\(x=-3×\frac{3}{7}\)

\(x=-\frac{9}{7}\)

になります。

①の式に\(x=-\frac{9}{7}\)を代入すると、

\(y=2×(-\frac{9}{7})+4\)

\(y=-\frac{18}{7}+\frac{28}{7}\)

\(y=\frac{10}{7}\)

となります。

ゆえに、点\(P\)の座標は、(\(-\frac{9}{7}\)、\(\frac{10}{7}\))になります。

 

連立方程式とグラフの練習問題3

次の問いに答えなさい。

(1)直線\(y=3x-1\)と直線\(y=-x+7\)の交点を通り、傾きが\(-2\)の直線の式を求めなさい。

 

(2)3直線\(y=x+1\)、\(y=-2x-5\)、\(y=ax-2\)が1点で交わるような\(a\)の値を求めなさい。

 

連立方程式とグラフの練習問題3の解答

(1)直線\(y=3x-1\)と直線\(y=-x+7\)の交点を通り、傾きが\(-2\)の直線の式を求めなさい。

直線\(y=3x-1\)と直線\(y=-x+7\)の連立方程式の解を求め、\(y=ax+b\)の式に代入すれば、傾きが\(-2\)の直線の式を求める事ができます。

\(\left\{\begin{array}{l}y=3x-1 ---①\\y=-x+7 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(3x-1=-x+7\)

\(3x+x=7+1\)

\(4x=8\)

\(x=2\)

となります。

①の式に\(x=2\)を代入すると、

\(y=6-1\)

\(y=5\)

になります。

\(y=ax+b\)の式に\(x=2\)、\(y=5\)、\(a=-2\)を代入すると、

\(5=-2×2+b\)

\(-b=-4-5\)

\(-b=-9\)

\(b=9\)

となります。

ゆえに、求める式は

\(y=-2x+9\)

となります。

 

(2)3直線\(y=x+1\)、\(y=-2x-5\)、\(y=ax-2\)が1点で交わるような\(a\)の値を求めなさい。

2直線\(y=x+1\)と\(y=-2x-5\)が交わる点は1つしかないので、この2直線の解を求め、

\(y=ax-2\)の式に代入すれば、3直線が1点で交わる\(a\)の値を求める事ができます。

\(\left\{\begin{array}{l}y=x+1 ---①\\y=-2x-5 ---②\end{array}\right.\)

①の式を②の式に代入すると、

\(x+1=-2x-5\)

\(x+2x=-5-1\)

\(3x=-6\)

\(x=-2\)

となります。

①の式に\(x=-2\)を代入すると、

\(y=-2+1\)

\(y=-1\)

となります。

\(y=ax-2\)の式に\(x=-2\)、\(y=-1\)を代入すると、

\(-1=-2a-2\)

\(2a=-2+1\)

\(2a=-1\)

\(a=-\frac{1}{2}\)

となります。

 

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