【中2数学】連立方程式とその解 練習問題と誰でもわかる解答

連立方程式とその解

連立方程式(れんりつほうていしき)とは、下記のように2つ(またはそれ以上)の方程式を組み合わせたものを言います。

\(\left\{\begin{array}{l}y=x+1 ---①\\2x+y=10 ---②\end{array}\right.\)

この連立方程式は、2元1次方程式を2つ組み合わせたものです。

・2元 → 2種類の文字が入っている

・1次 → 次数1

 

そして、連立方程式のどの方程式も成り立たせる文字の値の組を、その「連立方程式の解」と言い、その解を求める事を「連立方程式を解く」と言います。

どの方程式も成り立たせる文字の値の組というのは、上の連立方程式のどちらの方程式にも共通する\(x\)と\(y\)の値の事です。

上の連立方程式の解は、\(x=3\)、\(y=4\)ですが、この解の\(x=3\)を上の両方の方程式に代入してみると、

\(y=x+1\) ---①

\(y=3+1\)

\(y=4\)

\(2x+y=10\) ---②

\(6+y=10\)

\(y=10-6\)

\(y=4\)

となり、どちらの解も\(x=3\)、\(y=4\)になる事が分かります。

ゆえに、\(x=3\)、\(y=4\)は、どちらの方程式も成り立たせる文字の値の組なので、この連立方程式の解になります。

 

これらの事を踏まえて連立方程式の練習問題を解いてみましょう。

 

連立方程式の練習問題1

次の問いに答えなさい。

\(x-y=7\)を成り立たせる\(x\)、\(y\)の値の組を求め、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5
\(y\)

 

連立方程式の練習問題1の解答

\(x-y=7\)を成り立たせる\(x\)、\(y\)の値の組を求め、表を完成させなさい。

\(x\) 0 1 2 3 4 5
\(y\) -7 -6 -5 -4 -3 -2

\(x-y=7\)に\(x=0\)から\(x=5\)を順に代入すると、

\(0-y=7\)

\(y=-7\) ---\(x=0\)の時

 

\(1-y=7\)

\(y=-6\) ---\(x=1\)の時

 

\(2-y=7\)

\(y=-5\) ---\(x=2\)の時

 

\(3-y=7\)

\(y=-4\) ---\(x=3\)の時

 

\(4-y=7\)

\(y=-3\) ---\(x=4\)の時

 

\(5-y=7\)

\(y=-2\) ---\(x=5\)の時

 

連立方程式の練習問題2

次の\(x\)、\(y\)の値の組のうち、それぞれの連立方程式の解を選び、記号で答えなさい。

(ア)\(x=2\)、\(y=1\)     (イ)\(x=2\)、\(y=-1\)

(ウ)\(x=-2\)、\(y=1\)    (エ)\(x=-2\)、\(y=-1\)

 

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+5y=3\\3x-y=-7\end{array}\right.\)

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-y=9\\2x+3y=1\end{array}\right.\)

 

連立方程式の練習問題2の解答

(1)

\(\left\{\begin{array}{l}x+5y=3\\3x-y=-7\end{array}\right.\)

(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)が成り立つかどうか1つずつ調べていきます。

(ア)\(x=2\)、\(y=1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=2\)を代入すると、

\(2+5y=3\)

\(5y=3-2\)

\(5y=1\)

\(y=\frac{1}{5}\)となり、\(x=2\)、\(y=1\)が成り立たないので(ア)は解ではないという事になります。

 

(イ)\(x=2\)、\(y=-1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=2\)を代入した場合、\(y=\frac{1}{5}\)になる事が(ア)で分かっているので、(イ)は解ではないという事になります。

 

(ウ)\(x=-2\)、\(y=1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=-2\)を代入すると、

\(-2+5y=3\)

\(5y=3+2\)

\(5y=5\)

\(y=1\)となり、\(x=-2\)、\(y=1\)が成り立ちます。

次に、\(3x-y=-7\)に\(x=-2\)を代入すると、

\(-6-y=-7\)

\(-y=-7+6\)

\(-y=-1\)

\(y=1\)となり、\(x=-2\)、\(y=1\)が成り立ちます。

ゆえに、(ウ)の\(x=-2\)、\(y=1\)は、どちらの方程式も成り立たせる値の組になります。

 

(エ)\(x=-2\)、\(y=-1\)の場合

\(x+5y=3\)に\(x=-2\)を代入した場合、\(y=1\)になる事が(ウ)で分かっているので、(エ)は解ではないという事になります。

 

ゆえに、(1)の連立方程式の解は(ウ)になります。

 

(2)

\(\left\{\begin{array}{l}4x-y=9\\2x+3y=1\end{array}\right.\)

(1)と同様に(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)が成り立つかどうか1つずつ調べていきます。

(ア)\(x=2\)、\(y=1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=2\)を代入すると、

\(8-y=9\)

\(-y=9-8\)

\(-y=1\)

\(y=-1\)となり、\(x=2\)、\(y=1\)が成り立たないので(ア)は解ではないという事になります。

 

(イ)\(x=2\)、\(y=-1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=2\)を代入すると、\(y=-1\)になる事が(ア)で分かっているので、

\(x=2\)、\(y=-1\)が成り立つ事が分かります。

次に、\(2x+3y=1\)に\(x=2\)を代入すると、

\(4+3y=1\)

\(3y=1-4\)

\(3y=-3\)

\(y=-1\)となり、\(x=2\)、\(y=-1\)が成り立ちます。

ゆえに、(イ)の\(x=2\)、\(y=-1\)は、どちらの方程式も成り立たせる値の組になります。

 

(ウ)\(x=-2\)、\(y=1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=-2\)を代入すると、

\(-8-y=9\)

\(-y=9+8\)

\(-y=17\)

\(y=-17\)となり、\(x=-2\)、\(y=1\)が成り立たないので(ウ)は解ではないという事になります。

 

(エ)\(x=-2\)、\(y=-1\)の場合

\(4x-y=9\)に\(x=-2\)を代入すると、\(y=-17\)になる事が(ウ)で分かっているので、

(エ)は解ではないという事になります。

 

ゆえに、(2)の連立方程式の解は(イ)になります。

 

連立方程式の練習問題3

次の連立方程式のうち、解が\(x=4\)、\(y=-2\)であるものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\-x+y=2\end{array}\right.\)

 

(イ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=6\\3x+2y=8\end{array}\right.\)

 

(ウ)

\(\left\{\begin{array}{l}2x-3y=14\\4x-y=6\end{array}\right.\)

 

(エ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-4y=12\\x+4y=-4\end{array}\right.\)

 

連立方程式の練習問題3の解答

(ア)から順番に調べていきます。

 

(ア)

\(\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\-x+y=2\end{array}\right.\)

\(x+y=2\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4+y=2\)

\(y=2-4\)

\(y=-2\)となります。

次に、\(-x+y=2\)に\(x=4\)を代入すると、

\(-4+y=2\)

\(y=2+4\)

\(y=6\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立たないので、(ア)の解は\(x=4\)、\(y=-2\)ではないという事になります。

 

(イ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=6\\3x+2y=8\end{array}\right.\)

\(x-y=6\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4-y=6\)

\(-y=6-4\)

\(-y=2\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

次に、\(3x+2y=8\)に\(x=4\)を代入すると、

\(12+2y=8\)

\(2y=8-12\)

\(2y=-4\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

ゆえに、(イ)の連立方程式の解は\(x=4\)、\(y=-2\)になります。

 

(ウ)

\(\left\{\begin{array}{l}2x-3y=14\\4x-y=6\end{array}\right.\)

\(2x-3y=14\)に\(x=4\)を代入すると、

\(8-3y=14\)

\(-3y=14-8\)

\(-3y=6\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

次に、\(4x-y=6\)に\(x=4\)を代入すると、

\(16-y=6\)

\(-y=6-16\)

\(-y=-10\)

\(y=10\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立たないので(ウ)の解は\(x=4\)、\(y=-2\)ではないという事になります。

 

(エ)

\(\left\{\begin{array}{l}x-4y=12\\x+4y=-4\end{array}\right.\)

\(x-4y=12\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4-4y=12\)

\(-4y=12-4\)

\(-4y=8\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立ちます。

次に、\(x+4y=-4\)に\(x=4\)を代入すると、

\(4+4y=-4\)

\(4y=-4-4\)

\(4y=-8\)

\(y=-2\)となり、\(x=4\)、\(y=-2\)が成り立つので、(エ)の連立方程式の解は\(x=4\)、\(y=-2\)になります。

 

ゆえに、解が\(x=4\)、\(y=-2\)になるのは(イ)、(エ)になります。

 

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