目次
三角形の合同条件と証明
・三角形の合同条件
三角形の合同条件には下記の3つがあり、3つのうちの1つが成り立てば、2つの三角形は合同になります。
条件1：3組の辺がそれぞれ等しい。
条件2：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
条件3：1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
この合同条件を覚えていないと合同を証明できないので、必ず覚えるようにしましょう。
・証明
証明問題を解くコツは、等しい線分や等しい角度には、図中に印を書き込んでいく事です。
そして、最初に「△〇〇〇と△▢▢▢において」と書きます。
次に、～なので、「✕✕＝◎◎」というように、等しい線分や等しい角度を1つずつ文章で書いていきます。
合同条件がそろったら「～がそれぞれ等しいから」と合同条件を書き、
最後に「△〇〇〇≡△▢▢▢」と書けば、三角形の合同の証明は終わりです。
応用問題になると、図の中に直線を追加したりしないと解けない問題もあります。
そういう問題が解けるかどうかは、そのポイントに気付けるかどうかで決まると思います。
ポイントに気付けるようになるためには、色々な問題をたくさん解く事が大切なので、頑張って問題をたくさん解くようにしましょう。
では早速、練習問題を解いてみましょう。
三角形の合同条件と証明の練習問題１
下図のように、線分\(AB\)と\(CD\)が点\(O\)で交わっている。
\(OA＝OB\)、\(OC＝OD\)ならば、\(AC\;\)//\(\;DB\)である事を証明する。
▢には当てはまる記号を、（ ）には三角形の合同条件を書きなさい。
【証明】\(△OAC\)と\(△OBD\)において、
仮定から、\(OA＝OB\) －－－①
\(OC＝\)▢ －－－②
対頂角は等しいから、\(∠AOC＝∠\)▢ －－－③
①、②、③より（ ）がそれぞれ等しいから、
\(△\)▢\(≡△OBD\)
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから、
\(∠OAC＝∠\)▢
従って、錯角が等しいから、\(AC\;\)//\(\;DB\)
三角形の合同条件と証明の練習問題１の解答
▢の中に入るのは、順に
\(OD\)、\(BOD\)、\(OAC\)、\(OBD\)
になります。
（ ）の中に入るのは
2組の辺とその間の角
になります。
三角形の合同条件と証明の練習問題２
下図のように、円\(A\)と円\(B\)が2点\(C\)、\(D\)で交わっている。点\(A\)と\(B\)、\(C\)、\(D\)をそれぞれ結ぶ時、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線である事を証明しなさい。
三角形の合同条件と証明の練習問題２の解答
二等分線というのは、角を二等分する直線の事です。
上図のように、点\(B\)と\(C\)を結ぶ線分\(BC\)と、点\(B\)と\(D\)を結ぶ線分\(BD\)を引くと、\(△ABC\)と\(△ABD\)ができます。
\(△ABC\)と\(△ABD\)において、
線分\(AC\)と線分\(AD\)は、どちらも円\(A\)の半径なので、
\(AC＝AD\) －－－①
になります。
線分\(BC\)と線分\(BD\)は、どちらも円\(B\)の半径なので、
\(BC＝BD\) －－－②
になります。
線分\(AB\)は、どちらの三角形にも共通の線分 －－－③
①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので、
\(△ABC≡△ABD\)
になります。
\(∠BAC＝∠BAD\)なので、
ゆえに、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線になります。
三角形の合同条件と証明の練習問題３
下図で、四角形\(ABCD\)、四角形\(ECFG\)はどちらも正方形である。点\(B\)と\(E\)、点\(D\)と\(F\)をそれぞれ結ぶ時、\(△EBC≡△FDC\)である事を証明する。▢には当てはまる記号や数を、（ ）には三角形の合同条件を書きなさい。
【証明】\(△EBC\)と\(△FDC\)において、
正方形の4つの辺の長さは等しいから、
\(BC＝\)▢ －－－①
▢\(＝FC\) －－－②
\(∠ECB＝\)▢°\(－∠ECD\) －－－③
\(∠FCD＝90°－∠\)▢ －－－④
③、④から、\(∠ECB＝∠FCD\) －－－⑤
①、②、⑤より、（ ）がそれぞれ等しいから、
\(△EBC≡△FDC\)
三角形の合同条件と証明の練習問題３の解答
▢の中に入るのは、順に
\(DC\)、\(EC\)、\(90\)、\(ECD\)
になります。
（ ）の中に入るのは
2組の辺とその間の角
になります。
三角形の合同条件と証明の練習問題４
下図で、四角形\(ABCD\)は\(AD\;\)//\(\;BC\)の台形である。辺\(DC\)の中点を\(M\)とし、直線\(AM\)と辺\(BC\)の延長との交点を\(E\)とする。この時、\(AD＝EC\)である事を証明しなさい。
三角形の合同条件と証明の練習問題４の解答
まず、\(△AMD\)と\(△EMC\)が合同である事を証明します。
\(△AMD\)と\(△EMC\)において、
\(M\)は辺\(DC\)の中点なので、
\(DM＝CM\) －－－①
になります。
対頂角は等しいので、
\(∠AMD＝∠EMC\) －－－②
になります。
\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、
\(∠ADM＝∠ECM\) －－－③
になります。
①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
\(△AMD≡△EMC\)
となります。
ゆえに、
\(AD＝EC\)
になります。
三角形の合同条件と証明の練習問題５
下図のように、線分\(AB\)上に点\(C\)をとり、線分\(AC\)を1辺とする正三角形\(DAC\)と、線分\(CB\)を1辺とする正三角形\(ECB\)をつくる。\(AE\)、\(DB\)の交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。
（1）\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。
（2）\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。
三角形の合同条件と証明の練習問題５の解答
（1）\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。
\(△ACE\)と\(△DCB\)において、
\(△DAC\)と\(△ECB\)はどちらも正三角形なので、
\(AC＝DC\) －－－①
\(CE＝CB\) －－－②
になります。
正三角形の1つの内角は\(60°\)なので、
\(∠ACE＝180°－60°＝120°\)
\(∠DCB＝180°－60°＝120°\)
となるので、
\(∠ACE＝∠DCB\) －－－③
になります。
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
\(△ACE≡△DCB\)
になります。
（2）\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。
\(∠DFA\)は\(∠AFB\)の外角になるので、
\(∠DFA＝∠FAB＋∠FBA\)
になります。
\(∠FAB＝∠BDC＝∠FBE\)なので、
\(∠DFA＝∠FBA＋∠FBE＝60°\)
になります。