【中2数学】三角形の合同条件と証明 練習問題と詳しい解答

三角形の合同条件と証明

・三角形の合同条件

三角形の合同条件には下記の3つがあり、3つのうちの1つが成り立てば、2つの三角形は合同になります。

条件1:3組の辺がそれぞれ等しい。

条件2:2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

条件3:1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

この合同条件を覚えていないと合同を証明できないので、必ず覚えるようにしましょう。

 

・証明

証明問題を解くコツは、等しい線分や等しい角度には、図中に印を書き込んでいく事です。

そして、最初に「△〇〇〇と△▢▢▢において」と書きます。

次に、~なので、「✕✕=◎◎」というように、等しい線分や等しい角度を1つずつ文章で書いていきます。

合同条件がそろったら「~がそれぞれ等しいから」と合同条件を書き、

最後に「△〇〇〇≡△▢▢▢」と書けば、三角形の合同の証明は終わりです。

 

応用問題になると、図の中に直線を追加したりしないと解けない問題もあります。

そういう問題が解けるかどうかは、そのポイントに気付けるかどうかで決まると思います。

ポイントに気付けるようになるためには、色々な問題をたくさん解く事が大切なので、頑張って問題をたくさん解くようにしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題1

下図のように、線分\(AB\)と\(CD\)が点\(O\)で交わっている。

\(OA=OB\)、\(OC=OD\)ならば、\(AC\;\)//\(\;DB\)である事を証明する。

▢には当てはまる記号を、(  )には三角形の合同条件を書きなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題1の図

 

【証明】\(△OAC\)と\(△OBD\)において、

仮定から、\(OA=OB\) ---①

\(OC=\)▢ ---②

対頂角は等しいから、\(∠AOC=∠\)▢ ---③

①、②、③より(  )がそれぞれ等しいから、

\(△\)▢\(≡△OBD\)

合同な図形の対応する角の大きさは等しいから、

\(∠OAC=∠\)▢

従って、錯角が等しいから、\(AC\;\)//\(\;DB\)

 

三角形の合同条件と証明の練習問題1の解答

▢の中に入るのは、順に

\(OD\)、\(BOD\)、\(OAC\)、\(OBD\)

になります。

(  )の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題2

下図のように、円\(A\)と円\(B\)が2点\(C\)、\(D\)で交わっている。点\(A\)と\(B\)、\(C\)、\(D\)をそれぞれ結ぶ時、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線である事を証明しなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題2の図

 

三角形の合同条件と証明の練習問題2の解答

三角形の合同条件と証明の練習問題2の解答の図

二等分線というのは、角を二等分する直線の事です。

上図のように、点\(B\)と\(C\)を結ぶ線分\(BC\)と、点\(B\)と\(D\)を結ぶ線分\(BD\)を引くと、\(△ABC\)と\(△ABD\)ができます。

\(△ABC\)と\(△ABD\)において、

線分\(AC\)と線分\(AD\)は、どちらも円\(A\)の半径なので、

\(AC=AD\) ---①

になります。

線分\(BC\)と線分\(BD\)は、どちらも円\(B\)の半径なので、

\(BC=BD\) ---②

になります。

線分\(AB\)は、どちらの三角形にも共通の線分 ---③

①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABC≡△ABD\)

になります。

\(∠BAC=∠BAD\)なので、

ゆえに、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題3

下図で、四角形\(ABCD\)、四角形\(ECFG\)はどちらも正方形である。点\(B\)と\(E\)、点\(D\)と\(F\)をそれぞれ結ぶ時、\(△EBC≡△FDC\)である事を証明する。▢には当てはまる記号や数を、(  )には三角形の合同条件を書きなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題3の図

 

【証明】\(△EBC\)と\(△FDC\)において、

正方形の4つの辺の長さは等しいから、

\(BC=\)▢ ---①

▢\(=FC\) ---②

\(∠ECB=\)▢°\(-∠ECD\) ---③

\(∠FCD=90°-∠\)▢ ---④

③、④から、\(∠ECB=∠FCD\) ---⑤

①、②、⑤より、(  )がそれぞれ等しいから、

\(△EBC≡△FDC\)

 

三角形の合同条件と証明の練習問題3の解答

▢の中に入るのは、順に

\(DC\)、\(EC\)、\(90\)、\(ECD\)

になります。

(  )の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題4

下図で、四角形\(ABCD\)は\(AD\;\)//\(\;BC\)の台形である。辺\(DC\)の中点を\(M\)とし、直線\(AM\)と辺\(BC\)の延長との交点を\(E\)とする。この時、\(AD=EC\)である事を証明しなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題4の図

 

三角形の合同条件と証明の練習問題4の解答

まず、\(△AMD\)と\(△EMC\)が合同である事を証明します。

\(△AMD\)と\(△EMC\)において、

\(M\)は辺\(DC\)の中点なので、

\(DM=CM\) ---①

になります。

対頂角は等しいので、

\(∠AMD=∠EMC\) ---②

になります。

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠ADM=∠ECM\) ---③

になります。

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AMD≡△EMC\)

となります。

ゆえに、

\(AD=EC\)

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題5

下図のように、線分\(AB\)上に点\(C\)をとり、線分\(AC\)を1辺とする正三角形\(DAC\)と、線分\(CB\)を1辺とする正三角形\(ECB\)をつくる。\(AE\)、\(DB\)の交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題5の図

 

(1)\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。

 

(2)\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題5の解答

(1)\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。

\(△ACE\)と\(△DCB\)において、

\(△DAC\)と\(△ECB\)はどちらも正三角形なので、

\(AC=DC\) ---①

\(CE=CB\) ---②

になります。

正三角形の1つの内角は\(60°\)なので、

\(∠ACE=180°-60°=120°\)

\(∠DCB=180°-60°=120°\)

となるので、

\(∠ACE=∠DCB\) ---③

になります。

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ACE≡△DCB\)

になります。

 

(2)\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題5の解答の図

\(∠DFA\)は\(∠AFB\)の外角になるので、

\(∠DFA=∠FAB+∠FBA\)

になります。

\(∠FAB=∠BDC=∠FBE\)なので、

\(∠DFA=∠FBA+∠FBE=60°\)

になります。

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です