【中2数学】式の加法・減法 練習問題と誰でもわかる解答

式の加法・減法

・単項式とは?

単項式とは、文字と数字の乗法だけで作られた式の事を言います。

単項式の例は、

\(ax\)、\(3abx\)、\(5x^2\)、\(x\)、\(3\)

などとなり、文字だけ・数字だけも単項式になります。

 

・多項式とは?

多項式とは、単項式の和の形で表された式の事を言い、多項式の中の一つ一つの単項式が項になります。

多項式の例は、

\(x+2\)、\(2x^2+x+1\)、\(a^2+2ab^2-3ab\)

などとなります。

そして、\(a^2+2ab^2-3ab\)の多項式の場合、

\(a^2\)、\(2ab^2\)、\(-3ab\)の3つが項になります。

 

・単項式の次数

単項式では、掛けられている文字の数が次数となります。

例えば、\(3abx\)という単項式の場合は、

\(a×b×x\)の3つの文字が掛けられているので、次数は3となります。

\(5ab^2x^2\)という単項式の場合は、

\(a×b×b×x×x\)の5つの文字が掛けられているので、次数は5となります。

 

・多項式の次数

多項式の次数は、全ての項の中で最も次数が大きい項がその多項式の次数となります。

例えば、\(2a^2bx+ab^2+5b\)という多項式の場合は、

\(2a^2bx\)が\(a×a×b×x\)で次数が4となり、項の中で次数が一番大きいので、この多項式の次数は4となります。

 

単項式どうしの加法・減法

単項式は、文字の部分が全く同じであれば足し算(加法)・引き算(減法)をする事ができ、足し算・引き算をする事を「同類項(どうるいこう)をまとめる」と言います。

同類項というのは、\(3a^2b\)、\(2a^2b\)、\(a^2b\)のように文字の部分が全く同じ項の事を言い、これらの項は足し算・引き算をする事ができます。

例えば、\(3a^2b+2a^2b+a^2b\)という多項式の同類項をまとめると、

\(6a^2b\)となります。

なぜ、足し算・引き算ができるかというと、\(3a^2b\)、\(2a^2b\)、\(a^2b\)の中の\(a\)と\(b\)は値がいくらかは分かりませんが、\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)は同じ値だからです。

例えば、\(a=2\)、\(b=3\)だったとすると、

\(a^2b=2×2×3=12\)となりますね。

この\(12\)を\(3a^2b+2a^2b+a^2b\)の式に当てはめてみると、

\((3×12)+(2×12)+12\)

となり、\(12\)が6つある事が分かります。

これをまとめると、\(6×12\)となります。

この\(12\)を\(a^2b\)に置き換えると、

\(6a^2b\)となり、先ほどの答えと同じになります。

このような理由で、文字の部分が全く同じであれば、足し算・引き算をする事ができるんです。

これまで勉強してきた方程式でも、\(5x+2x=7x\)となっていましたよね。

これと同じです。

ただ、次数が増えてややこしく見えるだけです。

ただし、文字の部分が少しでも違っていると同類項にはならないので注意して下さい。

 

ここでは、多項式の加法・減法の勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

多項式の加法・減法の練習問題1

次の式の同類項をまとめなさい。

(1)\(5a+b+2a-3b\)

 

(2)\(3x-2y-8x-4y\)

 

(3)\(6x^2-5x+4x-2x^2\)

 

(4)\(b-3ab+9ab-4b\)

 

多項式の加法・減法の練習問題1の解答

(1)\(5a+b+2a-3b\)

\(5a\)と\(2a\)、\(b\)と\(-3b\)が同類項になるので、答えは

\(7a-2b\)

となります。

 

(2)\(3x-2y-8x-4y\)

\(3x\)と\(-8x\)、\(-2y\)と\(-4y\)が同類項になるので、答えは

\(-5x-6y\)

となります。

 

(3)\(6x^2-5x+4x-2x^2\)

\(6x^2\)と\(-2x^2\)、\(-5x\)と\(4x\)が同類項になるので、答えは

\(4x^2-x\)

となります。

 

(4)\(b-3ab+9ab-4b\)

\(-3ab\)と\(9ab\)、\(b\)と\(-4b\)が同類項になるので、答えは

\(6ab-3b\)

となります。

 

多項式の加法・減法の練習問題2

次の計算をしなさい。

(1)\((2x-y)+(3x+4y)\)

 

(2)\((a+2b-5)+(b-6a+3)\)

 

(3)\((3a+b)-(2a-5b)\)

 

(4)\((2x^2-x-8)-(4x-3-5x^2)\)

 

多項式の加法・減法の練習問題2の解答

(1)\((2x-y)+(3x+4y)\)

()を外すと

\(2x-y+3x+4y\)となり、後は同類項をまとめるだけなので、答えは

\(5x+3y\)

となります。

 

(2)\((a+2b-5)+(b-6a+3)\)

この問題も同様に計算すると、

\(a+2b-5+b-6a+3=-5a+3b-2\)

となります。

 

(3)\((3a+b)-(2a-5b)\)

この問題は()と()の間が\(-\)になっているので符号に注意して下さい。

()を外すと

\(3a+b-2a+5b\)

となるので、答えは

\(a+6b\)

となります。

 

(4)\((2x^2-x-8)-(4x-3-5x^2)\)

この問題も符号に注意が必要です。

()を外すと

\(2x^2-x-8-4x+3+5x^2\)

となるので、答えは

\(7x^2-5x-5\)

となります。

 

多項式の加法・減法の練習問題3

次の計算をしなさい。

(1)

\(\;\;\;\;7a-4b\)

\(\underline{+)a+3b}\)

 

(2)

\(\;\;\;\;\;\;2x-4y\)

\(\underline{-)9x-8y}\)

 

(3)

\(\;\;\;\;\;\;6a+5b-7\)

\(\underline{+)9a-3b+4}\)

 

(4)

\(\;\;\;\;\;\;2x^2-3x-4\)

\(\underline{-)4x^2+3x-2}\)

 

多項式の加法・減法の練習問題3の解答

(1)

\(\;\;\;\;7a-4b\)

\(\underline{+)a+3b}\)

 

この問題は、\((7a-4b)+(a+3b)\)という足し算です。

足し算なので\(a+3b\)の符号はそのままになるので、そのまま縦に足し算すると

 

\(\;\;\;\;7a-4b\)

\(\underline{+)a+3b}\)

\(\;\;\;\;8a-b\)

となります。

 

(2)

\(\;\;\;\;\;\;2x-4y\)

\(\underline{-)9x-8y}\)

 

この問題は引き算なので、下段の\(9x-8y\)は、\(-(9x-8y)\)となり、

\(-9x+8y\)

となります。後は縦に足し算するだけなので、

 

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-4y\)

\(\underline{+)-9x+8y}\)

\(\;\;\;\;\;\;-7x+4y\)

となります。

 

(3)

\(\;\;\;\;\;\;6a+5b-7\)

\(\underline{+)9a-3b+4}\)

 

この問題は足し算なので、そのまま縦に足し算すると、

 

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;6a+5b-7\)

\(\;\;\;\underline{+)9a-3b+4}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;15a+2b-3\)

となります。

 

(4)

\(\;\;\;\;\;\;2x^2-3x-4\)

\(\underline{-)4x^2+3x-2}\)

 

この問題は引き算なので、下段の\(4x^2+3x-2\)は、\(-(4x^2+3x-2)\)となり、

\(-4x^2-3x+2\)

となります。後は縦に足し算するだけなので、

 

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2-3x-4\)

\(\underline{+)-4x^2-3x+2}\)

\(\;\;\;\;\;\;-2x^2-6x-2\)

となります。

 

多項式の加法・減法の練習問題4

次の計算をしなさい。

(1)\((20x-15y)÷5\)

 

(2)\((4a+8b-6)÷(-2)\)

 

(3)\(\frac{x}{2}+\frac{x-2y}{4}\)

 

(4)\(\frac{3a-5b}{8}+\frac{2a+3b}{4}\)

 

多項式の加法・減法の練習問題4の解答

(1)\((20x-15y)÷5\)

\(20x\)と\(-15y\)の両方を\(5\)で割るので、

\(\frac{20x}{5}-\frac{15y}{5}=4x-3y\)

となります。

 

(2)\((4a+8b-6)÷(-2)\)

これも(1)と同様に計算すると、

\(-\frac{4a}{2}-\frac{8b}{2}+\frac{6}{2}=-2a-4b+3\)

となります。

 

(3)\(\frac{x}{2}+\frac{x-2y}{4}\)

通分すると

\(\frac{2x}{4}+\frac{x-2y}{4}\)

となるので、

\(\frac{2x+x-2y}{4}=\frac{3x-2y}{4}\)

となります。

 

(4)\(\frac{3a-5b}{8}+\frac{2a+3b}{4}\)

通分すると

\(\frac{3a-5b}{8}+\frac{2(2a+3b)}{8}\)

となるので、

\(\frac{3a-5b+2(2a+3b)}{8}\)

\(=\frac{3a-5b+4a+6b}{8}\)

\(=\frac{7a+b}{8}\)

となります。

 

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