【中2数学】証明とその仕組み 練習問題と分かりやすい解答

証明とその仕組み

・仮定と結論

「〇〇〇ならば、△△△である。」という事柄について、〇〇〇の部分を仮定と言い、

△△△の部分を結論と言います。

 

(例題)\(a=b\)、\(b=c\)ならば、\(a=c\)である。仮定と結論を答えなさい。

(解答)\(a=b\)、\(b=c\)だとすると、\(a=c\)が成り立つという意味です。

すなわち、\(a=b\)、\(b=c\)だと仮定すると、\(a=c\)という結論になるという事なので、答えは

仮定:\(a=b\)、\(b=c\)

結論:\(a=c\)

となります。

 

仮定と結論を答える問題は、難しく考えず、そのまま書くだけでOKです。

この事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

証明とその仕組みの練習問題1

次の事柄について、仮定と結論を答えなさい。

(1)\(A=B\)ならば、\(AC=BC\)である。

 

(2)\(x\)が6の約数ならば、\(x\)は12の約数である。

 

(3)\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)ならば、\(m\;\)⊥\(\;n\)である。

 

(4)△\(ABC\)で、\(∠A+∠B=80°\)ならば、△\(ABC\)は鈍角三角形である。

 

証明とその仕組みの練習問題1の解答

(1)\(A=B\)ならば、\(AC=BC\)である。

仮定:\(A=B\)

結論:\(AC=BC\)

になります。

 

(2)\(x\)が6の約数ならば、\(x\)は12の約数である。

仮定:\(x\)が6の約数

結論:\(x\)は12の約数

になります。

 

(3)\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)ならば、\(m\;\)⊥\(\;n\)である。

仮定:\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)

結論:\(m\;\)⊥\(\;n\)

になります。

 

(4)△\(ABC\)で、\(∠A+∠B=80°\)ならば、△\(ABC\)は鈍角三角形である。

仮定:\(∠A+∠B=80°\)

結論:△\(ABC\)は鈍角三角形

 

証明とその仕組みの練習問題2

下の図で、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)ならば、\(AB=CD\)である。次の問いに答えなさい。

証明とその仕組みの練習問題2の図

 

(1)仮定と結論を答えなさい。

 

(2)この事を証明するために、どの三角形とどの三角形が合同である事を証明すればいいか答えなさい。

 

(3)(2)を証明するために利用する図形の基本性質を、下の㋐~㋓から全て選び、記号で答えなさい。

㋐対頂角は等しい。      ㋑合同な図形の対応する角は等しい。

㋒平行線の同位角は等しい。  ㋓平行線の錯角は等しい。

 

証明とその仕組みの練習問題2の解答

(1)仮定と結論を答えなさい。

仮定:\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)

結論:\(AB=CD\)

になります。

 

(2)この事を証明するために、どの三角形とどの三角形が合同である事を証明すればいいか答えなさい。

これは、見たまんまで、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)ならば、\(AB=CD\)である事を証明するためには、\(△AEB\)と\(△DEC\)が合同である事を証明します。

 

(3)(2)を証明するために利用する図形の基本性質を、下の㋐~㋓から全て選び、記号で答えなさい。

与えられている条件は、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)です。

この与えられた条件を利用して\(△AEB\)と\(△DEC\)が合同である事を証明するには、

\(AE=DE\)を利用して「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」事を証明すればいいので、下図の\(∠a\)同士と\(∠b\)同士が等しい事が言えればOKです。

\(∠a\)は対頂角なので等しくなり、\(l\;\)//\(\;m\)なので、錯角\(∠b\)は等しくなります。

ゆえに、答えは㋐、㋓になります。

証明とその仕組みの練習問題2の解答の図

与えられた条件を利用して、どうすれば合同を証明できるかを考えるようにしましょう。

頭の中だけで考えず、図の中に等しい角などを記入していくと、当てはまる合同条件が見えてくると思います。

また、この問題を解くには、三角形の合同条件が必要なので、三角形と直角三角形の合同条件は必ず覚えておきましょう。

 

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