【中1数学】比例と反比例の利用 練習問題と誰でもわかる解答

比例と反比例の利用

ここでは、比例と反比例を利用して文章問題を解いてみたいと思います。

文章問題が苦手な方はたくさんいるかもしれませんが、文章問題が解けるようになるためには、とにかく「問題をたくさん解く事」、これに尽きると思います。

問題をたくさん解いているうちに、似たような問題には対応できるようになると思います。

最初は難しいかもしれませんが、問題をたくさん解いて少しずつ慣れていきましょう。

分からない問題をそのまま放置しておくのは良くないので、どうしても解けない問題がある場合は、学校の先生や友達、両親、塾の先生などに教えてもらって、1つずつクリアしていきましょう。

では早速、練習問題を解いていきましょう。

 

比例と反比例の利用の練習問題1

束になっている針金の重さをはかったら\(450g\)あった。同じ針金\(3m\)の重さをはかったら\(54g\)であった。これについて次の問いに答えなさい。

(1)針金\(xm\)の重さを\(yg\)として、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)束になっている針金の長さを求めなさい。

 

比例と反比例の利用の練習問題1の解答

(1)針金\(xm\)の重さを\(yg\)として、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

針金の長さが2倍、3倍となると当然、重さも2倍、3倍となるので、

比例の式\(y=ax\)が使用できます。

針金\(3m\)の重さが\(54g\)なので、\(y=ax\)に\(x=3\)、\(y=54\)を代入すると、

\(54=3a\)

\(a=18\)となります。

次に、\(y=ax\)に\(a=18\)を代入すると

\(y=18x\)

となります。

 

・もう1つの考え方

針金\(3m\)の重さが\(54g\)なので、針金\(1m\)の重さは

\(54÷3=18g\)

となります。

針金\(1m\)あたりの重さが\(18g\)なので、針金\(xm\)の重さが\(yg\)とすると、\(18g×xm\)が\(yg\)と等しくなるので、

\(y=18x\)

という関係が成り立ちます。

 

(2)束になっている針金の長さを求めなさい。

針金\(1m\)の重さは\(18g\)なので、(1)で求めた\(y=18x\)に\(y=450\)を代入すれば針金\(450g\)の長さが分かります。

ゆえに、

\(450=18x\)

\(x=25\)

となるので、束になっている針金の長さは\(25m\)となります。

 

比例と反比例の利用の練習問題2

歯車\(A\)と\(B\)がかみ合って回転している。歯車\(A\)の歯の数は\(60\)で、毎秒8回転している。歯車\(B\)の歯の数が\(40\)の時、\(B\)は毎秒何回転しているか求めなさい。

 

比例と反比例の利用の練習問題2の解答

歯の数が\(60\)の歯車\(A\)は\(1\)秒間に\(8\)回転しているので、歯車\(A\)が\(1\)秒間に歯車\(B\)とかみ合う歯の数は

\(60×8=480\)

となります。

歯車\(A\)と歯車\(B\)が\(1\)秒間にかみ合う歯の数は等しいので、歯車\(B\)の歯の数を\(x\)、歯車\(B\)の\(1\)秒間の回転数を\(y\)とすると、

\(xy=480\)

という関係が成り立ちます。

この式を\(y=\)に変換すると

\(y=\frac{480}{x}\) ---①

となります。

①の式に歯車\(B\)の歯の数\(40\)を代入すると、

\(y=\frac{480}{40}\)

\(y=12\)

となるので、歯車\(B\)は毎秒\(12\)回転している事になります。

 

比例と反比例の利用の練習問題3

比例と反比例の利用の練習問題3の図1
図1

 

兄と弟が同時に家を出発し、家から\(800m\)離れた書店に、兄は分速\(80m\)、弟は分速\(50m\)で歩いて行く。家を出発してから\(x\)分間に歩いた道のりを\(ym\)とする。

この時、兄の歩く様子をグラフに表すと、図1のようになる。次の問いに答えなさい。

(1)弟の歩く様子を図1に書きなさい。

 

(2)兄が書店に着いた時、弟は書店まであと何\(m\)のところにいるか求めなさい。

 

比例と反比例の利用の練習問題3の解答

比例と反比例の利用の練習問題3の解答の図1
図1

 

(1)弟の歩く様子を図1に書きなさい。

道のりが\(y\)なので、\(y=\)の式にするために「\(距離=速さ×時間\)」の式を使用します。

弟の歩く速さが分速\(50m\)なので、「\(距離=速さ×時間\)」の式に距離\(y\)、時間\(x\)、分速\(50m\)をそれぞれ代入すると、

\(y=50x\)

となるので、弟の歩く様子を表すグラフは\(y=50x\)になります。

 

(2)兄が書店に着いた時、弟は書店まであと何\(m\)のところにいるか求めなさい。

グラフを見れば、兄が書店に着いた時(\(800m\)地点)の弟の歩いた距離は\(500m\)という事が分かり、弟の書店までの残りの距離は

\(800-500=300m\)

という事がすぐに分かりますが、一応計算で求めてみたいと思います。

兄のグラフの式は\(y=80x\)なので、兄が\(800m\)離れた書店に着くまでにかかる時間は

\(800=80x\)

\(x=10\)

となり、\(10\)分だという事が分かります。

次に、\(y=50x\)の式に\(x=10\)を代入すると

\(y=50×10\)

\(y=500\)

となり、兄が書店に着いた時、弟は家から\(500m\)のところにいるので、

\(800-500=300\)

となり、兄が書店に着いた時、弟は書店まであと\(300m\)のところにいる事になります。

 

【中1数学】反比例のグラフの書き方 練習問題と誰でもわかる解答

反比例のグラフとは?

反比例のグラフは、反比例の式\(y=\frac{a}{x}\)(\(a\)は比例定数)をグラフに書いたものです。

比例のグラフと違い、反比例のグラフは1つの式につき、2つの曲線からなるので、「双曲線(そうきょくせん)」と呼ばれます。

例えば、\(y=\frac{8}{x}\)をグラフに表すと、下記のようになります。

 

y=8/xのグラフ
y=8/xのグラフ

 

比例のグラフは直線なので、座標の点を2つとればグラフを書く事ができますが、反比例のグラフは曲線なので、座標を何点も取らなければいけません。

\(y=\frac{8}{x}\)の場合だと、少なくとも(1、8)、(2、4)、(4、2)、(8、1)、(-1、-8)、(-2、-4)、(-4、-2)、(-8、-1)の8点の座標を取らなければグラフをキレイに書く事はできません。

また、反比例のグラフは、どんなにグラフを伸ばしても\(x\)軸や\(y\)軸につく事はなく、

\(y=\frac{a}{x}\)のグラフは\(x\)軸と\(y\)軸で区切られた部分の右上と左下、

\(y=-\frac{a}{x}\)のグラフは\(x\)軸と\(y\)軸で区切られた左上と右下にそれぞれ曲線がくるようになります。

 

ここでは、反比例のグラフの基本的な勉強をしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

反比例のグラフの練習問題1

次の(ア)~(エ)の式で表される\(x\)と\(y\)の関係のうち、グラフが双曲線であるものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)\(y=\frac{x}{3}\)

 

(イ)\(y=\frac{3}{x}\)

 

(ウ)\(y=3x+1\)

 

(エ)\(y=-\frac{5}{x}\)

 

反比例のグラフの練習問題1の解答

グラフが双曲線になるのは、\(y=\frac{a}{x}\)の反比例の関係にあるものです。

反比例は\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、どれがこのような関係になるのかを1つずつ調べていきます。

(ア)\(y=\frac{x}{3}\)の場合

\(x\)に1、2、3をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=\frac{1}{3}\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{2}{3}\)

\(x=3\)の時、\(y=1\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も2倍、3倍となるので(ア)は双曲線ではないという事になります。

 

(イ)\(y=\frac{3}{x}\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=3\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{3}{2}\)

\(x=3\)の時、\(y=1\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、(イ)のグラフは双曲線である事が分かります。

 

(ウ)\(y=3x+1\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=4\)

\(x=2\)の時、\(y=7\)

\(x=3\)の時、\(y=10\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(3\)ずつ増えるので、(ウ)は双曲線ではないという事になります。

 

(エ)\(y=-\frac{5}{x}\)

これも同様に調べると、

\(x=1\)の時、\(y=-5\)

\(x=2\)の時、\(y=-\frac{5}{2}\)

\(x=3\)の時、\(y=-\frac{5}{3}\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、(エ)のグラフは双曲線である事が分かります。

 

ゆえに、グラフが双曲線になるのは(イ)、(エ)となります。

 

反比例のグラフの練習問題2

次の(1)、(2)のグラフを図1に書きなさい。

(1)\(y=\frac{6}{x}\)

 

(2)\(y=-\frac{8}{x}\)

 

反比例のグラフの練習問題2の図1
図1

 

反比例のグラフの練習問題2の解答

反比例のグラフの練習問題2の解答の図1
図1

 

(1)\(y=\frac{6}{x}\)

座標の\(x\)、\(y\)が全て整数になるようにしたいので、\(x\)に1、2、3、6、-1、-2、-3、-6をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=6\)

\(x=2\)の時、\(y=3\)

\(x=3\)の時、\(y=2\)

\(x=6\)の時、\(y=1\)

\(x=-1\)の時、\(y=-6\)

\(x=-2\)の時、\(y=-3\)

\(x=-3\)の時、\(y=-2\)

\(x=-6\)の時、\(y=-1\)

となるので、それぞれの座標の点をグラフに取ればグラフを書く事ができます。

 

(2)\(y=-\frac{8}{x}\)

\(x\)に1、2、4、8、-1、-2、-4、-8をそれぞれ代入すると、

\(x=1\)の時、\(y=-8\)

\(x=2\)の時、\(y=-4\)

\(x=4\)の時、\(y=-2\)

\(x=8\)の時、\(y=-1\)

\(x=-1\)の時、\(y=8\)

\(x=-2\)の時、\(y=4\)

\(x=-4\)の時、\(y=2\)

\(x=-8\)の時、\(y=1\)

となるので、それぞれの座標の点をグラフに取ればグラフを書く事ができます。

 

反比例のグラフの練習問題3

図2の①、②は反比例のグラフである。それぞれ\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

反比例のグラフの練習問題3の図2
図2

 

反比例のグラフの練習問題3の解答

①、②は反比例のグラフなので、\(y=\frac{a}{x}\)の式を使用します。

・①の場合

グラフを見ると座標(2、4)を通っている事が分かるので、

\(y=\frac{a}{x}\)に\(x=2\)、\(y=4\)を代入すると、

\(4=\frac{a}{2}\)

\(a=8\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=8\)を代入すると、

\(y=\frac{8}{x}\)

となります。

今回は座標(2、4)を使用しましたが、座標(4、2)もグラフが通っているので、座標(4、2)を使用しても構いません。

どちらを使用しても答えは同じになります。

 

・②の場合

グラフを見ると座標(-1、4)を通っている事が分かるので、

\(y=\frac{a}{x}\)に\(x=-1\)、\(y=4\)を代入すると、

\(4=-a\)

\(a=-4\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=-4\)を代入すると、

\(y=-\frac{4}{x}\)

となります。

 

【中1数学】比例のグラフの書き方 練習問題と誰でもわかる解答

比例のグラフとは?

比例のグラフは、比例の式\(y=ax\)(\(a\)は比例定数)をグラフに書いたものです。

グラフは横軸が\(x\)、縦軸が\(y\)になります。

例えば、\(y=2x\)をグラフに表すと、下記のようになりますが、グラフを書くには、まず座標を求める必要があります。

y=2x

 

座標とは、グラフの線が通る点の事で、(\(x\)、\(y\))という書き方をします。

 

・\(y=2x\)の座標

\(y=2x\)の\(x\)に0、1、2、3をそれぞれ代入してみると、

\(x=0\)の時、\(y=0\)なので、座標は(0、0)となります。

\(x=1\)の時、\(y=2\)なので、座標は(1、2)となります。

\(x=2\)の時、\(y=4\)なので、座標は(2、4)となります。

\(x=3\)の時、\(y=6\)なので、座標は(3、6)となります。

\(x\)に-1、-2、-3を代入してもグラフは同じになります。

今回は4つの座標を求めてみましたが、\(y=ax\)の比例のグラフの場合は、必ず直線のグラフになるので、直線のグラフの場合は2つの座標を求めれば十分です。

ただし、座標が(0.5、1)のように小数になる場合は、2つの座標だけではグラフがキレイに書けない可能性があるので注意が必要です。

 

また、下図の座標(1、2)のように、\(x\)も\(y\)も整数になる点を探し、赤色の矢印のように、点までの\(x\)と\(y\)の値を数えるのも1つの方法です。

実は、これが\(y=ax\)の比例定数\(a\)(傾きとも言う)になるんです。

y=2xのグラフの拡大図

 

どういう事かというと、\(x\)軸、\(y\)軸の順に数えると、1、2となりますが、

1分の2というように数えます。

そうすると、\(\frac{2}{1}=2\)となり、このグラフの傾きは2だという事になります。

ゆえに、このグラフの式は

\(y=2x\)

という事になります。

 

比例のグラフは、\(y=ax\)の場合は右上がりのグラフになり、

\(y=-ax\)の場合は左上がりのグラフになる事を覚えておきましょう。

 

ここでは、比例のグラフの基本的な勉強をしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例のグラフの練習問題1

図1

 

次の問いに答えなさい。

(1)図1で、点A、B、C、Dの座標を求めなさい。

 

(2)図1に点E(2、-4)、点F(4、0)を示しなさい。

 

比例のグラフの練習問題1の解答

(1)図1で、点A、B、C、Dの座標を求めなさい。

点Aは、\(x\)が+3、\(y\)が+4なので、座標は(3、4)となります。

点Bは、\(x\)が-3、\(y\)が+2なので、座標は(-3、2)となります。

点Cは、\(x\)が-4、\(y\)が-3なので、座標は(-4、-3)となります。

点Dは、\(x\)が0、\(y\)が-2なので、座標は(0、-2)となります。

 

(2)図1に点E(2、-4)、点F(4、0)を示しなさい。

点E(2、-4)は、\(x\)が+2、\(y\)が-4なので、0から\(x\)軸の+方向に2、\(y\)軸の-方向に4進んだところが座標になります。

点F(4、0)は、\(x\)が+4、\(y\)が0なので、0から\(x\)軸の+方向に4進んだところが座標になります。

図1

 

比例のグラフの練習問題2

図2

 

次の(1)~(3)のグラフを図2に書きなさい。

(1)\(y=3x\)

 

(2)\(y=-x\)

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\)

 

比例のグラフの練習問題2の解答

 

図2

 

(1)\(y=3x\) ---図2の緑色のグラフ

\(y=3x\)の式の\(x\)に\(1\)を代入すると、\(y=3\)となり、グラフが座標(1、3)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=3x\)のグラフになります。

\(x\)に代入するのは\(2\)でも\(3\)でも構いませんが、できるだけ小さい整数の方が座標がグラフからはみ出す心配もないし、0から近いところの方が点も書きやすいと思います。

 

(2)\(y=-x\) ---図2の青色のグラフ

\(y=-x\)の\(x\)に\(1\)を代入すると、\(y=-1\)になるので、グラフが座標(1、-1)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=-x\)のグラフになります。

傾き(比例定数)が-の場合は、左上がりのグラフになります。

 

(3)\(y=-\frac{x}{2}\) ---図2の赤色のグラフ

\(y=-\frac{x}{2}\)の\(x\)に\(2\)を代入すると、\(y=-1\)となるので、グラフが座標(2、-1)を通る事が分かります。

後は、この座標と0を直線で結べば\(y=-\frac{x}{2}\)のグラフになります。

\(x\)に\(2\)を代入した理由は、\(x\)も\(y\)も整数にしたかったからです。

\(1\)を代入すると座標が(1、\(-\frac{1}{2}\))になり、グラフが少し書きにくくなります。

書けない事はないですが、\(x\)も\(y\)も整数の方が書きやすいと思います。

 

比例のグラフの練習問題3

図3

 

図3の①、②は比例のグラフである。次の問いに答えなさい。

(1)①、②のそれぞれについて、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の値が\(1\)増加すると、\(y\)の値はそれぞれどのように変化するか答えなさい。

 

比例のグラフの練習問題3の解答

(1)①、②のそれぞれについて、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

①、②は比例のグラフとあるので、\(y=ax\)の比例の式を使用します。

 

①のグラフは座標(1、2)を通る事が分かるので、

\(y=ax\)に\(x=1\)、\(y=2\)を代入すると、

\(2=a×1\)

となるので、

\(a=2\)となります。

次に\(a=2\)を\(y=ax\)に代入すると、

\(y=2x\)

となります。

 

②のグラフは座標(3、-2)を通る事が分かるので、

\(y=ax\)に\(x=3\)、\(y=-2\)を代入すると、

\(-2=3a\)

\(a=-\frac{2}{3}\)

となります。

次に\(a=-\frac{2}{3}\)を\(y=ax\)に代入すると、

\(y=-\frac{2}{3}x\)

となります。

 

(2)\(x\)の値が\(1\)増加すると、\(y\)の値はそれぞれどのように変化するか答えなさい。

①の\(y=2x\)の式に\(x=1\)を代入すると、

\(y=2\)

となります。

次に、\(x=2\)を代入すると、

\(y=4\)

となるので、①の式は\(x\)が\(1\)増加すると\(y\)は\(2\)増加する事が分かります。

 

②の\(y=-\frac{2}{3}x\)の式に\(x=1\)を代入すると、

\(y=-\frac{2}{3}\)

となります。

次に、\(x=2\)を代入すると、

\(y=-\frac{4}{3}\)

となるので、②の式は\(x\)が\(1\)増加すると\(y\)は\(\frac{2}{3}\)減少する事が分かります。

\(-\frac{2}{3}\)増加するという事は、\(\frac{2}{3}\)減少する事になります。

 

【中1数学】反比例とは?反比例の式の練習問題と誰でもわかる解答

反比例とは?

反比例(はんぴれい)とは、比例とは逆に一方の数が2倍、3倍となると、もう一方の数が\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるような関係にあるものを言います。

例えば、\(4m\)の長さのテープを\(x\)等分した時のテープ1本の長さを\(ym\)とした時の\(x\)と\(y\)の関係を表に表すと

\(x\)等分 1 2 3 4 5 6
\(ym\) 4 2 4/3 1 4/5 2/3

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えていくと\(y\)は逆に\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍になっている事が分かります。

このような関係にある時、「\(y\)は\(x\)に反比例する」と言います。

\(4m\)のテープを\(x\)等分した時のテープ1本の長さが\(ym\)の時、\(4m\)のテープを\(x\)で割ったものが\(y\)となるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{4}{x}\) ---①

となります。

この時、4を比例定数(ひれいていすう)と言います。

反比例の場合も比例定数と言うので、間違えないように注意して下さい。

ちなみに、先ほどの表を見ると、\(x=1\)の時は\(y=4\)となり、\(x=2\)の時は\(y=2\)となっていますが、それぞれの\(x\)と\(y\)を掛けると全て\(4\)になるので、

\(xy=4\)

という関係が成り立ちます。

この式の両辺を\(x\)で割って\(y=\)の形にすると

\(y=\frac{4}{x}\)

となり、①の式と同じになります。

つまり、違う式であっても式の作り方が間違っていなければ、式を変換すると同じ式になるという事です。

 

比例の場合は、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=ax\) ---比例の式(\(a\)は比例定数)

となりますが、

反比例の場合は、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=\frac{a}{x}\) ーーー反比例の式(\(a\)は比例定数)

となります。

 

ここでは、反比例の式の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

反比例の式の練習問題1

長さ\(24cm\)の針金を\(x\)等分する時、1本の長さを\(ycm\)とする。次の問いに答えなさい。

(1)\(x\)と\(y\)の関係を表した次の表を完成させなさい。

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(y\) 24

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(3)\(y\)は\(x\)に反比例すると言えるか答えなさい。

 

反比例の式の練習問題1の解答

(1)\(x\)と\(y\)の関係を表した次の表を完成させなさい。

長さ\(24cm\)の針金を2、3、4、5、6でそれぞれ割ると

\(\frac{24}{2}=12\)

\(\frac{24}{3}=8\)

\(\frac{24}{4}=6\)

\(\frac{24}{5}=4.8\)

\(\frac{24}{6}=4\)

となるので、

\(x\) 1 2 3 4 5 6
\(y\) 24 12 8 6 4.8 4

となります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

表を見ると、\(x\)が2倍、3倍となると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となっているので、

\(y=\frac{a}{x}\)より、

\(y=\frac{24}{x}\)

となります。

 

(3)\(y\)は\(x\)に反比例すると言えるか答えなさい。

(1)、(2)より、\(y\)は\(x\)に反比例すると言えます。

 

反比例の式の練習問題2

次の(1)、(2)について\(y\)を\(x\)の式で表し、\(y\)が\(x\)に反比例する事を示しなさい。

また、その比例定数も答えなさい。

(1)\(18km\)の道のりを、時速\(xkm\)の速さで進む時にかかる時間は\(y\)時間である。

 

(2)底辺が\(xcm\)、高さが\(ycm\)の三角形の面積が\(14cm^2\)である。

 

反比例の式の練習問題2の解答

(1)\(18km\)の道のりを、時速\(xkm\)の速さで進む時にかかる時間は\(y\)時間である。

時間が\(y\)なので、「\(時間=\frac{距離}{時速}\)」の式を使用します。

「\(時間=\frac{距離}{時速}\)」の式に距離\(18km\)、時速\(xkm\)、時間\(y\)をそれぞれ代入すると、

\(y=\frac{18}{x}\)

となります。

ゆえに、比例定数は\(18\)となり、\(x\)を2倍、3倍とすると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、\(y\)は\(x\)に反比例します。

 

(2)底辺が\(xcm\)、高さが\(ycm\)の三角形の面積が\(14cm^2\)である。

三角形の面積を求める式は、「\(面積=\frac{底辺×高さ}{2}\)」なので、

この式に底辺\(xcm\)、高さ\(ycm\)、面積\(14cm^2\)をそれぞれ代入すると、

\(14=\frac{xy}{2}\)

となります。

この式を\(y=\)に変換します。

まず、両辺を入れ替えると

\(\frac{xy}{2}=14\)

となり、\(y=\)にするために両辺に\(\frac{2}{x}\)を掛けると

\(\frac{xy}{2}×\frac{2}{x}=14×\frac{2}{x}\)

\(y=\frac{28}{x}\)

となります。

\(x\)を2倍、3倍とすると\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となるので、\(y\)は\(x\)に反比例する事が言えます。

また、比例定数は\(28\)となります。

 

反比例の式の練習問題3

\(y\)は\(x\)に反比例し、\(x=4\)の時、\(y=-9\)である。次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x=12\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

反比例の式の練習問題3の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(x\)に反比例するので、\(y=\frac{a}{x}\)の式をそのまま使用します。

\(x=4\)、\(y=-9\)を代入すると、

\(-9=\frac{a}{4}\)

\(\frac{a}{4}=-9\)

両辺に\(4\)を掛けるので

\(a=-36\)

となります。

次に、\(y=\frac{a}{x}\)に\(a=-36\)を代入すると、答えは

\(y=-\frac{36}{x}\)

となります。

 

(2)\(x=12\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

\(y=-\frac{36}{x}\)に\(x=12\)を代入すると、

\(y=-\frac{36}{12}\)

\(y=-3\)

となるので、\(x=12\)の時の\(y\)の値は\(-3\)となります。

 

【中1数学】比例とは?比例の式の練習問題と誰でもわかる解答

比例とは?

比例とは、一方の数を2倍、3倍とした時に、もう一方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるものを言います。

例えば、1個50円のみかんを1個、2個、3個と買った時の代金と個数の関係を表に表すと

個数(個) 1 2 3 4 5 6
代金(円) 50 100 150 200 250 300

となりますが、みかんの個数が2倍、3倍と増えると、代金も同じように2倍、3倍と増えているのが分かると思います。

このような関係にある時、個数と代金は「比例関係にある」と言い、「代金は個数に比例する」とも言います。

代金を\(y\)、個数を\(x\)とした場合、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=50x\)

となります。

この時、50を比例定数(ひれいていすう)と言います。

比例定数とは、比例する2つの量の間の関係式における定数の事です。

今回の場合は、みかん1個の値段が50円なので、比例定数は50となります。

 

おさらいすると、比例とは、一方の数を2倍、3倍とした時に、もう一方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるものを言い、

\(y\)が\(x\)に比例する時、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=ax\) (\(a\)は比例定数)

となります。

これが比例の式になるので、覚えておきましょう。

 

ここでは、比例の式の基本的な勉強をしたいと思います。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

比例の式の練習問題1

次の(1)、(2)について、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(y\)が\(x\)に比例する事を示しなさい。

また、その比例定数も答えなさい。

 

(1)\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(x\)本買った時、代金は\(y\)円である。

 

(2)底辺が\(10cm\)、高さが\(xcm\)の三角形の面積を\(ycm^2\)とする。

 

比例の式の練習問題1の解答

(1)\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(x\)本買った時、代金は\(y\)円である。

\(1\)本\(60\)円の鉛筆を\(1\)本、\(2\)本、\(3\)本と買うと、代金も同じように\(60\)円、\(120\)円、\(180\)円と増えていくので、代金が個数に比例する事が分かります。

代金が\(y\)、鉛筆の本数が\(x\)なので、

\(y=ax\)より

\(y=60x\)

となり、比例定数は\(60\)となります。

 

(2)底辺が\(10cm\)、高さが\(xcm\)の三角形の面積を\(ycm^2\)とする。

三角形の面積を求める式は、\(\frac{底辺×高さ}{2}\)なので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=\frac{10×x}{2}\)

\(y=5x\)

となり、\(y\)が\(x\)に比例する事が分かります。

また、比例定数は\(5\)となります。

 

比例の式の練習問題2

次の(ア)~(エ)の式で表される\(x\)と\(y\)の関係で、\(y\)が\(x\)に比例するものを全て選び、記号で答えなさい。

(ア)\(y=x+5\)

(イ)\(y=x\)

(ウ)\(y=\frac{x}{5}\)

(エ)\(y=\frac{5}{x}\)

 

比例の式の練習問題2の解答

\(y\)が\(x\)に比例するかどうか、1つずつ調べていきます。

(ア)\(y=x+5\)

\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=6\)

\(x=2\)の時、\(y=7\)

\(x=3\)の時、\(y=8\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えても\(y\)は同じように2倍、3倍とならないので、(ア)の式は\(y\)が\(x\)に比例しないという事になります。

 

(イ)\(y=x\)

(ア)と同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=1\)

\(x=2\)の時、\(y=2\)

\(x=3\)の時、\(y=3\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も同じように2倍、3倍となるので、(イ)の式は\(y\)が\(x\)に比例するという事になります。

 

(ウ)\(y=\frac{x}{5}\)

同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=\frac{1}{5}\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{2}{5}\)

\(x=3\)の時、\(y=\frac{3}{5}\)

となります。

分数なので分かりにくいかもしれませんが、

\(\frac{1}{5}=0.2\)、\(\frac{2}{5}=0.4\)、\(\frac{3}{5}=0.6\)となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)も同じように2倍、3倍と増えているので、(ウ)の式は\(y\)が\(x\)に比例するという事になります。

 

(エ)\(y=\frac{5}{x}\)

同様に、\(x\)に1、2、3と代入していくと、

\(x=1\)の時、\(y=5\)

\(x=2\)の時、\(y=\frac{5}{2}=2.5\)

\(x=3\)の時、\(y=\frac{5}{3}=1.67\)

となり、\(x\)が2倍、3倍と増えると\(y\)は逆に\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍と減っていくので、(エ)の式は\(y\)が\(x\)に比例しないという事になります。

 

ゆえに、\(y\)が\(x\)に比例する式は(イ)と(ウ)になります。

 

比例の式の練習問題3

\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=3\)の時、\(y=-9\)である。次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x=-6\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

 

比例の式の練習問題3の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y\)は\(x\)に比例するので、\(y=ax\)の式に\(x=3\)、\(y=-9\)を代入すると、

\(-9=3a\)

\(a=-3\)

となり、比例定数が求まります。

この比例定数を\(y=ax\)の式に代入すると、答えは

\(y=-3x\)

となります。

 

(2)\(x=-6\)の時の\(y\)の値を求めなさい。

(1)で求めた\(y=-3x\)の式に\(x=-6\)を代入すると、

\(y=-3×(-6)\)

\(y=18\)

となるので、\(x=-6\)の時の\(y\)の値は\(18\)となります。

 

比例の式の練習問題4

\(A\)町から\(48km\)離れた\(B\)町まで自転車で行く。自転車の速さを時速\(12km\)、\(A\)町を出発してからの時間を\(x\)時間、\(A\)町からの進んだ距離を\(ykm\)とする時、次の問いに答えなさい。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

 

(2)\(x\)の変域を、不等号を使って表しなさい。

 

比例の式の練習問題4の解答

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

距離を求める式は、「\(距離=時速×時間\)」なので、この式に時速\(12km\)と\(x\)時間を代入すると、求める式は

\(y=12x\)

となります。

 

(2)\(x\)の変域を、不等号を使って表しなさい。

\(48km\)離れた\(B\)町に行くのにかかる時間を求めます。

\(y=12x\)の式に\(y=48\)を代入すると、

\(48=12x\)

\(x=4\)

となるので、\(B\)町に行くのにかかる時間は\(4\)時間となります。

ゆえに、\(x\)の変域は、\(0\)時間から\(4\)時間となるので、不等号を使って表すと

\(0≦x≦4\)

となります。