【中2数学】特別な平行四辺形 練習問題と誰でもわかる解答

特別な平行四辺形

「正方形、長方形、ひし形、平行四辺形の定義」

正方形、長方形、ひし形、平行四辺形の4つの四角形には、それぞれ次のような定義があります。

・正方形:4つの角が全て直角で等しく、4つの辺の長さも全て等しい四角形。

正方形の定義の説明図

 

・長方形:4つの角が全て直角で等しい四角形。

長方形の定義の説明図

 

・ひし形:4つの辺の長さが全て等しい四角形。

大切なポイント:ひし形は平行四辺形の特別な場合なので、平行四辺形の「2組の向かい合う辺がそれぞれ平行」という性質も持っています。

ひし形の定義の説明図

 

・平行四辺形:2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形。

平行四辺形の定義の説明図

 

平行四辺形に「4つの角が全て等しい」という特徴を加えると長方形になり、「4つの辺の長さが全て等しい」という特徴を加えると、ひし形になります。

また、「4つの角が全て等しい」という特徴と「4つの辺の長さが全て等しい」という両方の特徴を加えると正方形になります。

 

「長方形とひし形の対角線の特徴」

・長方形:対角線の長さが等しい。

下図のように、長方形は2つの対角線の長さが等しくなります。

長方形の対角線の特徴の説明図

 

・ひし形:対角線が垂直に交わる。

下図のように、ひし形は2つの対角線が垂直に交わります。

ひし形の対角線の特徴の説明図

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

特別な平行四辺形の練習問題1

下図の四角形\(ABCD\)は正方形である。\(∠AEG=52°\)、\(∠EGC=80°\)である時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

特別な平行四辺形の練習問題1の図

 

特別な平行四辺形の練習問題1の解答

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、錯角は等しいので、

\(∠CDG=52°\)

になります。

\(52°+∠x=80°\)なので、

\(∠x=80°-52°=28°\)

になります。

\(∠EGF=100°\)なので、\(∠y\)は

\(∠y=360°-52°-90°-100°=118°\)

になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題2

下図の四角形\(ABCD\)はひし形で、\(AD=AE\)である。\(∠DAE=32°\)の時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

特別な平行四辺形の練習問題2の図

 

特別な平行四辺形の練習問題2の解答

\(AD=AE\)より、\(△AED\)は二等辺三角形なので、

\(∠AED=(180°-32°)÷2=74°\)

になります。

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、錯角は等しいので、

\(∠x=74°\)

になります。

\(AB=AD=AE\)より、\(△ABE\)は二等辺三角形なので、\(∠y\)は

\(∠y=(180°-74°)÷2=53°\)

になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題3

下図は、長方形\(ABCD\)を対角線\(AC\)で折り、点\(B\)が移った点を\(B´\)としたものである。\(B´C\)と\(AD\)の交点を\(E\)とする時、\(△EAC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

特別な平行四辺形の練習問題3の図

 

特別な平行四辺形の練習問題3の解答

折り返した角なので、

\(∠ECA=∠BCA\) ---①

になります。

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠EAC=∠BCA\) ---②

①、②より、\(∠ECA=∠EAC\)になり、2つの角が等しいので、

\(△EAC\)は二等辺三角形になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題4

下図で、四角形\(ABCD\)はひし形、\(△DEF\)は正三角形で、\(AD\;\)//\(\;EF\)である。\(A\)と\(E\)、\(C\)と\(F\)を結んだ時、\(AE=CF\)となる事を証明しなさい。

特別な平行四辺形の練習問題4の図

 

特別な平行四辺形の練習問題4の解答

\(△DAE\)と\(△DCF\)が合同である事を証明すれば、\(AE=CF\)となる事を証明できます。

\(△DAE\)と\(△DCF\)において、\(△DEF\)は正三角形なので、

\(DE=DF\) ---①

になります。

四角形\(ABCD\)はひし形なので、

\(DA=DC\) ---②

になります。

\(AD\;\)//\(\;EF\)より、錯角は等しいので、

\(∠ADE=∠DEF\)

正三角形は全ての角が\(60°\)で等しいので、

\(∠DEF=∠CDF\)となり、

\(∠ADE=∠CDF\) ---③

になります。

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△DAE≡△DCF\)

になります。

ゆえに、

\(AE=CF\)

になります。

 

【中2数学】平行四辺形になる条件 練習問題と誰でもわかる解答

平行四辺形になる条件

平行四辺形になる条件には次の5つがあり、どれかが成り立てば、その四角形は平行四辺形になります。

・条件1:2組の向かい合う辺が、それぞれ平行である。

平行四辺形になる条件の説明図1

 

・条件2:2組の向かい合う辺の長さが、それぞれ等しい。

平行四辺形になる条件の説明図2

 

・条件3:2組の向かい合う角が、それぞれ等しい。

平行四辺形になる条件の説明図3

 

・条件4:対角線がそれぞれの中点で交わる。

平行四辺形になる条件の説明図4

 

・条件5:1組の向かい合う辺の長さが等しく、平行である。

平行四辺形になる条件の説明図5

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

平行四辺形になる条件の練習問題1

四角形\(ABCD\)の対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。この四角形について、次のような条件がある時、常に平行四辺形になるものには〇を、そうとは限らないものには✕を書きなさい。

(1)\(AD\;\)//\(\;BC\)、\(AB=DC\)

(2)\(OA=OC\)、\(OB=OD\)

(3)\(OA=OC\)、\(AC\;\)⊥\(\;BD\)

(4)\(∠ADB=∠CBD\)、\(∠ABD=∠CDB\)

平行四辺形になる条件の練習問題1の図

 

平行四辺形になる条件の練習問題1の解答

(1)✕

\(AD\;\)//\(\;BC\)ですが、\(AD=BC\)ではないので、平行四辺形になるとは限りません。

 

(2)〇

対角線がそれぞれの中点で交わるので、平行四辺形になります。

 

(3)✕

\(OA=OC\)ですが、\(OB=OD\)ではないので、平行四辺形になるとは限りません。

 

(4)〇

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行になるので、平行四辺形になります。

 

平行四辺形になる条件の練習問題2

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)で、辺\(AD\)、\(BC\)上に\(DE=BF\)となるような点\(E\)、\(F\)をとる。点\(A\)と\(F\)、点\(C\)と\(E\)をそれぞれ結ぶ時、四角形\(AFCE\)は平行四辺形になる事を証明しなさい。

平行四辺形になる条件の練習問題2の図

 

平行四辺形になる条件の練習問題2の解答

\(AD\;\)//\(\;BC\)なので、

\(AE\;\)//\(\;FC\) ---①

になります。

\(AD=BC\)、\(DE=BF\)なので、

\(AE=FC\) ---②

になります。

①、②より、1組の向かい合う辺の長さが等しく平行なので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

平行四辺形になる条件の練習問題3

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)で、対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。\(O\)を通る直線を引き、辺\(AD\)、\(BC\)との交点をそれぞれ\(E\)、\(F\)とする。この時、四角形\(AFCE\)は平行四辺形である事を証明しなさい。

平行四辺形になる条件の練習問題3の図

 

平行四辺形になる条件の練習問題3の解答

\(△AOE\)と\(△COF\)が合同である事を証明すれば、四角形\(AFCE\)が平行四辺形である事を証明できます。

\(△AOE\)と\(△COF\)において、

\(AO=CO\) ---①

対頂角は等しいので、

\(∠AOE=∠COF\) ---②

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠OAE=∠OCF\) ---③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AOE≡△COF\)

になります。

ゆえに、

\(OE=OF\) ---④

①、④より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

「もう1つの解答」

\(△AOE≡△COF\)を証明後、

\(AE\;\)//\(\;CF\)、\(AE=CF\)より、

1組の向かい合う辺の長さが等しく平行なので、

四角形\(AFCE\)は平行四辺形になります。

 

【中2数学】平行四辺形の性質 練習問題と詳しい解答

平行四辺形の性質

下の図1のように、2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形の事を平行四辺形と言います。

平行四辺形の性質の説明図1
図1

 

平行四辺形には、次のような3つの性質があります。

・平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい。

平行四辺形の性質の説明図2

 

・平行四辺形の向かい合う角は等しい。

平行四辺形の性質の説明図3

 

・平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

平行四辺形の性質の説明図4

 

平行四辺形のこれらの性質を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

平行四辺形の性質の練習問題1

次の平行四辺形\(ABCD\)で、\(x\)、\(y\)の値をそれぞれ求めなさい。

(1)

平行四辺形の性質の練習問題1の(1)の図

 

 

(2)

平行四辺形の性質の練習問題1の(2)の図

 

平行四辺形の性質の練習問題1の解答

(1)

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、

\(∠x=50°\)

\(∠y=130°\)

になります。

 

(2)

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、

\(x=6cm\)

になります。

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(y=\frac{8}{2}=4cm\)

になります。

 

平行四辺形の性質の練習問題2

下図の平行四辺形\(ABCD\)で、辺\(BC\)の延長上に\(AE=BE\)となる点\(E\)をとり、\(AE\)と辺\(DC\)との交点を\(F\)とする。\(∠D=70°\)である時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

平行四辺形の性質の練習問題2の図

 

平行四辺形の性質の練習問題2の解答

平行四辺形の向かい合う角は等しいので、

\(∠B=70°\)

\(AE=BE\)より、\(△ABE\)は二等辺三角形なので、

\(∠x=70°\)

になります。

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、\(∠y\)は\(∠x\)の外角になるので、

\(∠y=180°-70°=110°\)

になります。

 

平行四辺形の性質の練習問題3

下図のように、平行四辺形\(ABCD\)の対角線\(AC\)と\(BD\)の交点を\(O\)とする。\(BD\)上に点\(E\)をとり、\(A\)と\(E\)を結ぶ。点\(C\)を通り、\(AE\)に平行な直線と\(BD\)との交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。

平行四辺形の性質の練習問題3の図

(1)\(△AEO≡△CFO\)である事を証明しなさい。

 

(2)(1)を利用して、\(△ABE≡△CDF\)である事を証明しなさい。

 

平行四辺形の性質の練習問題3の解答

(1)\(△AEO≡△CFO\)である事を証明しなさい。

\(△AEO\)と\(△CFO\)において、

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(AO=CO\) ---①

対頂角は等しいので、

\(∠AOE=∠COF\) ---②

\(AE\;\)//\(\;CF\)より、錯角は等しいので、

\(∠EAO=∠FCO\) ---③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AEO≡△CFO\)

になります。

 

(2)(1)を利用して、\(△ABE≡△CDF\)である事を証明しなさい。

\(△ABE\)と\(△CDF\)において、

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(OE=OF\)

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(BO=DO\)と\(OE=OF\)から、

\(BE=DF\) ---①

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(AE=CF\) ---②

\(AE\;\)//\(\;CF\)より、錯角は等しいので、

\(∠AEO=∠CFO\)となり、

\(∠AEB=∠CFD\) ---③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△CDF\)

になります。

 

「もう1つの解答」

\(△ABE\)と\(△CDF\)において、

\(△AEO≡△CFO\)より、

\(OE=OF\)

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるので、

\(BO=DO\)と\(OE=OF\)から、

\(BE=DF\) ---①

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、

\(AB=CD\) ---②

\(AB\;\)//\(\;CD\)より、錯角は等しいので、

\(∠ABE=∠CDF\) ---③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△CDF\)

になります。

 

【中2数学】直角三角形の合同 練習問題と誰でもわかる解答

直角三角形の合同

直角三角形とは、1つの角が直角(\(90°\))である三角形の事を言い、直角三角形の合同条件には次の2つがあります。

・条件1:直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

鋭角(えいかく)とは、直角より小さい角度の事です。

下図のように、斜辺と鋭角のどちらかがそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

直角三角形の合同条件の説明図1

 

 

・条件2:直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

下図のように、斜辺ともう一つの辺がそれぞれ等しければ、2つの直角三角形は合同になります。

直角三角形の合同条件の説明図2

 

この2つの条件のどちらかが成り立てば、2つの直角三角形は合同になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

直角三角形の合同の練習問題1

下の図で、合同な三角形の組を2組選び、記号で答えなさい。また、その時に使った合同条件を答えなさい。

直角三角形の合同の練習問題1の図

 

直角三角形の合同の練習問題1の解答

・1組目:㋐と㋔

合同条件:直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

 

・2組目:㋑と㋕

㋕の一番小さい内角は\(180°-90°-60°=30°\)になります。

合同条件:直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

 

直角三角形の合同の練習問題2

下の図で、四角形\(ABCD\)は正方形、\(△AEF\)は\(AE=AF\)の二等辺三角形である。この時、\(BE=DF\)である事を証明しなさい。

直角三角形の合同の練習問題2の図

 

直角三角形の合同の練習問題2の解答

\(△ABE\)と\(△ADF\)が合同である事を証明すれば、\(BE=DF\)である事を証明できます。

\(△ABE\)と\(△ADF\)において、

\(AE=AF\) ---①

四角形\(ABCD\)は正方形なので、

\(AB=AD\) ---②

\(∠ABE=∠ADF=90°\) ---③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABE≡△ADF\)

になります。

ゆえに、

\(BE=DF\)

となります。

 

直角三角形の合同の練習問題3

\(AB=AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の頂点\(B\)、\(C\)からそれぞれの対辺\(AC\)、\(AB\)に垂線を引き、\(AC\)、\(AB\)との交点を\(D\)、\(E\)とする。\(BD\)と\(CE\)との交点を\(P\)とする時、\(△PBC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

直角三角形の合同の練習問題3の図

 

直角三角形の合同の練習問題3の解答

\(△EBC\)と\(△DCB\)が合同である事を証明すれば、\(△PBC\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△EBC\)と\(△DCB\)において、

\(△ABC\)は二等辺三角形なので、

\(∠EBC=∠DCB\) ---①

\(∠BEC=∠CDB=90°\) ---②

\(BC\)は共通 ---③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、

\(△EBC≡△DCB\)

になります。

ゆえに、\(∠ECB=∠DBC\)となり、

\(∠PCB=∠PBC\)となるので、

\(△PBC\)は二等辺三角形になります。

 

【中2数学】二等辺三角形になる条件 練習問題と詳しい解答

二等辺三角形になる条件

二等辺三角形が成立する条件には、次の4つがあります。

・条件1:2つの角度が等しい三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図1
図1

 

・条件2:頂角の二等分線が底辺の中点を通る三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図2
図2

 

・条件3:頂角の二等分線が底辺と垂直に交わる三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図3
図3

 

・条件4:底辺の垂直二等分線が別の頂点を通る三角形は、二等辺三角形である。

二等辺三角形になる条件の説明図4
図4

 

これらが二等辺三角形になる条件ですが、この4つのうちの1つでも成り立てば二等辺三角形になります。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題1

下図のように、\(AB=AC\)である二等辺三角形\(ABC\)の辺\(AC\)上に点\(D\)をとる。点\(D\)を通り、辺\(AB\)に平行な直線と辺\(BC\)との交点を\(E\)とする。辺\(BC\)の延長上に\(BE=CF\)となる点\(F\)をとり、\(D\)と\(F\)を結ぶ時、次の問いに答えなさい。

二等辺三角形になる条件の練習問題1の図

(1)\(△DEC\)が二等辺三角形になる事を証明する。▢に当てはまる記号や数を書きなさい。

【証明】\(AB=AC\)だから、\(∠ABC=∠\)▢ ---①

\(AB\;\)//\(\;DE\)で、同位角は等しいから、\(∠ABC=∠\)▢ ---②

①、②から、\(∠DEC=∠\)▢

従って、▢つの角が等しいので、\(△DEC\)は二等辺三角形である。

 

(2)\(△DBF\)が二等辺三角形になる事を証明しなさい。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題1の解答

(1)\(△DEC\)が二等辺三角形になる事を証明する。▢に当てはまる記号や数を書きなさい。

▢の中に入るのは、順に

\(ACB\)、\(DEC\)、\(ACB\)、\(2\)

になります。

 

(2)\(△DBF\)が二等辺三角形になる事を証明しなさい。

\(△DBE\)と\(△DFC\)が合同である事を証明すれば、\(△DBF\)が二等辺三角形である事を証明できます。

\(△DBE\)と\(△DFC\)において、

\(BE=CF\) ---①

\(△DEC\)は二等辺三角形なので、

\(DE=DC\) ---②

になります。

\(∠DEC=∠DCE\)より、

\(∠DEB=∠DCF\) ---③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△DBE≡△DFC\)

になります。

ゆえに、\(∠DBE=∠DFC\)となるので、\(△DBF\)は二等辺三角形になります。

(「\(DB=DF\)なので、\(△DBF\)は二等辺三角形になる。」でも構いません。)

 

二等辺三角形になる条件の練習問題2

次の事柄の逆を答えなさい。また、それが正しいか、正しくないかを答えなさい。

(1)\(a\)が偶数、\(b\)が偶数ならば、\(ab\)は偶数である。

 

(2)2直線に1つの直線が交わる時、2直線が平行ならば、錯角は等しい。

 

(3)\(△ABC≡△DEF\)ならば、\(∠A=∠D\)、\(∠B=∠E\)、\(∠C=∠F\)である。

 

二等辺三角形になる条件の練習問題2の解答

(1)\(a\)が偶数、\(b\)が偶数ならば、\(ab\)は偶数である。

これの逆を言うと、「\(ab\)が偶数ならば、\(a\)は偶数、\(b\)は偶数である。」

になりますが、\(a\)が偶数、\(b\)が奇数でも\(ab\)は偶数になるので、これは正しくありません。

 

(2)2直線に1つの直線が交わる時、2直線が平行ならば、錯角は等しい。

これの逆を言うと、「2直線に1つの直線が交わる時、錯角が等しければ、2直線は平行である。」

になり、錯角が等しければ、2直線は平行になるので、これは正しいです。

 

(3)\(△ABC≡△DEF\)ならば、\(∠A=∠D\)、\(∠B=∠E\)、\(∠C=∠F\)である。

これの逆を言うと、「\(∠A=∠D\)、\(∠B=∠E\)、\(∠C=∠F\)ならば、\(△ABC≡△DEF\)である。」

になりますが、それぞれの内角が等しくても、それぞれの辺の長さが等しいとは限らないので、これは正しくありません。

 

【中2数学】二等辺三角形の性質 練習問題と詳しい解答

二等辺三角形の性質

2辺の長さが等しい三角形の事を二等辺三角形と言います。

下の図1は二等辺三角形を表した図で、\(AB=AC\)になります。

また、二等辺三角形は2つの底角(図中の\(∠a\))が等しくなり、二等辺三角形の頂角(図中の\(∠A\)が頂角)の二等分線は底辺を垂直に二等分します。

二等辺三角形の性質の説明図
図1

 

これが二等辺三角形の性質です。

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

二等辺三角形の性質の練習問題1

次の図で、同じ印をつけた辺は等しいとして、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

(1)

二等辺三角形の性質の練習問題1の(1)の図

 

(2)

二等辺三角形の性質の練習問題1の(2)の図

 

二等辺三角形の性質の練習問題1の解答

(1)

二等辺三角形は2つの底角が等しいので、

\(∠x=50°\)

になり、\(∠y\)は

\(∠y=180°-50°-50°=80°\)

になります。

 

(2)

二等辺三角形なので、

\(34°+∠x+∠x=180°\)

\(2∠x=180°-34°\)

\(2∠x=146°\)

\(∠x=73°\)

になります。

\(∠y\)は\(34°+73°\)になるので。

\(∠y=107°\)

になります。

 

二等辺三角形の性質の練習問題2

下の図で、\(AB=AC\)、\(BC=BD\)の時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

二等辺三角形の性質の練習問題2の図

 

二等辺三角形の性質の練習問題2の解答

\(AB=AC\)より、\(△ABC\)は二等辺三角形なので、\(∠ACB\)は

\(∠ACB=(180°-40°)÷2=70°\)になります。

\(BC=BD\)より、\(△BCD\)は二等辺三角形なので、

\(∠x=70°\)

になります。

\(∠CBD\)は

\(∠CBD=180°-70°-70°=40°\)

になるので、

\(∠y=70°-40°=30°\)

になります。

 

二等辺三角形の性質の練習問題3

二等辺三角形の性質の練習問題3の図

\(AB=AC\)である二等辺三角形\(ABC\)で、\(∠BAC\)の二等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とする。この時、\(BD=CD\)、\(AD⊥BC\)である事を証明する。▢には当てはまる記号や数を、(  )には三角形の合同条件を書きなさい。

【証明】\(△ABD\)と\(△ACD\)において、仮定から、

\(AB=\)▢ ---①

\(∠\)▢=\(∠CAD\) ---②

▢は共通 ---③

①、②、③より、(  )がそれぞれ等しいから、

\(△ABD≡△ACD\)

従って、\(BD=CD\)

\(∠ADB+∠ADC=180°\)だから、

\(∠ADB=∠ADC=\)▢\(°\)で、

\(AD⊥BC\)

 

二等辺三角形の性質の練習問題3の解答

▢の中に入るのは、順に

\(AC\)、\(BAD\)、\(AD\)、\(90\)

になります。

(  )の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。