【中2数学】三角形の合同条件と証明 練習問題と詳しい解答

三角形の合同条件と証明

・三角形の合同条件

三角形の合同条件には下記の3つがあり、3つのうちの1つが成り立てば、2つの三角形は合同になります。

条件1:3組の辺がそれぞれ等しい。

条件2:2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

条件3:1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

この合同条件を覚えていないと合同を証明できないので、必ず覚えるようにしましょう。

 

・証明

証明問題を解くコツは、等しい線分や等しい角度には、図中に印を書き込んでいく事です。

そして、最初に「△〇〇〇と△▢▢▢において」と書きます。

次に、~なので、「✕✕=◎◎」というように、等しい線分や等しい角度を1つずつ文章で書いていきます。

合同条件がそろったら「~がそれぞれ等しいから」と合同条件を書き、

最後に「△〇〇〇≡△▢▢▢」と書けば、三角形の合同の証明は終わりです。

 

応用問題になると、図の中に直線を追加したりしないと解けない問題もあります。

そういう問題が解けるかどうかは、そのポイントに気付けるかどうかで決まると思います。

ポイントに気付けるようになるためには、色々な問題をたくさん解く事が大切なので、頑張って問題をたくさん解くようにしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題1

下図のように、線分\(AB\)と\(CD\)が点\(O\)で交わっている。

\(OA=OB\)、\(OC=OD\)ならば、\(AC\;\)//\(\;DB\)である事を証明する。

▢には当てはまる記号を、(  )には三角形の合同条件を書きなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題1の図

 

【証明】\(△OAC\)と\(△OBD\)において、

仮定から、\(OA=OB\) ---①

\(OC=\)▢ ---②

対頂角は等しいから、\(∠AOC=∠\)▢ ---③

①、②、③より(  )がそれぞれ等しいから、

\(△\)▢\(≡△OBD\)

合同な図形の対応する角の大きさは等しいから、

\(∠OAC=∠\)▢

従って、錯角が等しいから、\(AC\;\)//\(\;DB\)

 

三角形の合同条件と証明の練習問題1の解答

▢の中に入るのは、順に

\(OD\)、\(BOD\)、\(OAC\)、\(OBD\)

になります。

(  )の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題2

下図のように、円\(A\)と円\(B\)が2点\(C\)、\(D\)で交わっている。点\(A\)と\(B\)、\(C\)、\(D\)をそれぞれ結ぶ時、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線である事を証明しなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題2の図

 

三角形の合同条件と証明の練習問題2の解答

三角形の合同条件と証明の練習問題2の解答の図

二等分線というのは、角を二等分する直線の事です。

上図のように、点\(B\)と\(C\)を結ぶ線分\(BC\)と、点\(B\)と\(D\)を結ぶ線分\(BD\)を引くと、\(△ABC\)と\(△ABD\)ができます。

\(△ABC\)と\(△ABD\)において、

線分\(AC\)と線分\(AD\)は、どちらも円\(A\)の半径なので、

\(AC=AD\) ---①

になります。

線分\(BC\)と線分\(BD\)は、どちらも円\(B\)の半径なので、

\(BC=BD\) ---②

になります。

線分\(AB\)は、どちらの三角形にも共通の線分 ---③

①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので、

\(△ABC≡△ABD\)

になります。

\(∠BAC=∠BAD\)なので、

ゆえに、線分\(AB\)は\(∠CAD\)の二等分線になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題3

下図で、四角形\(ABCD\)、四角形\(ECFG\)はどちらも正方形である。点\(B\)と\(E\)、点\(D\)と\(F\)をそれぞれ結ぶ時、\(△EBC≡△FDC\)である事を証明する。▢には当てはまる記号や数を、(  )には三角形の合同条件を書きなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題3の図

 

【証明】\(△EBC\)と\(△FDC\)において、

正方形の4つの辺の長さは等しいから、

\(BC=\)▢ ---①

▢\(=FC\) ---②

\(∠ECB=\)▢°\(-∠ECD\) ---③

\(∠FCD=90°-∠\)▢ ---④

③、④から、\(∠ECB=∠FCD\) ---⑤

①、②、⑤より、(  )がそれぞれ等しいから、

\(△EBC≡△FDC\)

 

三角形の合同条件と証明の練習問題3の解答

▢の中に入るのは、順に

\(DC\)、\(EC\)、\(90\)、\(ECD\)

になります。

(  )の中に入るのは

2組の辺とその間の角

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題4

下図で、四角形\(ABCD\)は\(AD\;\)//\(\;BC\)の台形である。辺\(DC\)の中点を\(M\)とし、直線\(AM\)と辺\(BC\)の延長との交点を\(E\)とする。この時、\(AD=EC\)である事を証明しなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題4の図

 

三角形の合同条件と証明の練習問題4の解答

まず、\(△AMD\)と\(△EMC\)が合同である事を証明します。

\(△AMD\)と\(△EMC\)において、

\(M\)は辺\(DC\)の中点なので、

\(DM=CM\) ---①

になります。

対頂角は等しいので、

\(∠AMD=∠EMC\) ---②

になります。

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠ADM=∠ECM\) ---③

になります。

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(△AMD≡△EMC\)

となります。

ゆえに、

\(AD=EC\)

になります。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題5

下図のように、線分\(AB\)上に点\(C\)をとり、線分\(AC\)を1辺とする正三角形\(DAC\)と、線分\(CB\)を1辺とする正三角形\(ECB\)をつくる。\(AE\)、\(DB\)の交点を\(F\)とする時、次の問いに答えなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題5の図

 

(1)\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。

 

(2)\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。

 

三角形の合同条件と証明の練習問題5の解答

(1)\(△ACE≡△DCB\)である事を証明しなさい。

\(△ACE\)と\(△DCB\)において、

\(△DAC\)と\(△ECB\)はどちらも正三角形なので、

\(AC=DC\) ---①

\(CE=CB\) ---②

になります。

正三角形の1つの内角は\(60°\)なので、

\(∠ACE=180°-60°=120°\)

\(∠DCB=180°-60°=120°\)

となるので、

\(∠ACE=∠DCB\) ---③

になります。

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△ACE≡△DCB\)

になります。

 

(2)\(∠DFA\)の大きさを求めなさい。

三角形の合同条件と証明の練習問題5の解答の図

\(∠DFA\)は\(∠AFB\)の外角になるので、

\(∠DFA=∠FAB+∠FBA\)

になります。

\(∠FAB=∠BDC=∠FBE\)なので、

\(∠DFA=∠FBA+∠FBE=60°\)

になります。

 

【中2数学】証明とその仕組み 練習問題と分かりやすい解答

証明とその仕組み

・仮定と結論

「〇〇〇ならば、△△△である。」という事柄について、〇〇〇の部分を仮定と言い、

△△△の部分を結論と言います。

 

(例題)\(a=b\)、\(b=c\)ならば、\(a=c\)である。仮定と結論を答えなさい。

(解答)\(a=b\)、\(b=c\)だとすると、\(a=c\)が成り立つという意味です。

すなわち、\(a=b\)、\(b=c\)だと仮定すると、\(a=c\)という結論になるという事なので、答えは

仮定:\(a=b\)、\(b=c\)

結論:\(a=c\)

となります。

 

仮定と結論を答える問題は、難しく考えず、そのまま書くだけでOKです。

この事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

証明とその仕組みの練習問題1

次の事柄について、仮定と結論を答えなさい。

(1)\(A=B\)ならば、\(AC=BC\)である。

 

(2)\(x\)が6の約数ならば、\(x\)は12の約数である。

 

(3)\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)ならば、\(m\;\)⊥\(\;n\)である。

 

(4)△\(ABC\)で、\(∠A+∠B=80°\)ならば、△\(ABC\)は鈍角三角形である。

 

証明とその仕組みの練習問題1の解答

(1)\(A=B\)ならば、\(AC=BC\)である。

仮定:\(A=B\)

結論:\(AC=BC\)

になります。

 

(2)\(x\)が6の約数ならば、\(x\)は12の約数である。

仮定:\(x\)が6の約数

結論:\(x\)は12の約数

になります。

 

(3)\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)ならば、\(m\;\)⊥\(\;n\)である。

仮定:\(l\;\)//\(\;m\)、\(l\;\)⊥\(\;n\)

結論:\(m\;\)⊥\(\;n\)

になります。

 

(4)△\(ABC\)で、\(∠A+∠B=80°\)ならば、△\(ABC\)は鈍角三角形である。

仮定:\(∠A+∠B=80°\)

結論:△\(ABC\)は鈍角三角形

 

証明とその仕組みの練習問題2

下の図で、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)ならば、\(AB=CD\)である。次の問いに答えなさい。

証明とその仕組みの練習問題2の図

 

(1)仮定と結論を答えなさい。

 

(2)この事を証明するために、どの三角形とどの三角形が合同である事を証明すればいいか答えなさい。

 

(3)(2)を証明するために利用する図形の基本性質を、下の㋐~㋓から全て選び、記号で答えなさい。

㋐対頂角は等しい。      ㋑合同な図形の対応する角は等しい。

㋒平行線の同位角は等しい。  ㋓平行線の錯角は等しい。

 

証明とその仕組みの練習問題2の解答

(1)仮定と結論を答えなさい。

仮定:\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)

結論:\(AB=CD\)

になります。

 

(2)この事を証明するために、どの三角形とどの三角形が合同である事を証明すればいいか答えなさい。

これは、見たまんまで、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)ならば、\(AB=CD\)である事を証明するためには、\(△AEB\)と\(△DEC\)が合同である事を証明します。

 

(3)(2)を証明するために利用する図形の基本性質を、下の㋐~㋓から全て選び、記号で答えなさい。

与えられている条件は、\(l\;\)//\(\;m\)、\(AE=DE\)です。

この与えられた条件を利用して\(△AEB\)と\(△DEC\)が合同である事を証明するには、

\(AE=DE\)を利用して「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」事を証明すればいいので、下図の\(∠a\)同士と\(∠b\)同士が等しい事が言えればOKです。

\(∠a\)は対頂角なので等しくなり、\(l\;\)//\(\;m\)なので、錯角\(∠b\)は等しくなります。

ゆえに、答えは㋐、㋓になります。

証明とその仕組みの練習問題2の解答の図

与えられた条件を利用して、どうすれば合同を証明できるかを考えるようにしましょう。

頭の中だけで考えず、図の中に等しい角などを記入していくと、当てはまる合同条件が見えてくると思います。

また、この問題を解くには、三角形の合同条件が必要なので、三角形と直角三角形の合同条件は必ず覚えておきましょう。

 

【中2数学】合同な図形と三角形の合同条件

合同な図形と三角形の合同条件

・合同な図形

合同な図形とは、全ての辺の長さと全ての角度が同じ図形の事を言います。

下の図1の\(△ABC\)と\(△DEF\)は、3つの辺の長さと3つの内角が全て同じ合同な図形です。

合同な図形の説明図
図1

 

このような合同な図形を表す場合、合同記号\(≡\)を使って

\(△ABC≡△DEF\)

と表します。

 

・三角形の合同条件

三角形の合同条件とは、2つの三角形が合同になるための条件で、次の3つの条件のいずれかが成り立てば、2つの三角形は合同になります。

条件1:3組の辺がそれぞれ等しい。

条件2:2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

条件3:1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

 

・直角三角形の合同条件

直角三角形の合同条件には次の2つがあります。

条件1:斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

条件2:斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

 

三角形と直角三角形の合同条件は、証明で必要になるので、必ず覚えるようにしましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題1

下の図で、四角形\(ABCD≡\)四角形\(EFGH\)である。次の問いに答えなさい。

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題1の図

(1)辺\(AD\)に対応する辺を答えなさい。

 

(2)辺\(GH\)の長さを求めなさい。

 

(3)\(∠B\)に対応する角を答えなさい。

 

(4)\(∠H\)の大きさを求めなさい。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題1の解答

(1)辺\(AD\)に対応する辺を答えなさい。

\(∠C=∠G=70°\)より、辺\(AD=\)辺\(EH\)、辺\(AB=\)辺\(EF\)、辺\(CD=\)辺\(GH\)、辺\(BC=\)辺\(FG\)だという事が分かるので、辺\(AD\)に対応する辺は辺\(EH\)になります。

 

(2)辺\(GH\)の長さを求めなさい。

(1)より、辺\(CD=\)辺\(GH\)なので

辺\(GH=5cm\)になります。

 

(3)\(∠B\)に対応する角を答えなさい。

(1)より、辺\(BC=\)辺\(FG\)なので

\(∠B\)に対応する角は、\(∠F\)になります。

 

(4)\(∠H\)の大きさを求めなさい。

(1)の辺\(AD=\)辺\(EH\)より、\(∠A=∠E=110°\)になるので、\(∠H\)は

\(∠H=360°-110°-80°-70°=100°\)

になります。

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題2

次の図で、合同な三角形の組を3組選び、記号\(≡\)を使って表しなさい。また、その時に使った合同条件を答えなさい。

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題2の図

 

合同な図形と三角形の合同条件の練習問題2の解答

・1組目

\(△ABC≡\)\(△ONM\)

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

 

・2組目

\(△DEF≡\)\(△PRQ\)

3組の辺がそれぞれ等しい。

 

・3組目

\(∠J\)は、\(180°-40°-85°=55°\)になります。

ゆえに、\(△GHI≡\)\(△LJK\)

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

 

【中2数学】多角形の内角と外角 練習問題と誰でもわかる解答

多角形の内角と外角

・多角形の内角の和

多角形の内角の和を求める場合は、「三角形の内角の和が180°になる」という事が分かっていれば求める事ができます。

下の図1は四角形と五角形を表したものですが、図のように内側に直線を引くと

四角形は三角形が2つ、五角形は三角形が3つできます。

つまり、四角形の内角の和は、\(180°×2=360°\)となり

五角形の内角の和は、\(180°×3=540°\)になります。

このように、多角形の内角の和は、角が1つ増えるごとに180°ずつ増えていきます。

多角形の内角の和の説明図
図1

 

多角形の内角の和を求める場合は、次の式を使うと便利です。

\(180°×(n-2)\) ---多角形の内角の和を求める式

三角形の場合は、この式の\(n\)に3を代入し、四角形の場合は4を代入すると内角の和を簡単に求める事ができます。

なぜ\((n-2)\)なのかと言うと、一角形と二角形はないので、三角形の3を代入した場合は1に、四角形の4を代入した場合には2になるようにしたいからです。

この式に実際に三角形の3と四角形の4を代入してみると

\(180°×(3-2)=180°×1=180°\) ---三角形の場合

\(180°×(4-2)=180°×2=360°\) ---四角形の場合

となります。

 

・正多角形の1つの内角

正多角形の1つの内角の求め方の説明図
図2

 

 

 

 

 

 

 

 

正多角形の1つの内角の大きさを求める場合は、

先ほどの\(180°×(n-2)\)の式を\(n\)で割れば求める事ができます。

\(\frac{180°×(n-2)}{n}\) ---正多角形の1つの内角を求める式

図2は正五角形ですが、この正五角形の1つの内角を求める場合、

上の式の\(n\)に5を代入すると求める事ができます。

実際に正五角形の5を\(n\)に代入してみると、

\(\frac{180°×(5-2)}{5}\)

\(=\frac{180°×3}{5}\)

\(=\frac{540°}{5}\)

\(=108°\)

となります。

 

・多角形の外角の和

多角形の外角の和は、何角形に関係なく、必ず360°になります。

 

・正多角形の1つの外角

多角形の外角の和は必ず360°になるので、

正方形の場合は

\(\frac{360°}{4}=90°\)

となり、

正六角形の場合は

\(\frac{360°}{6}=60°\)

になります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

多角形の内角と外角の練習問題1

次の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

(1)

多角形の内角と外角の練習問題1の(1)の図

 

(2)

多角形の内角と外角の練習問題1の(2)の図

 

多角形の内角と外角の練習問題1の解答

(1)

五角形なので、\(180°×(n-2)\)の式の\(n\)に5を代入すると内角の和は、

\(180°×(5-2)\)

\(=180°×3\)

\(=540°\)

になります。

ゆえに、\(∠x\)は

\(∠x=540°-105°-110°-95°-100°=130°\)

になります。

 

(2)

多角形の外角の和は360°になるので、\(∠x\)は

\(∠x=360°-55°-120°-105°=80°\)

になります。

 

多角形の内角と外角の練習問題2

次の問いに答えなさい。

(1)六角形の内角の和を求めなさい。

 

(2)正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

 

(3)正十二角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

 

(4)内角の和が1260°の多角形は何角形か答えなさい。

 

多角形の内角と外角の練習問題2の解答

(1)六角形の内角の和を求めなさい。

\(180°×(n-2)\)の式の\(n\)に6を代入すると、

\(180°×(6-2)\)

\(=180°×4\)

\(=720°\)

になります。

 

(2)正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

\(\frac{180°×(n-2)}{n}\)の式の\(n\)に8を代入すると、

\(\frac{180°×(8-2)}{8}\)

\(=\frac{180°×6}{8}\)

\(=\frac{1080°}{8}\)

\(=135°\)

になります。

 

(3)正十二角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

多角形の外角の和は360°なので、360°を12で割ると

\(\frac{360°}{12}=30°\)

になります。

 

(4)内角の和が1260°の多角形は何角形か答えなさい。

\(180°×(n-2)=1260°\)となるので、\(n\)の値を求めると

\(180°n-360°=1260°\)

\(180°n=1260°+360°\)

\(180°n=1620°\)

\(n=9\)

となるので、内角の和が1260°の多角形は九角形になります。

 

多角形の内角と外角の練習問題3

下の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

多角形の内角と外角の練習問題3の図

 

多角形の内角と外角の練習問題3の解答

多角形の内角と外角の練習問題3の解答の図

上図のように直線を引くと、

\(∠x=(35°+a)+(25°+b)\)

になります。

\(a+b=50°\)

なので、ゆえに\(∠x\)は

\(∠x=50°+35°+25°=110°\)

になります。

 

【中2数学】三角形の内角と外角 練習問題と誰でもわかる解答

三角形の内角と外角

・三角形の内角の和

三角形は、どんな形の三角形でも内角の和が必ず180°になります。

下の図1で説明すると、\(∠a+∠b+∠c=180°\)になるという事です。

三角形の内角の和の説明図
図1

 

 

 

 

 

 

・三角形の内角と外角の関係

三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しくなります。

図2でいうと、\(∠c\)の外角は、\(∠a+∠b\)に等しくなります。

三角形の内角と外角の関係の説明図1
図2

 

 

 

 

 

三角形の内角と外角の関係の説明図2
図3

 

 

 

 

これはなぜかと言うと、図3のように直線の角度(円の半分)が180°になるからです。

つまり、\(∠c\)の外角は

\(180°-∠c\)

になり、

\(∠a+∠b+∠c=180°\)なので、

\(∠a+∠b=180°-∠c\)

になります。

これは\(∠a\)の外角でも\(∠b\)の外角でも同じ関係が成り立ちます。

 

ここで必ず押さえておく重要なポイントは、

「三角形の内角の和は必ず\(180°\)になる」事と、

「直線の角度は\(180°\)になる」という2点です。

この2つのポイントさえ押さえておけば問題ありません。

 

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

三角形の内角と外角の練習問題1

次の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

(1)

三角形の内角と外角の練習問題1の(1)の図

 

 

 

 

 

 

(2)

三角形の内角と外角の練習問題1の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

三角形の内角と外角の練習問題1の(3)の図

 

 

 

 

 

 

(4)

三角形の内角と外角の練習問題1の(4)の図

 

 

三角形の内角と外角の練習問題1の解答

(1)

三角形の内角の和は180°なので、

\(∠x=180°-35°-80°=65°\)

になります。

 

(2)

この問題も同様に計算すると、

\(∠x=180°-90°-40°=50°\)

になります。

 

(3)

三角形の内角と外角の練習問題1の解答の(3)の図

 

 

 

 

\(∠a\)の外角\(∠x\)は\(30°+45°\)なので、

\(∠x=30°+45°=75°\)

になります。

 

(4)

\(50°+∠x=105°\)なので、

\(∠x=105°-50°=55°\)

になります。

 

三角形の内角と外角の練習問題2

下の図で、\(l\;\)//\(\;m\)の時、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

三角形の内角と外角の練習問題2の図

 

 

 

 

 

 

三角形の内角と外角の練習問題2の解答

三角形の内角と外角の練習問題2の解答の図

 

 

 

 

 

\(∠a\)は130°の同位角なので

\(∠a=130°\)

となります。

\(60°+∠x=130°\)なので、

\(∠x=130°-60°=70°\)

になります。

 

三角形の内角と外角の練習問題3

下の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

三角形の内角と外角の練習問題3の図

 

 

 

 

 

 

 

三角形の内角と外角の練習問題3の解答

 

三角形の内角と外角の練習問題3の解答の図

\(∠a\)は

\(∠a=180°-35°-50°=95°\)

となるので、

ゆえに、\(∠x\)は

\(∠x=180°-95°-40°=45°\)

になります。

 

【中2数学】平行線と角 練習問題と誰でもわかる解答

平行線と角

・対頂角

下の図1の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のように向かい合った角を対頂角(たいちょうかく)と言い、対頂角は等しくなります。

ポイント:対頂角は等しい。

対頂角の説明図
図1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・同位角

同位角(どういかく)とは、下の図2の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のように同じ位置にある角の事を言います。

また、図3のように\(l\;\)//\(\;m\)(\(l\)と\(m\)が平行)ならば、同位角は等しくなります。

ポイント:\(l\;\)//\(\;m\)ならば、同位角は等しくなる。

同位角の説明図1
図2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

同位角の説明図2
図3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・錯角

下の図4の\(a\)と\(a\)、\(b\)と\(b\)のような位置関係にある角の事を錯角(さっかく)と言います。

また、\(l\;\)//\(\;m\)ならば、錯角は等しくなります。

ポイント:\(l\;\)//\(\;m\)ならば、錯角は等しくなる。

錯角の説明図
図4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・平行線の条件

同位角のところでは、\(l\;\)//\(\;m\)ならば、同位角は等しいと説明しましたが、逆に同位角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)となります。

また、錯角が等しい場合も、\(l\;\)//\(\;m\)となります。

ポイント1:同位角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)

(図5の場合:\(∠a=∠b\)ならば、\(l\;\)//\(\;m\))

ポイント2:錯角が等しければ、\(l\;\)//\(\;m\)

(図5の場合:\(∠b=∠c\)ならば、\(l\;\)//\(\;m\))

平行線の条件の説明図
図5

 

この平行線と角の関係は、証明でも必要になるので、必ずマスターしておきましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

平行線と角の練習問題1

次の図で、∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めなさい。

(1)

平行線と角の練習問題1の(1)の図

 

(2)

平行線と角の練習問題1の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題1の解答

(1)

\(x\)は40°の対頂角なので、

\(∠x=40°\)

になります。

次に、\(85°+40°+y=180°\)なので、

\(y=180°-85°-40°=55°\)

になります。

 

(2)

\(x\)は75°の対頂角なので、

\(∠x=75°\)

になります。

次に、\(75°+y+2y=180°\)なので、

\(3y=180°-75°\)

\(3y=105°\)

ゆえに

\(∠y=35°\)

になります。

 

平行線と角の練習問題2

下の図で、次の角を記号を使って答えなさい。

(1)∠\(a\)の同位角

 

(2)∠\(g\)の同位角

 

(3)∠\(b\)の錯角

 

(4)∠\(e\)の錯角

平行線と角の練習問題2の図

 

 

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題2の解答

(1)∠\(a\)の同位角

∠\(a\)の同位角は、∠\(e\)になります。

 

(2)∠\(g\)の同位角

∠\(g\)の同位角は、∠\(c\)になります。

 

(3)∠\(b\)の錯角

∠\(b\)の錯角は、∠\(h\)になります。

 

(4)∠\(e\)の錯角

∠\(e\)の錯角は、∠\(c\)になります。

 

・錯角の見分け方

錯角が分かりにくい場合は、下の図のように、\(z\)形になるところの内と内の\(a\)と\(a\)が錯角になり、反対側の\(b\)と\(b\)も錯角になるというように覚えておけば良いと思います。

逆\(z\)形の場合も同じです。

錯角の見分け方の説明図

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題3

次の図で、\(l\;\)//\(\;m\)の時、∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めなさい。

(1)

平行線と角の練習問題3の(1)の図

 

(2)

平行線と角の練習問題3の(2)の図

 

 

 

 

 

 

 

(3)

平行線と角の練習問題3の(3)の図

 

 

 

 

 

 

 

(4)

平行線と角の練習問題3の(4)の図

 

 

 

 

 

 

平行線と角の練習問題3の解答

(1)

\(x\)は50°の同位角なので、

\(∠x=50°\)

になります。

\(y\)は40°の錯角なので、

\(∠y=40°\)

になります。

 

(2)

\(x\)の同位角は、65°との対頂角なので、

\(∠x=65°\)

になります。

\(y\)の対頂角は\(180°-135°=45°\)なので、

\(∠y=45°\)

になります。

 

(3)

平行線と角の練習問題3の解答の(3)の図

 

 

 

 

 

 

上図のように\(l\)、\(m\)に平行な直線を真ん中に引くと、\(∠a\)は30°の同位角になり、

\(∠b\)は35°の同位角になるので、\(∠x\)は

\(∠x=30°+35°=65°\)

になります。

 

(4)

平行線と角の練習問題3の解答の(4)の図

 

 

 

 

 

 

上図のように\(l\)、\(m\)に平行な直線を真ん中に引き、\(n\)の方向に直線を延長すると\(∠a\)は

\(∠a=180°-125°=55°\)

になり、\(∠b\)は\(∠a\)の同位角なので、55°になります。

\(∠c\)は

\(∠c=90°-55°=35°\)

になります。

\(x\)は\(∠c\)の錯角なので、ゆえに

\(∠x=35°\)

になります。