【中2数学】多角形の内角と外角 練習問題と誰でもわかる解答

多角形の内角と外角

・多角形の内角の和

多角形の内角の和を求める場合は、「三角形の内角の和が180°になる」という事が分かっていれば求める事ができます。

下の図1は四角形と五角形を表したものですが、図のように内側に直線を引くと

四角形は三角形が2つ、五角形は三角形が3つできます。

つまり、四角形の内角の和は、\(180°×2=360°\)となり

五角形の内角の和は、\(180°×3=540°\)になります。

このように、多角形の内角の和は、角が1つ増えるごとに180°ずつ増えていきます。

多角形の内角の和の説明図
図1

 

多角形の内角の和を求める場合は、次の式を使うと便利です。

\(180°×(n-2)\) ---多角形の内角の和を求める式

三角形の場合は、この式の\(n\)に3を代入し、四角形の場合は4を代入すると内角の和を簡単に求める事ができます。

なぜ\((n-2)\)なのかと言うと、一角形と二角形はないので、三角形の3を代入した場合は1に、四角形の4を代入した場合には2になるようにしたいからです。

この式に実際に三角形の3と四角形の4を代入してみると

\(180°×(3-2)=180°×1=180°\) ---三角形の場合

\(180°×(4-2)=180°×2=360°\) ---四角形の場合

となります。

 

・正多角形の1つの内角

正多角形の1つの内角の求め方の説明図
図2

 

 

 

 

 

 

 

 

正多角形の1つの内角の大きさを求める場合は、

先ほどの\(180°×(n-2)\)の式を\(n\)で割れば求める事ができます。

\(\frac{180°×(n-2)}{n}\) ---正多角形の1つの内角を求める式

図2は正五角形ですが、この正五角形の1つの内角を求める場合、

上の式の\(n\)に5を代入すると求める事ができます。

実際に正五角形の5を\(n\)に代入してみると、

\(\frac{180°×(5-2)}{5}\)

\(=\frac{180°×3}{5}\)

\(=\frac{540°}{5}\)

\(=108°\)

となります。

 

・多角形の外角の和

多角形の外角の和は、何角形に関係なく、必ず360°になります。

 

・正多角形の1つの外角

多角形の外角の和は必ず360°になるので、

正方形の場合は

\(\frac{360°}{4}=90°\)

となり、

正六角形の場合は

\(\frac{360°}{6}=60°\)

になります。

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

多角形の内角と外角の練習問題1

次の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

(1)

多角形の内角と外角の練習問題1の(1)の図

 

(2)

多角形の内角と外角の練習問題1の(2)の図

 

多角形の内角と外角の練習問題1の解答

(1)

五角形なので、\(180°×(n-2)\)の式の\(n\)に5を代入すると内角の和は、

\(180°×(5-2)\)

\(=180°×3\)

\(=540°\)

になります。

ゆえに、\(∠x\)は

\(∠x=540°-105°-110°-95°-100°=130°\)

になります。

 

(2)

多角形の外角の和は360°になるので、\(∠x\)は

\(∠x=360°-55°-120°-105°=80°\)

になります。

 

多角形の内角と外角の練習問題2

次の問いに答えなさい。

(1)六角形の内角の和を求めなさい。

 

(2)正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

 

(3)正十二角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

 

(4)内角の和が1260°の多角形は何角形か答えなさい。

 

多角形の内角と外角の練習問題2の解答

(1)六角形の内角の和を求めなさい。

\(180°×(n-2)\)の式の\(n\)に6を代入すると、

\(180°×(6-2)\)

\(=180°×4\)

\(=720°\)

になります。

 

(2)正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

\(\frac{180°×(n-2)}{n}\)の式の\(n\)に8を代入すると、

\(\frac{180°×(8-2)}{8}\)

\(=\frac{180°×6}{8}\)

\(=\frac{1080°}{8}\)

\(=135°\)

になります。

 

(3)正十二角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

多角形の外角の和は360°なので、360°を12で割ると

\(\frac{360°}{12}=30°\)

になります。

 

(4)内角の和が1260°の多角形は何角形か答えなさい。

\(180°×(n-2)=1260°\)となるので、\(n\)の値を求めると

\(180°n-360°=1260°\)

\(180°n=1260°+360°\)

\(180°n=1620°\)

\(n=9\)

となるので、内角の和が1260°の多角形は九角形になります。

 

多角形の内角と外角の練習問題3

下の図で、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

多角形の内角と外角の練習問題3の図

 

多角形の内角と外角の練習問題3の解答

多角形の内角と外角の練習問題3の解答の図

上図のように直線を引くと、

\(∠x=(35°+a)+(25°+b)\)

になります。

\(a+b=50°\)

なので、ゆえに\(∠x\)は

\(∠x=50°+35°+25°=110°\)

になります。

 

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