【中2数学】特別な平行四辺形 練習問題と誰でもわかる解答

特別な平行四辺形

「正方形、長方形、ひし形、平行四辺形の定義」

正方形、長方形、ひし形、平行四辺形の4つの四角形には、それぞれ次のような定義があります。

・正方形:4つの角が全て直角で等しく、4つの辺の長さも全て等しい四角形。

正方形の定義の説明図

 

・長方形:4つの角が全て直角で等しい四角形。

長方形の定義の説明図

 

・ひし形:4つの辺の長さが全て等しい四角形。

大切なポイント:ひし形は平行四辺形の特別な場合なので、平行四辺形の「2組の向かい合う辺がそれぞれ平行」という性質も持っています。

ひし形の定義の説明図

 

・平行四辺形:2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形。

平行四辺形の定義の説明図

 

平行四辺形に「4つの角が全て等しい」という特徴を加えると長方形になり、「4つの辺の長さが全て等しい」という特徴を加えると、ひし形になります。

また、「4つの角が全て等しい」という特徴と「4つの辺の長さが全て等しい」という両方の特徴を加えると正方形になります。

 

「長方形とひし形の対角線の特徴」

・長方形:対角線の長さが等しい。

下図のように、長方形は2つの対角線の長さが等しくなります。

長方形の対角線の特徴の説明図

 

・ひし形:対角線が垂直に交わる。

下図のように、ひし形は2つの対角線が垂直に交わります。

ひし形の対角線の特徴の説明図

 

これらの事を踏まえて、練習問題を解いてみましょう。

 

特別な平行四辺形の練習問題1

下図の四角形\(ABCD\)は正方形である。\(∠AEG=52°\)、\(∠EGC=80°\)である時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

特別な平行四辺形の練習問題1の図

 

特別な平行四辺形の練習問題1の解答

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、錯角は等しいので、

\(∠CDG=52°\)

になります。

\(52°+∠x=80°\)なので、

\(∠x=80°-52°=28°\)

になります。

\(∠EGF=100°\)なので、\(∠y\)は

\(∠y=360°-52°-90°-100°=118°\)

になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題2

下図の四角形\(ABCD\)はひし形で、\(AD=AE\)である。\(∠DAE=32°\)の時、\(∠x\)、\(∠y\)の大きさを求めなさい。

特別な平行四辺形の練習問題2の図

 

特別な平行四辺形の練習問題2の解答

\(AD=AE\)より、\(△AED\)は二等辺三角形なので、

\(∠AED=(180°-32°)÷2=74°\)

になります。

\(AB\;\)//\(\;DC\)より、錯角は等しいので、

\(∠x=74°\)

になります。

\(AB=AD=AE\)より、\(△ABE\)は二等辺三角形なので、\(∠y\)は

\(∠y=(180°-74°)÷2=53°\)

になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題3

下図は、長方形\(ABCD\)を対角線\(AC\)で折り、点\(B\)が移った点を\(B´\)としたものである。\(B´C\)と\(AD\)の交点を\(E\)とする時、\(△EAC\)は二等辺三角形である事を証明しなさい。

特別な平行四辺形の練習問題3の図

 

特別な平行四辺形の練習問題3の解答

折り返した角なので、

\(∠ECA=∠BCA\) ---①

になります。

\(AD\;\)//\(\;BC\)より、錯角は等しいので、

\(∠EAC=∠BCA\) ---②

①、②より、\(∠ECA=∠EAC\)になり、2つの角が等しいので、

\(△EAC\)は二等辺三角形になります。

 

特別な平行四辺形の練習問題4

下図で、四角形\(ABCD\)はひし形、\(△DEF\)は正三角形で、\(AD\;\)//\(\;EF\)である。\(A\)と\(E\)、\(C\)と\(F\)を結んだ時、\(AE=CF\)となる事を証明しなさい。

特別な平行四辺形の練習問題4の図

 

特別な平行四辺形の練習問題4の解答

\(△DAE\)と\(△DCF\)が合同である事を証明すれば、\(AE=CF\)となる事を証明できます。

\(△DAE\)と\(△DCF\)において、\(△DEF\)は正三角形なので、

\(DE=DF\) ---①

になります。

四角形\(ABCD\)はひし形なので、

\(DA=DC\) ---②

になります。

\(AD\;\)//\(\;EF\)より、錯角は等しいので、

\(∠ADE=∠DEF\)

正三角形は全ての角が\(60°\)で等しいので、

\(∠DEF=∠CDF\)となり、

\(∠ADE=∠CDF\) ---③

になります。

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(△DAE≡△DCF\)

になります。

ゆえに、

\(AE=CF\)

になります。

 

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