【中2数学】図形と1次関数 練習問題と誰でもわかる解答

図形と1次関数

ここでは、図形がからむ1次関数の文章題を勉強しましょう。

\(y\)を\(x\)の式で表すのが少し難しいですが、できるだけ詳しく解説するので、頑張って解き方を身に付けましょう。

では早速、練習問題を解いてみましょう。

 

図形と1次関数の練習問題1

図1の長方形\(ABCD\)で、点\(E\)は\(A\)を出発して、辺上を\(D\)、\(C\)を通って\(B\)まで動く。\(E\)が\(A\)から\(xcm\)動いた時の△\(ABE\)の面積を\(ycm^2\)とする時、次の問いに答えなさい。

図形と1次関数の練習問題1の図
図1

 

(1)点\(E\)が辺\(AD\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

 

(2)点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

 

(3)\(x\)と\(y\)の関係をグラフにかきなさい。

 

図形と1次関数の練習問題1の解答

(1)点\(E\)が辺\(AD\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

\(三角形の面積=\frac{底辺×高さ}{2}\)なので、\(4cm\)を底辺、\(xcm\)を高さとすると、

\(\frac{4×x}{2}=2x\)

となります。この\(2x\)が\(ycm^2\)と等しいので、\(y\)を\(x\)の式で表すと

\(y=2x\)

となります。

\(x\)の変域は、\(0cm\)から\(5cm\)になるので、

\(0≦x≦5\)

となります。

 

(2)点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時、\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

△\(ABE\)は次のように変化します。

・辺\(DC\)上を動く時

 

・辺\(BC\)上を動く時

 

 

 

 

 

 

\(x\)の長さは、点\(E\)が\(A\)から\(D\)まで動くと\(5cm\)となり、\(D\)から\(C\)まで動くと\(9cm\)というように増えていき、点\(E\)が\(B\)まで動くと\(x\)の長さは\(14cm\)になります。

\(x\)の長さが\(14cm\)になった時の△\(ABE\)の面積は\(B\)と\(E\)がくっつくので\(0cm^2\)になりますが、

\(y=2x\)の式に\(x=14\)をそのまま代入したら\(28cm^2\)となってしまいます。

\(x=14\)の時は\(0cm^2\)、\(x=13\)の時は\(2cm^2\)、\(x=12\)の時は\(4cm^2\)になるようにするためには、\(28\)から\(2x\)を引かなければならないので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=28-2x\)

\(y=-2x+28\)

となります。

次に、点\(E\)が\(C\)まで動くと\(x\)の長さは\(9cm\)、\(B\)まで動くと\(14cm\)なので、

点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時の\(x\)の変域は

\(9≦x≦14\)

となります。

 

(3)\(x\)と\(y\)の関係をグラフにかきなさい。

点\(E\)が辺\(AD\)上を動く時は、\(y=2x\)の式に\(x=0\)から\(x=5\)を代入します。

点\(E\)が辺\(DC\)上を動く時は、底辺も高さもずっと同じなので、\(y\)は\(10cm^2\)で一定になります。

点\(E\)が辺\(BC\)上を動く時は、\(y=-2x+28\)の式に\(x=10\)から\(x=14\)を代入します。

図形と1次関数の練習問題1のxとyの関係のグラフ
xとyの関係のグラフ

 

 

図形と1次関数の練習問題2

図2で、線分\(AB\)の長さは\(12cm\)である。点\(G\)、\(H\)はそれぞれ同時に\(A\)、\(B\)を出発して、\(G\)は毎秒\(1cm\)、\(H\)は毎秒\(2cm\)の速さで矢印の方向に進む。そして、\(G\)は\(B\)、\(H\)は\(A\)に着いたら、そこで止まるものとする。出発してから\(x\)秒後の線分\(GH\)の長さを\(ycm\)とする時、次の問いに答えなさい。

図形と1次関数の練習問題2の図2
図2

 

(1)点\(G\)、\(H\)が出会うのは出発してから何秒後か求めなさい。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

 

図形と1次関数の練習問題2の解答

(1)点\(G\)、\(H\)が出会うのは出発してから何秒後か求めなさい。

点\(G\)は毎秒\(1cm\)、点\(H\)は毎秒\(2cm\)の速さで進み、毎秒\(3cm\)ずつ近づく事になるので、

\(\frac{12}{3}=4\;秒\)

となります。

ゆえに、点\(G\)、\(H\)が出会うのは出発してから\(4\)秒後になります。

 

(2)\(y\)を\(x\)の式で表し、\(x\)の変域もかきなさい。

・点\(G\)、\(H\)が出会うまで

点\(G\)、\(H\)を合わせて毎秒\(3cm\)ずつ進むので、\(x\)秒間に進む距離は\(3x\)となります。

線分\(GH\)の長さ\(ycm\)は、\(12cm\)から\(3x\)を引いたものになるので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=12-3x\)

\(y=-3x+12\)

となります。

点\(G\)、\(H\)が出会うのは\(4\)秒後なので、\(x\)の変域は

\(0≦x≦4\)

となります。

 

・点\(G\)、\(H\)が出会ってから点\(H\)が\(A\)に着くまで

点\(G\)、\(H\)が出会ってから点\(H\)が\(A\)に着くのは\(2\)秒後です。

\(x=5\)の時の線分\(GH\)の長さが\(3cm\)、\(x=6\)の時の線分\(GH\)の長さが\(6cm\)になるようにするためには、\(3x\)から\(12\)を引かなければならないので、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=3x-12\)

となり、\(x\)の変域は

\(4≦x≦6\)

となります。

 

・点\(H\)が\(A\)に着いてから点\(G\)が\(B\)に着くまで

点\(H\)が\(A\)に着いてから点\(G\)が\(B\)に着くのは\(6\)秒後です。

点\(H\)が\(A\)に着いた時点での線分\(GH\)の長さは\(6cm\)で、そこから毎秒\(1cm\)ずつ線分\(GH\)は長くなるので、\((6+x)\)となりますが、\(x\)に\(7\)から\(12\)を代入すると\(6cm\)ずつ長くなってしまうので、\((6+x)\)から\(6cm\)を引かなければなりません。

ゆえに、\(y\)を\(x\)の式で表すと、

\(y=6+x-6\)

\(y=x\)

となり、\(x\)の変域は

\(6≦x≦12\)

となります。

 

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